第27章相似 -图形研究（一）2025－2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似 图形研究（一） 图形研究1 直角三角形与相似 方法技巧：注意直角三角形中的直角相等为证明相似创造条件. 类型一 射影型相似 1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,E,F 分别为AC,BC上的一点,且DE⊥ (1)求 的值；(2)求 的值. 2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为BC 边上一点,CF⊥AE 于点F,连接BF,若∠BFE=45°.求证:E 为BC 的中点. 类型二 作垂直构造相似 3.如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点D,O是AC 边上一点,连接 BO交AD 于点 F,OE⊥OB 交BC 于点E. (1)求证:∠AFO=∠DEO; (2)若OA=OC=AB,求 的值. 图形研究2 等腰三角形与相似 方法技巧：借助等腰三角形的性质及45°，60°等特殊角寻求相似解决问题. 类型一 一线三等角型相似 1.如图,△ACB 为等腰直角三角形,O是斜边AB 的中点,E,F 分别为AC,BC 上的一点,且∠EOF=45°. (1)求证:△AOE∽△BFO; (2)若AB=4,求 AE·BF 的值. 类型二 利用等边三角形的性质得相似 2.如图,等边△ABC 的边长为6,在AC,BC上各取一点E,F,使AE=CF,连接AF,BE 相交于点 P. (1)求证:∠APE=60°; (2)若AE=2,求AP·AF 的值. 类型三 利用等腰构相似 3.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 AD =AE,∠ADE=∠B.求证: 类型四 利用三线合一构相似 4.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,过点C作CD⊥BC,AC,BD 相交于点O.若∠ADB=2∠CBD,求 CD的长. 图形研究3 平行四边形与相似 方法技巧：从平行或等角寻找相似三角形求解. 类型一 直接找平行相似 1.如图，在 中， 过点 D 作 ，交BC 的延长线于点E,连接AE 分别交BD,CD 于点F,G.求 FG的长. 类型二 利用平行四边形的性质导角寻找相似 2.如图，在 中， ，垂足分别为M，N. (1)求证: (2)求证: 类型三 利用平行四边形的平行条件构造A，X型相似 3.如图，在 中,E 是AB 的中点,F 为AD 上一点,且DF=2AF,,EF 交AC 于点G.求 的值. 图形研究1 直角三角形与相似 1.解:(1)∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠A=∠BCD, ∴△ACD∽△CBD, 设BD=x, AD=4x, ∴CD=2x, (2)∵DE⊥DF,CD⊥AB, ∴∠EDF=∠ADC=90°, ∴∠CDF=∠ADE, 又∵∠A=∠BCD, ∴△DFC∽△DEA, 2.证明:∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠ABE=∠BFE, ∴△ABE∽△BFE, ∵∠ACB=90°,CF⊥AE, ∴△CEF∽△AEC, ∴BE=CE, ∴E为BC 的中点. 3.解:(1)∵∠FDE+∠FOE=180°,∴∠DFO+∠DEO=360°-180°=180°, 又∵∠AFO+∠DFO=180°, ∴∠AFO=∠DEO; (2)过点O作OH⊥AC交BC 于点 H. ∵AB=AO,∠BAO=90°, ∴∠HOE=45°, ∴∠AOF=∠HOE, 又∵∠AFO=∠DEO, ∴△AOF∽△HOE, ∵OH∥AB, ∴△HOC∽△BAC, 图形研究2 等腰三角形与相似 1.解:(1)∵CA=CB,∠C=90°, ∴∠B=∠A=45°, ∵∠EOB=∠A+∠AEO, 且∠EOF=∠A, ∴∠FOB=∠AEO, ∴△AOE∽△BFO; (2)由(1)得△AOE∽△BFO, ∴AE·BF=OA·OB, ∴AE·BF=4. 2.解:(1)∵△ABC 为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠C,又∵AE=CF, ∴△AFC≌△BEA, ∴∠FAC=∠EBA, ∴∠APE = ∠EBA +∠FAB =∠BAC=60°; (2)∵∠APE=∠C=60°,∠PAE=∠CAF, ∴△AEP∽△AFC, ∴AP·AF=AE·AC=2×6=12. 3.证明:过点C 作CH∥AD,交 DE 的延长线于点H， 则∠ADE=∠H=∠B. ∵AD=AE, ∴∠H=∠ADE=∠AED=∠CEH, ∴CE=CH, ∵∠ADC =∠ADE +∠HDC =∠B+∠BAD, ∴∠HDC=∠BAD, ∴△BAD∽△HDC, 4.解:过点 A 作AH⊥BC 于点 H ,延长AD,BC 交于点 E,则∠AHC=∠AHB=90°. ∵AB=AC=5,BC=6, ∵∠ADB=∠CBD+∠CED,∠ADB=2∠CBD, ∴∠CBD=∠CED, ∴DB=DE. ∵DC⊥BE, ∴CE=BC=6, ∴EH=CE+CH=9, ∵DC⊥BE,AH⊥BC, ∴CD∥AH, ∴△ECD∽△EHA, 即 图形研究3 平行四边形与相似 1.解:在▱ABCD中,AB=BC=6, ∴AD=BC=CD=6, ∠DCE=∠ABC=60°, ∵DE⊥BC, ∵AD∥BE, ∴△AFD∽△EFB,△AGD∽△EGC, 2.证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D, ∵∠AMB=∠AND=90°, ∴△AMB∽△AND; (2)由(1)得 ∠BAM=∠DAN, 又∵AD=BC, ∵∠B + ∠BCD = ∠MAN +∠BCD=180°, ∴∠B=∠MAN, ∴△AMN∽△BAC, 3.解:延长FE,CB 交于点 H. 设AF=x,则DF=2x, ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=3x,BC∥AD. ∵E是AB 的中点, ∴BH=AF=x, ∴CH=4x, 学科网（北京）股份有限公司 $