专题01 实数的基本概念与性质（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题01 实数的基本概念与性质 目录 典例详解 类型一、平方根与立方根的概念辨析 类型二、无理数的识别与估算 类型三、实数的分类与性质综合 压轴专练 类型一、平方根与立方根的概念辨析 1.平方根与立方根的定义 ①平方根：若，则x是a的平方根； ②立方根：若，则x是a的立方根. 2.常见易错点 ①负数没有平方根；②一个正数有两个平方根，互为相反数；③立方根可正可负，与底数同号 【重要性质】 1 平方根性质： 2 立方根性质： 3 0的平方根和立方根都是0 例1．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 变式1-1．已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值，并求正数的值； (2)求的立方根． 变式1-2．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求关于x的方程 的解． 类型二、无理数的识别与估算 1.无理数的常见形式 ①开不尽方的数 ②无线无循环小数 ③某些含有π的数 2.无理数估算方法 ① 夹逼法：比较平方数，确定根号值的整数部分 ② 逐次逼近法：用分数或小数逐步逼近真实值 例2．同学们知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们无法全部写出来，喜欢动脑筋的小明同学用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去它的整数部分，所得的差就是这个数的小数部分． (1)已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． (2)若m是的整数部分，n是的相反数，请比较m，n的大小． 变式2-1．阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 变式2-2．是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用表示它的小数，理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小徽的做法解答： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么______，______； (2)的整数部分是______，小数部分是______； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 类型三、实数的分类与性质综合 1. 实数的基本分类 ① 按定义分类：有理数与无理数统称为实数 ② 按符号分类：正实数、零、负实数 ③ 按形式分类：整数、分数（有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数） 2. 实数性质综合辨析 ① 实数与数轴的一一对应关系； ② 实数具有有序性、稠密性、连续性； ③实数运算的封闭性（四则运算结果仍为实数，除零不能作除数外） 【重要性质】 ①无理数不能表示为分数形式； ②无理数与有理数的和、差仍为无理数； ③无理数与有理数的积、商仍为无理数（有理数不为零） 例3．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． (1)若，则的算术平方根为______； (2)若，其中是x的平方根，则x的值为______． 变式3-1．阅读理解：三位同学在研究无理数时有以下发现： 同学 研究成果 小红 ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零 小蓝 若，其中、为有理数，为无理数，则且．例如：若，其中、为有理数，则且． 小张 根据小红、小蓝的研究成果，成功解决了以下题目： 已知，其中、为有理数，求、的值． 分析：通过变形，得． 因为、为有理数，所以可列方程组为 ，解得 ． 运用上述知识解决下列问题： (1)已知，其中，为有理数，则 ， ； (2)在小张的研究成果中，可列方程组为 ，并解方程； (3)已知，其中，为有理数，求的值． 一、填空题 1．设、是有理数，且满足等式则 ． 2.小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为 ．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 二、解答题 1．已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求的值； (2)若为的算术平方根，为的立方根，求代数式的立方根． 3．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．由于的整数部分是1，因此我们可用来表示的小数部分． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 根据以上内容，解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 4．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 5.已知a的立方根是2，b的算术平方根是1，c是的整数部分，d是的小数部分． (1)求a，b，c，d的值； (2)求的平方根． 6.已知在两个连续的自然数a和b之间，是c的立方根． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根与c的差． 7.【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 8.【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数的基本概念与性质 目录 典例详解 类型一、平方根与立方根的概念辨析 类型二、无理数的识别与估算 类型三、实数的分类与性质综合 压轴专练 类型一、平方根与立方根的概念辨析 1.平方根与立方根的定义 ①平方根：若，则x是a的平方根； ②立方根：若，则x是a的立方根. 2.常见易错点 ①负数没有平方根；②一个正数有两个平方根，互为相反数；③立方根可正可负，与底数同号 【重要性质】 1 平方根性质： 2 立方根性质： 3 0的平方根和立方根都是0 例1．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）∵， ∴的平方根为，的立方根为． 变式1-1．已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值，并求正数的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)5 【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数，列一元一次方程可求出，即为； （2）将（1）中结论代入即可求出的值，再求立方根即可． 本题主要考查平方根和立方根，根据“正数的两个不同的平方根互为相反数”求出的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴的立方根为5． 变式1-2．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； (3)求关于x的方程 的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a的值； （2）由（1）代入开方，即可求解这个正数m； （3）将代入即可求解． 【详解】（1）解：∵一个正数m的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴； （3）解：将代入得， 解得. 类型二、无理数的识别与估算 1.无理数的常见形式 ①开不尽方的数 ②无线无循环小数 ③某些含有π的数 2.无理数估算方法 ① 夹逼法：比较平方数，确定根号值的整数部分 ② 逐次逼近法：用分数或小数逐步逼近真实值 例2．同学们知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们无法全部写出来，喜欢动脑筋的小明同学用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去它的整数部分，所得的差就是这个数的小数部分． (1)已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． (2)若m是的整数部分，n是的相反数，请比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据得到，，再代入计算即可； （2）根据，n是的相反数，确定，的值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是， ∵n是的相反数， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 变式2-1．阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)整数部分是4，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，则可得，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ ． 变式2-2．是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用表示它的小数，理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小徽的做法解答： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么______，______； (2)的整数部分是______，小数部分是______； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查求无理数的整数部分和小数部分，理解并掌握无理数的估算方法是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例求出，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的小数部分， 的小数部分， ∴． 