专题02 实数的运算与应用（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题02 实数的运算与应用 目录 典例详解 类型一、实数的四则运算 类型二、平方根与立方根的应用问题 类型三、实数与数轴的综合应用 压轴专练 类型一、实数的四则运算 1. 运算法则 ① 加减法：先化简，再合并同类根式； ② 乘除法：注意根号内外的数分别运算。 2. 运算顺序 ① 先乘方、开方，再乘除，最后加减； ② 有括号先算括号内。 【重要性质】 乘法公式在实数范围内仍适用 例1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）根据立方根、幂的运算、绝对值的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可； （2）根据算术平方根、绝对值、立方根、幂的运算逐项化简，再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式1-1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据幂的运算、绝对值、立方根、算术平方根的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义化简，去括号后进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式1-2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、立方根，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先根据有理数的乘方、算术平方根、立方根的性质化简，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、平方根与立方根的应用问题 1. 常见应用场景 ① 几何问题：边长、面积、体积计算； ② 实际建模：如高度、距离、增长率等问题。 2. 解题步骤 ① 列出方程或关系式； ② 转化为平方根或立方根方程； ③ 结合实际情况取舍解。 例2．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）；（3）欢欢的想法不对，理由见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 变式2-1．素材1：如图，某公司计划在3块并排的正方形地基上建造厂房，地基的总面积为． 素材2：又计划在厂房的一边建造一个面积为的长方形仓库，为节省材料，仓库一边与厂房共用一面墙，并且共用部分不超过厂房的某一边长，不考虑门窗，另外三边用塑钢材料围成，仓库的长与宽之比为．根据上面两个素材，回答下列问题： (1)求每块正方形地基的边长； (2)通过计算说明能否按照要求建造出长方形仓库，若能，求出该仓库的长与宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，该长方形仓库的长为，宽为，计算见解析 【分析】本题考查由算术平方根运算列方程解应用题，读懂题意，准确列出方程是解决问题的关键． （1）先求出每块正方形地基的面积，由算术平方根运算即可得到答案； （2）设该仓库的长为，宽为，由长方形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：每块正方形地基的面积为， 所以正方形地基的边长为． 答：每块正方形地基的边长为． （2）解：能按照要求建造出长方形仓库． 设该仓库的长为，宽为． 由题意，得， 解得或（不合题意，舍去）， 则该长方形仓库的长为，宽为． ∵， ∴，， ∴该长方形仓库的长为，宽为． 变式2-2．动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20m (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长与面积计算，解题的关键是根据面积公式求出边长（长、宽），再计算周长． （1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 变式2-3．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 【答案】(1)160米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 类型三、实数与数轴的综合应用 1. 实数与数轴的基本关系 ① 一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都对应一个实数； ② 有序性：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大； ③ 距离表示：两点间的距离等于它们所表示实数之差的绝对值。 2. 常见问题类型 ① 在数轴上表示实数（包括有理数和无理数）； ② 利用数轴比较实数大小； ③ 根据数轴上的点写出对应实数； ④ 求数轴上两点间的距离。 【重要性质】 ①无理数在数轴上的表示方法：先利用勾股定理构造长度，再利用圆规截取长度； ②数轴上两点距离等于两点在数轴上所对应实数差的绝对值； ③数轴上的中点对应实数等于两点在数轴上所对应实数和的一半。 例3．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 【答案】(1)正方形的面积为，正方形的边长为，这个值在3与4之间 (2) (3) 【分析】（1）先求得正方形的面积，再开方求得正方形的边长为，再根据，可得，从而可得这个值在3与4之间； （2）先根据，得出，从而可得，再代入求值即可； （3）先写出前几个，再找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴这个值在3与4之间； （2）∵阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，， ∴， ∴， ∴ （3）∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为； ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， … 以此类推， 点表示的数为． 【点睛】本题考查了无理数的大小估算，无理数整数部分的有关计算，图形类规律探索，实数与数轴等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 变式3-1．如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 【答案】(1)，无理数 (2)C、D之间的距离为 (3)点D表示的数为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，无理数，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案； （2）圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，可得，再得出，整体代入即可； （3）根据“圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈”，因此分两种情况进行解答，即为1圈，为2圈，或为2圈，为1圈． 【详解】（1）解：圆形纸片的直径为1，因此周长为，滚动n圈的距离为， 而， 所以， 即， 是无理数， 故答案为：，无理数； （2）解：圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，所以有， 所以， 答：C、D之间的距离为； （3）解：由（2）得： ， 由于圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈， 因此有①当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， ②当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， 答：点D表示的数为或． 变式3-2．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离．若点A表示的数a为最大的负整数，点B表示的数b在原点右侧，且绝对值为6，则 (1)点A表示的数a为______，点B表示的数b为______，数轴上A，B两点之间的距离为______； (2)满足的实数x的值为______； (3)的最小值为______； (4)满足的实数x的值为______； (5)若正实数c满足，则当x的值为______时，取到最小值______． 【答案】(1)；6；7 (2)7或 (3) (4)2或3 (5)；7 【分析】（1）由最大的负整数与绝对值的含义可得，的值，再求解两点之间的距离即可； （2）由，再分三种情况讨论即可； （3）由，再分三种情况讨论即可； （4）由，可得或；再结合（2）可得结论； （5）先求解，再结合绝对值的含义可得答案． 【详解】（1）解：∵点A表示的数a为最大的负整数，点B表示的数b在原点右侧，且绝对值为6， ∴，， ∴数轴上A，B两点之间的距离为； （2）∵， ∴， 当时，， ∴， 当时， ∴， 方程无解； 当时， ∴， 解得：； （3）∵， 当时，原式， 当时， ∴原式， 当时取得最小值； 当时， ∴原式； 综上：的最小值为； （4）∵， ∴， ∴或； 当时， 结合（2）得：此时， ∴， 解得：， 当，结合（2）得：此时， ∴， 解得：， 综上：或； （5）∵正实数c满足， ∴， ∴， ∵， ∴结合绝对值的含义可得当时，取得最小值， 最小值为：． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，一元一次方程的应用，利用平方根的含义解方程，掌握绝对值的几何意义是解本题的关键． 一、解答题 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握好实数混合运算的法则是解题关键． 先将乘方化简，再按照实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的运算，包括平方根、立方根、绝对值、乘方等知识点，掌握相关定义和运算法则并正确计算是解题的关键． （1）先将平方根、立方根化简，再计算，即可求解； （2）先将绝对值、乘方化简，再计算，即可求解； （3）先将平方根、绝对值、乘方化简，再计算，即可求解； （4）先将乘方化简，再计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算、立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先去绝对值，然后再根据实数的运算可进行求解； （2）根据立方根、算术平方根可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4．综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮． 【实践操作】小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形包装封皮． 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片不能直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用，设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程， 解得， ， ， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 故正方形卡片不能直接装进长方形封皮中． 5. 【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为_______ 【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________，大正方形的边长为__________ 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2；；（2）1；；（3）不可行，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）小正方形的边长等于直角三角形两直角边的长的差，大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为长为，宽为，，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：，则正方形的边长为； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∵， ∴， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵正方形纸片的面积为， ∴正方形纸片的边长为， ∵， ∴不能用面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 6. 希望工程活动开展以来，爱心人士张叔叔一直在资助家庭困难的小明同学．为了表达感谢，小明同学亲手绘制了一幅面积为的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给张叔叔．已知快递站的一种长方形包装袋的长、宽之比为，面积为． (1)求这种长方形包装袋的长和宽； (2)请通过计算判断小明同学能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄． 【答案】(1)长方形包装袋的长为，宽为 (2)能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）设长方形包装袋的长为，宽为，由题意得，求解即可； （2）面积为的正方形书画作品的边长是，再进行比较即可． 【详解】（1）解：包装袋的长、宽之比为， 设长方形包装袋的长为，宽为， 由题意得， （负值舍去）， ，， 长方形包装袋的长为，宽为； （2）解：面积为的正方形书画作品的边长是． ， 包装袋的宽大于正方形书画作品的边长， 小明能将这幅书画作品不折叠就放入此包装袋进行邮寄． 7. 综合与实践 阅读：我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，数轴表示见解析；（2）规律为周期为（、、、循环），末位数字是；（3）或；或或；（4）；是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处；（5）；不存在，理由见解析 【分析】此题考查了数轴和实数、绝对值和偶次方的非负性、末位数字的特征，熟练运用这些性质是关键． （1）按乘方公式计算，并表示在数轴上即可； （2）通过观察已知数的个位数字，找到规律，再利用规律求的末位数字即可； （3）设未知数列方程再解即可； （4）根据绝对值和偶次方的非负性计算即可； （5）根据n为正整数时，n和是两个连续的自然数求值即可；根据绝对值和偶次方的非负性计算，判断x的值是否存在即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， 在数轴上原点左侧3个单位处； ，， 在数轴上原点右侧9个单位处； ，， 在原点左侧27个单位处． a用点A、用点B、用点C表示． ． （2），，，， ，，，，， 周期为（2、4、8、6循环）， ，余数为1，对应周期的第一个数， 故的末位数字是； （3）设数x的平方等于它本身，即： ， 解得：或， 故答案为：0或1； 设数y的立方等于它本身，即： ， 解得：或或， 故答案为：0或1或； （4）， 且， 解得：，， ， 是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）为正整数， 和是两个连续的正整数即：（一奇数一偶数） 当时，，此时； 当时，，此时； 综上，当n为正整数时，； 不存在整数x，使得， 理由如下： ，， 当时， 且， 解得：且， ， 的值不存在． 8. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【答案】(1) (2) (3)在点B的右侧，过程见解析 【分析】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义． （1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据求出，再求出，再根据题意求出小蚂蚁最后的位置表示的数，进一步判断出在点B的左侧还是右侧即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 9. 已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． (1)线段的长= ． (2)点C表示的数是 ． (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ． 【答案】(1) (2) (3)或1或 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）线段的长等于较大的数减去较小的数，计算即可． （2）点C向左平移4个单位长度后与点B重合，也就是点B向右平移4个单位长度得到点C解答即可． （3）分三种情况考虑，利用数轴上点的特征和对称性解答即可． 【详解】（1）解：、B分别表示数和， 故答案为：； （2）解：点C向左平移4个单位后与点B重合， 点C表示的数是 故答案为：； （3）解：设点D表示的数为， 点A、点B、点D为优美关系，且点A、B分别表示数和． 当点B和点D关于点A对称时，则， 即， 解得； 当点B和点A关于点D对称时，则， 即， 解得； 当点A和点D关于点B对称时，则， 即， 解得； 点D对应的实数为或1或 故答案为：或1或 10. 如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、数轴上点的表示、绝对值的化简、非负数的性质及平方根的计算，熟练掌握非负数的性质（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0）是解题的关键． （1）根据正方形面积求边长，结合数轴上点的位置确定点、表示的数； （2）①根据蚂蚁爬行的速度、时间得到移动距离，结合点表示的数表示出点的数； ②代入的值得到，再计算绝对值表达式的值； （3）利用非负数的性质（算术平方根与绝对值的非负性）列方程，求解、后计算的平方根． 【详解】（1）解：∵面积为的正方形边长为，点在原点左侧， ∴点表示的数为； ∵面积为的正方形边长为，点在原点右侧， ∴点表示的数为． （2）解：①∵点表示，蚂蚁向右爬了个单位， ∴． ②当时，； ∵，， ∴． （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，① 且．② 解①得，则， ∴； 解②得，则， ∴． ∴， ∴的平方根为． 11. 小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等面积法得大的正方形的面积，结合算术平方根的性质，得大的正方形的边长，然后运用无理数的估算，得出边长介于两个连续整数2和3之间； （2）由（1）得，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，列式表达出点在数轴上表示的数为或； （3）先整理得点在数轴上表示的数为，根据数轴上的两点间的距离进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间； （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或； （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题02实数的运算 目录 典例详解 类型一、实数的四则运算 类型二、平方根与立方根的应用问题 类型三、实数与数轴的综合应用 压轴专练 典例详解 类型一、实数的四则运算 1.运算法则 ①加减法：先化简，再合并同类根式； ②乘除法：注意根号内外的数分别运算。 2.运算顺序 ①先乘方、开方，再乘除，最后加减； ②有括号先算括号内。 【重要性质】 乘法公式在实数范围内仍适用 例1.计算： ()-27-5+(52+1-5. 2v可++哥 变式1-1.计算： (0(-102+11-21+8-V-22. (2V5-√5|+3（√5-V5) 变式1-2.计算： (1)-1+16-8; 1/8 出每与 系一每拼丁 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 +27×1-12 类型二、平方根与立方根的应用问题 1.常见应用场景 ①几何问题：边长、面积、体积计算： ②实际建模：如高度、距离、增长率等问题。 2.解题步骤 ①列出方程或关系式： ②转化为平方根或立方根方程； ③结合实际情况取舍解。 例2.数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1d)的小正方形纸片剪拼成一个面积为 ndm)的大正方形. 【问题发现】(1)如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形 的面积为_dm2,边长为_dm. 【知识迁移】(2)如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形 A,B,C,D,，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为_dm. 【拓展延伸】(3)欢欢为了完成某手工制作，需要在(2)中的正方形AB,C,D,纸片（已无缝隙粘拼）中， 沿着平行于边的方向，裁出一块面积为4.86dm的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，且要求长方形的四 周至少留出0.3dm的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你 认为欢欢的想法对吗？为什么？ 图① 图② 变式2-1.素材1：如图，某公司计划在3块并排的正方形地基上建造厂房，地基的总面积为1200m2. 素材2：又计划在厂房的一边建造一个面积为300m2的长方形仓库，为节省材料，仓库一边与厂房共用一面 墙，并且共用部分不超过厂房的某一边长，不考虑门窗，另外三边用塑钢材料围成，仓库的长与宽之比为 5:2.根据上面两个素材，回答下列问题： (①)求每块正方形地基的边长； 2/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)通过计算说明能否按照要求建造出长方形仓库，若能，求出该仓库的长与宽；若不能，请说明理由」 变式2-2.动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成 一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为12m2的长方形，且长与宽 之比为21. (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由. 变式2-3.一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为5：3. 空地 花坛1 花坛2 (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长 宽之比为2：1.花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米.请问宽度为2.5米的农药喷 洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：√2≈1.414，√20≈4.47） 类型三、实数与数轴的综合应用 1.实数与数轴的基本关系 ①一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都对应一个实数： ②有序性：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大； ③距离表示：两点间的距离等于它们所表示实数之差的绝对值。 2.常见问题类型 ①在数轴上表示实数（包括有理数和无理数）： ②利用数轴比较实数大小： ③根据数轴上的点写出对应实数； ④求数轴上两点间的距离。 【重要性质】 ①无理数在数轴上的表示方法：先利用勾股定理构造长度，再利用圆规截取长度； ②数轴上两点距离等于两，点在数轴上所对应实数差的绝对值： ③数轴上的中点对应实数等于两点在数轴上所对应实数和的一半。 例3.如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）.若每个小正方形的 边长为1，点A表示的数为-1. 3/8 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -3-2-10 (I)图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为x,小数部分为y,求y-V而的值， (3)若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点B滚到与数轴上，记为第一次翻滚， 点B与数轴的交点记为P；点C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为B；点D翻滚到数 轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为乃；点A翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点 记为P,,以此类推，请问点P。表示的数为多少？ 变式3-1.如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为a+b,B、C之间的距离 为2a-b,B、D之间的距离为5a+2b,将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴 水平方向向右滚动。 B 5a+2b atb 2a-bc (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n(n为正整数)圈，则a=（用含n的代数式表示)， a是 (填“有理数”或“无理数”)； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处 滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数， 变式3-2.数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合.通过研究数轴，我们发现了 许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a,b,则A,B两点之间的距离AB=a-b.若点A 表示的数α为最大的负整数，点B表示的数b在原点右侧，且绝对值为6，则 (I)点A表示的数a为，点B表示的数b为，数轴上A,B两点之间的距离为： (2)满足x-a+x-b=9的实数x的值为； (3)x-a-x-b的最小值为 (4)满足x-a-x-b创=1的实数x的值为 4/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (⑤)若正实数c满足c2=5,则当x的值为 时，x-a+x-b+x-c取到最小值 压轴专练 一、解答题 1.计第：12x4+4×-2 2.计算： a可+可+写 2)-v5+(-22-5 3)-1221+√25-1-V2+-8 (4)-22-（-3)3+π-3.14)0 3,计算： 小5-2+5-2-2-1： as可- 4.综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 图示 洛阳美景 图示、数据及 计算 正方形卡片的面积为100cm2,长方形封皮 相关数据及说明 的长与宽的比为3：1，面积为210cm. 计算结果 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮. 【实践操作】A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形包装封皮 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中， 5.【问题发现】(1)如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼 5/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为，大正方形的边长为 图1 【知识迁移】(2)爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形.如图2，将两个 长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正 方形的大正方形，所得到的小正方形EFGH的边长为 ,大正方形ABCD的边长为 【拓展延伸】(3)小明想用一块面积为900cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为735cm的长方 形纸片，使它的长与宽之比为53，请通过计算说明是否可行. 6.希望工程活动开展以来，爱心人士张叔叔一直在资助家庭困难的小明同学，为了表达感谢，小明同学亲 手绘制了一幅面积为400m的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给张叔叔.己知快递站的一种长方形包 装袋的长、宽之比为4：3，面积为588cm2. (I)求这种长方形包装袋的长和宽： (②)请通过计算判断小明同学能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄. 7.综合与实践 阅读：我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借 助图形（如正方形、正方体等)能更直观理解乘方的意义.例如，2既表示2×2×2，也可对应“棱长为2 的正方体的体积”；（-2)表示(-2)×(-2)，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”. 理解： (1)已知a=-3,计算和a3的值；并在数轴上分别表示出a、、a3对应的点（提示：先确定各数的符 号与绝对值) (2)观察2=2,22=4,23=8,24=16,2=32，，写出2”(n为正整数)的末位数字的规律，再 求22025的末位数字. 应用： (3)若一个数的平方等于它本身，这个数是；若一个数的立方等于它本身，这个数是 (4)已知x-2+(y+1)=0,求x'的值，并说明该值在数轴上的位置特征. 拓展： 6/8 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (5)当n为正整数时，探究(-1)+-1”的值；并思考：是否存在整数x,使得x+3+(x-1)=0?若存在， 求x的值；若不存在，说明理由. 8.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A表示-√3，设点B所表示的数为m 543-2-1012345 (1)实数m的值是 (2)求m+1-m-1的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d,且实数c满足(Nc-2)2+√(3-2c)2=1,实数d表示面积为 27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3 个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程， 9.已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数1-√5和1+√5.点C向左平移4个单位长度后与 点B重合. (I)线段AB的长=_ (2)点C表示的数是_ (3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优 美关系，那么点D对应的实数为_ 10.如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点0重合，一条边恰好 落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点A和点B处 (1)点A表示的数为 ;点B表示的数为 (2)一只蚂蚁以2个单位长度/秒的速度从点A沿数轴向右爬了t秒到达点C，设点C表示的数为C. ①则实数c的值为 (用含t的代数式表示)： ②当t=1时，求c+1+c-1的值. 8数抽上，还有D,E两点分别衣示m,,且2m-52m-列与50,2- 互为相反数，求 7/8 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2m-4n的平方根 11.小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小 都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数 √2.他受此启发：将一个由5个边长为1cm的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没 有重叠和空隙). 图(a) 图(b) 方4370123 图(c) (I)图(b)中大正方形的边长m= cm,边长m介于两个连续整数 和 之间 (2)如图(C)是一个数轴，把图(b)中大正方形旋转使得边AB落到数轴上，且点A与-2重合，则点B在数轴 上表示的数为 (3)在(2)的基础上，点B在点A的右侧，点P表示数1，将数轴沿着点P所在的某条直线翻折使得点B恰 好落在数轴上的点B处，此时点B所表示的数为 8/8