类型三、实数的分类与性质综合 1. 实数的基本分类 ① 按定义分类：有理数与无理数统称为实数 ② 按符号分类：正实数、零、负实数 ③ 按形式分类：整数、分数（有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数） 2. 实数性质综合辨析 ① 实数与数轴的一一对应关系； ② 实数具有有序性、稠密性、连续性； ③实数运算的封闭性（四则运算结果仍为实数，除零不能作除数外） 【重要性质】 ①无理数不能表示为分数形式； ②无理数与有理数的和、差仍为无理数； ③无理数与有理数的积、商仍为无理数（有理数不为零） 例3．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． (1)若，则的算术平方根为______； (2)若，其中是x的平方根，则x的值为______． 【答案】(1)3 (2)4 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答． 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为3， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得：， ∵m，n是x的平方根， ∴， 故答案为：4． 变式3-1．阅读理解：三位同学在研究无理数时有以下发现： 同学 研究成果 小红 ①任意一个有理数与无理数的和为无理数； ②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数； ③零与无理数的积为零 小蓝 若，其中、为有理数，为无理数，则且．例如：若，其中、为有理数，则且． 小张 根据小红、小蓝的研究成果，成功解决了以下题目： 已知，其中、为有理数，求、的值． 分析：通过变形，得． 因为、为有理数，所以可列方程组为 ，解得 ． 运用上述知识解决下列问题： (1)已知，其中，为有理数，则 ， ； (2)在小张的研究成果中，可列方程组为 ，并解方程； (3)已知，其中，为有理数，求的值． 【答案】(1)0，4 (2)， (3)或 【分析】本题考查了实数的分类，二次根式的乘法，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． （1）利用实数的性质得到且，从而可求出a、b； （2）利用实数的性质得到方程组，然后解方程组即可； （3）先整理得到，再利用实数的性质得到且，然后解方程组求出m、n，从而得到的值． 【详解】（1）解：∵，其中a，b为有理数， ∴且， ∴； 故答案为：0；； （2）解：． ∵a、b为有理数， ∴可列方程组， 解得； 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， ∵m，n为有理数， ∴且， 解得或，， 或 一、填空题 1．设、是有理数，且满足等式则 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了实数的性质、利用平方根解方程，熟练掌握实数的性质是解题的关键．对等式整理得，结合、是有理数得出，，解出的值即可解答． 【详解】解：， ， 、是有理数， ，， 解得：或，， 当时，， 当时，， 综上所述，或 故答案为：1或． 2.小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为 ．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 【答案】4.33 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题干中无理数的估算方法是解题关键．仿照小潘同学估算的方法，先确定的整数部分，再通过计算与平方数的差值估算小数部分，最后求和并精确到，即可得解． 【详解】解：因为，所以的整数部分是4． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以， 故答案为：4.33． 二、解答题 1．已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根的意义，立方根的意义，解一元一次方程，解题关键是正确求出相关字母的值． （1）根据一个正数有两个平方，它们互相反数，列出关于的方程求解求出，再根据立方根的意义求得，然后求出的范围，从而可求得c的值； （2）先求出的值，再求出它的平方根． 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别为和， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵，c是的整数部分， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求的值； (2)若为的算术平方根，为的立方根，求代数式的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得、的值是解答本题的关键． （1）根据平方根的形式求得的值后代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据算术平方根及立方根的定义求得、的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：因为一个正数的两个平方根分别是和， 所以， 整理，得， 解得：， 则， 所以； （2）解：由（1）知，， 由题意，得，， 因为为的算术平方根，为的立方根， 所以，， 所以， 所以代数式的立方根为． 3．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．由于的整数部分是1，因此我们可用来表示的小数部分． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 根据以上内容，解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)3； (2)1 (3) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键； （1）根据题意求出，即可求解； （2）利用，得出，得到的整数部分是2，的小数部分是，则，同理可得的整数部分是，即，代入即可得到答案； （3）求出，则，由，其中是整数，且得到，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：， ， 的整数部分是，小数部分是，即． 同理可得的整数部分是，即， ； （3）解：∵ ，其中是整数，且， ∴是的整数部分，是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴． 4．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 5.已知a的立方根是2，b的算术平方根是1，c是的整数部分，d是的小数部分． (1)求a，b，c，d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c、d的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∵的算术平方根是1， ∴， ∵， ∴即， ∴的整数部分是4， 又是的整数部分， ∴，； （2）∵，，， ∴． ∴的平方根为． 6.已知在两个连续的自然数a和b之间，是c的立方根． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根与c的差． 【答案】(1) (2)11或5 【分析】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解决本题的关键． （1）根据平方根、立方根的定义以及算术平方根的性质解决此题． （2）根据平方根的定义以及性质解决此题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是c的立方根， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根与c的差为或． 7.【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法． （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，则的取值范围是； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ； （3）解：， ， ， ， ． 8.【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 【答案】(1)4 (2)或4 (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、解绝对值方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先计算算术平方根，再根据a的取值范围去绝对值即可求解． （2）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． （3）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴， 当时，， 解得， 当时，，此时方程无解； 当时，， 解得； 综上所述，的值为或4． （3）解：∵， ， 当时，原式， 解得， 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式， 解得（舍去）， 综上所述：a的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $