单元培优讲义：专题06 长方体和正方体（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

该小学数学讲义通过考点梳理构建“长方体和正方体”知识体系，以表格对比长方体与正方体特征，用思维导图呈现体积与容积关系，清晰呈现展开图类型、表面积公式、体积计算等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的棱长计算到综合的体积等积变形、不规则物体体积测量，如用排水法求石块体积，培养空间观念与推理意识。练习对应题型，基础题巩固概念，综合题提升能力，助力教师精准教学，学生自主复习。

2025-2026学年五年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题06 长方体和正方体 考点梳理 2 考点一、长方体和正方体的认识 2 考点二、长方体和正方体的展开图 2 考点三、长方体和正方体的表面积 3 考点四、体积和容积 3 考点五、长方体和正方体的体积 4 例题讲解 4 题型一、长方体的认识及特征 4 题型二、长方体有关棱长的应用 5 题型三、正方体的特征 6 题型四、正方体有关棱长的应用 6 题型五、长方体和正方体的展开图 7 题型六、长方体和正方体表面积的计算 8 题型七、长方体和正方体表面积的应用 9 题型八、体积和容积的认识 10 题型九、体积和容积单位的认识 11 题型十、体积、容积单位的选择 12 题型十一、长方体和正方体的体积 12 题型十二、体积与容积单位间的进率及换算 13 题型十三、长方体和正方体的容积 14 题型十四、体积的等积变形（长方体、正方体） 15 题型十五、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 16 题型十六、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 18 题型十七、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 19 考点练习 22 练习一、长方体的认识及特征 22 练习二、长方体有关棱长的应用 23 练习三、正方体的特征 25 练习四、正方体有关棱长的应用 25 练习五、长方体和正方体的展开图 27 练习六、长方体和正方体表面积的计算 30 练习七、长方体和正方体表面积的应用 33 练习八、体积和容积的认识 34 练习九、体积和容积单位的认识 35 练习十、体积、容积单位的选择 36 练习十一、长方体和正方体的体积 39 练习十二、体积与容积单位间的进率及换算 40 练习十三、长方体和正方体的容积 43 练习十四、体积的等积变形（长方体、正方体） 46 练习十五、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 49 练习十六、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 52 练习十七、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 55 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识 1.长方体的特征 （1）面、棱、顶点：长方体有6个面，相对的面完全相同（面积相等）；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。 （2）长、宽、高：相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作长方体的长、宽、高。长方体的长、宽、高不是固定不变的，与摆放方式有关。 2.正方体的特征 （1）面、棱、顶点：正方体有6个面，都是完全相同的正方形；有12条棱，长度都相等；有8个顶点。 （2）棱长：正方体的每条棱的长度叫作正方体的棱长。正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。 3.长方体与正方体的关系 （1）异同点 ①相同点：都有6个面、12条棱、8个顶点。 ②不同点：长方体的6个面一般是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），棱长一般分三组，每组4条棱相等；正方体的6个面都是正方形，12条棱都相等。 （2）包含关系：正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体，可以用集合图表示为正方体是长方体的一部分。 考点二、长方体和正方体的展开图 1.展开图的含义 （1）定义：沿着长方体（或正方体）的棱将它剪开，得到的平面图形就是长方体（或正方体）的展开图。 （2）特征：展开图中，相对的面完全隔开，不会相邻。 2.正方体展开图的类型 （1）基本形态：正方体的展开图由6个完全相同的正方形组成。常见的展开图类型有“1-4-1”型（中间4个，上下各1个）、“2-3-1”型（中间3个，一边2个，另一边1个）、“2-2-2”型（阶梯状排列）和“3-3”型（两行，每行3个）等。 （2）相对面的判断：在展开图中，可以通过“隔一”或“Z字端点”等方法判断相对的面。 3.长方体展开图的特征 （1）组成：长方体的展开图由3组相对的长方形（或正方形）组成，每组中的两个面完全相同。 （2）相对面的位置：在展开图中，相对的面之间至少隔着一个面，不会相邻。 考点三、长方体和正方体的表面积 1.表面积的意义 （1）定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫作它的表面积。 （2）实际应用：在实际生活中，如制作鱼缸、无盖盒子、通风管等，需要根据实际情况判断求几个面的面积（如无盖长方体表面积=5个面的面积和）。 2.表面积的计算公式 （1）长方体表面积：长方体的表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2，用字母表示为 。 （2）正方体表面积：正方体的表面积 = 棱长×棱长×6，用字母表示为 。 考点四、体积和容积 1.体积和容积的意义 （1）体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 （2）容积：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。注意：只有能盛装其他物体的物体才是容器，求容积要从容器内部测量数据。 2.体积单位和容积单位 （1）体积单位：常用的体积单位有立方厘米（ ）、立方分米（ ）和立方米（ ）。 （2）容积单位：计量液体的体积，通常用升（L）或毫升（mL）作单位。 立方分米 = 升， 立方厘米 = 毫升。 3.单位换算 （1）相邻单位进率：相邻体积单位之间的进率是1000，即 ， 。 （2）容积与体积：升 = 毫升， 升 = 立方分米， 毫升 = 立方厘米。 考点五、长方体和正方体的体积 1.体积计算公式 （1）长方体体积：长方体的体积 = 长×宽×高，用字母表示为 。 （2）正方体体积：正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为 。 2.统一的体积公式 （1）底面积×高：长方体和正方体的体积都可以用“底面积×高”来计算，用字母表示为 。其中， 表示底面积， 表示高。 3.体积公式的应用 （1）已知体积求高：如果已知长方体的体积和底面积，可以用“体积÷底面积=高”来求高。 （2）不规则物体体积：测量不规则物体（如土豆、石块）的体积，可以用排水法，即物体的体积等于容器底面积乘水面上升的高度。 例题讲解 题型一、长方体的认识及特征 【例题1】长方体的面是( )，也可能有2个相对的面是( )，相对的面( )，相对的棱长度( )。 【答案】 长方形 正方形 完全相同 相等 【详解】如下图，长方体有6个面，12条棱和8个顶点。长方体的6个面都是长方形，最多有2个相对的面是正方形，相对的2个面完全相同。长方体的棱有3组，每组的4条棱长度相等。 所以，长方体的面是长方形，也可能有2个相对的面是正方形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 【练习1】一件商品的外包装的尺寸是“506×620×1280mm”，这件商品可能是（    ）。 A．橡皮 B．书包 C．冰箱 D．茶杯 【答案】C 【分析】这件商品的外包装的尺寸表示“长×宽×高”，根据1cm＝10mm，换算成以cm为单位的尺寸，手指头的宽度大约是1cm，据此根据长度单位的认识和长方体的特征，结合生活经验进行选择。 【详解】一件商品的外包装的尺寸是“506×620×1280mm”，即“50.6×62×128cm”。 A．橡皮没有这么大，排除； B．书包没有这么大，排除； C．冰箱的尺寸差不多； D．茶杯没有这么大，排除。 这件商品可能是冰箱。 故答案为：C 题型二、长方体有关棱长的应用 【例题2】蒋阿姨买了一箱苹果，外包装用丝带捆扎起来（如图），其中打结处用去18厘米丝带，捆扎这个箱子一共需要多少分米丝带？ 【答案】23.8分米 【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于2条长、2条宽、4条高，再加打结处用去的18厘米，由此列式解答，最后根据“1分米=10厘米”进行单位换算。 【详解】（40＋30）×2＋20×4＋18 ＝70×2＋20×4＋18 ＝140＋80＋18 ＝238（厘米） 238厘米＝23.8分米 答：捆扎这个箱子一共需要23.8分米丝带。 【练习2】制作一个长方体广告箱框架，需要用铝合金条104分米。已知这个广告箱的长是8分米、高是12分米，这个长方体广告箱的宽是多少分米？ 【答案】6分米 【分析】长方体有4条长、4条宽、4条高，根据长方体的棱长总和公式“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”可知“长＋宽＋高＝长方体棱长总和÷4”，据此用104除以4计算出一组长、宽、高的和；然后求出长与高的和；再用一组长、宽、高的和减去长与高的和即可。 【详解】104÷4－（8＋12） ＝104÷4－20 ＝26－20 ＝6（分米） 答：这个长方体广告箱的宽是6分米。 题型三、正方体的特征 【例题3】正方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点，从不同的角度最多能看到( )个面。 【答案】 6 12 8 3 【分析】正方体特征：有6个面都是正方形，且面积相等；有8个顶点；有12条棱且长度都相等。从不同的角度看正方体，最少能看到1个面，最多能看到3个面。据此解答。 【详解】正方体有6个面，12条棱，8个顶点，从不同的角度最多能看到3个面。 【练习3】正方体的面都是完全相同的( )，每条棱长度( )。 【答案】 正方形 相等/一样/相同 【分析】由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体。 【详解】 如图，正方体的面都是完全相同的正方形，每条棱长度相等。 题型四、正方体有关棱长的应用 【例题4】用60厘米的铁丝正好围成一个正方体框架，则它的棱长是（    ）厘米。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12；棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。 【详解】60÷12＝5（厘米） 用60厘米的铁丝正好围成一个正方体框架，则它的棱长是5厘米。 故答案为：B 【练习4】用一根铁丝焊接成一个棱长是8分米正方体框架，用同样长的铁丝可以焊接出一个长是13分米，宽是( )分米，高是7分米的长方体框架。 【答案】4 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，先算出正方体的棱长总和。长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和，用棱长总和除以4，算出一组长、宽、高的和，用和减去长再减去高，即可算出宽的长度。 【详解】8×12÷4－13－7 ＝24－13－7 ＝4（分米） 所以，宽是4分米。 题型五、长方体和正方体的展开图 【例题5】下面三幅图中，能围成长方体或者正方体的有哪些？（    ） A．只有①② B．只有②③ C．只有①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】正方体有6个面，6个面都是正方形；长方体有6个面，6个面都是长方形，相对的面形状相同，特殊情况下有两个相对的面是正方形，其他四个面都是形状相同的长方形。正方体/长方体的展开图类型：“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放；“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；“2—2—2”型：两两相连各错一；“3—3”型：三个两排一对齐，据此解答。 【详解】 分析可知，属于正方体“2—3—1”型的展开图，能围成正方体；属于正方体“1—4—1”型的展开图，能围成正方体；有两个相对的面是正方形，而其他四个面的形状不相同，则该图不是长方体的展开图，不能围成长方体，所以能围成长方体或者正方体的只有①②。 故答案为：A 【练习5】下边的纸片折起来可以做成一个正方体，这个正方体“数”字的对面是（    ）。 A．联 B．网 C．互 D．＋ 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特征，相邻的面不相对，所以“联”和“＋”相对，“数”和“互”相对，“学”和“网”相对，据此判断。 【详解】由分析可得： 这个正方体“数”字的对面是“互”。 故答案为：C 题型六、长方体和正方体表面积的计算 【例题6】一个正方体的棱长是4分米，它的表面积是( )。 【答案】96平方分米/96dm2 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。 【详解】4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方分米） 所以表面积是96平方分米。 【练习6】计算下面长方体和正方体的表面积。 （1）（2） 【答案】（1）216平方厘米   （2）808平方分米 【分析】（1）根据图示，第一个图形为正方体，依据正方体表面积公式：正方体表面积＝ 6×棱长2，将数据代入公式计算出结果即可。 （2）根据图示，第二个图形为长方体，依据长方体表面积公式：长方体表面积＝ 2×（长×宽＋长×高＋宽×高），将数据代入公式计算出结果即可。 【详解】（1）正方体表面积＝6×棱长2 ＝6×62 ＝6×36 ＝216（平方厘米） 正方体的表面积为216平方厘米。 （2）长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高） ＝2×（18×8＋18×10＋10×8） ＝2×（144＋180＋80） ＝2×404 ＝808（平方分米） 长方体的表面积为808平方分米。 题型七、长方体和正方体表面积的应用 【例题7】做一个无盖的正方体玻璃鱼缸，棱长6分米，至少需要多少平方分米玻璃？ 【答案】180平方分米 【分析】根据无盖正方体鱼缸表面积＝棱长×棱长×5，代入数据解答。 【详解】6×6×5＝180（平方分米） 答：至少需要180平方分米玻璃。 【练习7】为了营造更好的阅读环境，活动中心阅读书房准备重新粉刷四面墙壁，书房长6米，宽4米，高2.5米，其中门窗占8平方米无需粉刷。这个房间的粉刷面积是多少平方米？ 【答案】42平方米 【分析】长方体房间的四面墙壁相当于长方体的前后左右四个面，用长×高×2＋宽×高×2即可求出长方体的前后左右四个面的面积，再减去门窗的面积即可解答。 【详解】6×2.5×2＋4×2.5×2－8 ＝15×2＋10×2－8 ＝30＋20－8 ＝50－8 ＝42（平方米） 答：这个房间的粉刷面积是42平方米。 题型八、体积和容积的认识 【例题8】较大容器盛装液体时用( )作单位，较小容器盛装液体时用( )作单位。 【答案】 升/L 毫升/mL 【分析】常用的容积单位有升和毫升。容积是1立方分米的容器正好盛水1升，容积是1立方厘米的容器正好盛水1毫升，1升＝1000毫升。据此解答。 【详解】通过分析可得：较大容器盛装液体时用升作单位，较小容器盛装液体时用毫升作单位。 【练习8】冷藏冰柜的容积（    ）它的体积。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法比较 【答案】C 【分析】容积是容器内部所能容纳物体的体积，体积是物体所占空间的大小。冰柜的外壳、隔热层等材料占据空间，因此容积小于体积。 【详解】冷藏冰柜的容积是内部可容纳物体的体积，而体积包括外壳和内部空间的总大小。由于冰柜的外壁、隔热层等材料占据一定空间，内部容积必然小于整体体积。 故答案为：C 题型九、体积和容积单位的认识 【例题9】下面物品中，（    ）的体积比1立方分米大，同时比1立方米小。 A．草莓 B．乒乓球 C．纸巾盒 D．公共汽车 【答案】C 【分析】1立方分米是棱长为1分米的正方体的体积，生活中，粉笔盒、魔方、小型闹钟的体积大约就是1立方分米；1立方米是棱长为1米的正方体的体积，生活中，洗衣机、电脑桌、小型冰柜的体积大约是1立方米。据此逐一分析。 【详解】A．草莓体积远小于粉笔盒体积，即远小于1立方分米，不符合要求； B．乒乓球体积也小于粉笔盒体积，即小于1立方分米，不符合要求； C．纸巾盒体积大于粉笔盒体积，且小于洗衣机体积，即在1立方分米到1立方米之间，符合要求； D．公共汽车体积远大于洗衣机的体积，即远超于1立方米，不符合要求。 故答案为：C 【练习9】一只纯净水桶里面装了12L的水，12L是（    ）。 A．水的体积 B．水桶的体积 C．水桶的容积 D．水的容积 【答案】A 【分析】体积是物体所占空间的大小，用于描述“物体本身的量”。容积是容器所能容纳物体的体积，用于描述“容器的容纳能力”。 【详解】A．水是物体，12L表示水所占空间的大小，即水的体积，该选项正确。 B．水桶的体积是水桶本身所占空间的大小，与桶内水的体积无关，该选项错误。 C．水桶的容积是水桶能容纳物体的最大体积，题目未表明装满，12L不是水桶的容积，该选项错误。 D．容积是容器的属性，不能说水的容积，该选项错误。 所以12L是水的体积。 故答案为：A 题型十、体积、容积单位的选择 【例题10】在括号里填上合适的单位。 一个苹果的体积约为400( )；一个普通水杯的容积约是0.3( )。 【答案】 立方厘米/cm3 升/L 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，装29英寸电视机的纸箱的体积大约是1立方米； 常见的容积单位有升和毫升，计量液体的体积常用容积单位，一盒牛奶大约是250毫升，一瓶矿泉水大约是500毫升，一桶食用油大约是5升，据此解答。 【详解】分析可知，一个苹果的体积约为400立方厘米；一个普通水杯的容积约是0.3升。 【练习10】下面是乐乐的数学日记，在括号里填上合适的单位。 我家房子面积约是90( )。客厅里有一桶容积是18( )的饮用水，够我家喝上一星期呢！我的写字台不大，上面放着一个体积为1( )的笔盒，笔盒的旁边是一瓶容积为60( )的黑墨水。 【答案】 平方米/m2 升/L 立方分米/dm3 毫升/mL 【分析】根据生活经验、对面积单位大小的认识可知，1平方米大约是一块地板砖的大小，所以计量房子的面积用“平方米”作单位比较合适； 1升大约是两瓶矿泉水的容量，所以计量一桶饮用水的容积用“升”作单位比较合适；1立方分米大约是普通粉笔盒的大小，所以计量笔盒的体积用“立方分米”作单位比较合适；1毫升水大约是20滴水的量，所以计量黑墨水的容积用“毫升”作单位比较合适。 【详解】我家房子面积约是90平方米。客厅里有一桶容积是18升的饮用水，够我家喝上一星期呢！我的写字台不大，上面放着一个体积为1立方分米的笔盒，笔盒的旁边是一瓶容积为60毫升的黑墨水。 题型十一、长方体和正方体的体积 【例题11】计算下面图形的体积。（单位：cm）             【答案】120；512 【分析】根据图示，结合长方体的体积公式：长×宽×高以及正方体的体积公式：边长×边长×边长，代入数据计算即可。 【详解】12×2×5 ＝24×5 ＝120（） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（） 【练习11】一个长方体，长、宽、高分别是8厘米、3厘米和a厘米，这个长方体的棱长和是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 / 【分析】根据“长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4”，将长、宽、高的数值代入公式计算即可； 根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可；在含有字母的式子中，乘号可以省略不写，一般把数字写在字母前面。据此解答。 【详解】（8＋3＋）×4 ＝（11＋）×4 ＝11×4＋×4 ＝44＋4（厘米） 8×3×＝24（立方厘米） 所以这个长方体的棱长和是（44＋4）厘米，体积是24立方厘米。 题型十二、体积与容积单位间的进率及换算 【例题12】想一想，填一填。 20升＝( )立方米        2025立方分米＝( )立方米 9.46立方分米＝( )升    5.9升＝( )毫升 【答案】 0.02/ 2.025 9.46 5900 【分析】根据进率：1立方米＝1000升，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，1升＝1000毫升；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）20÷1000＝0.02（立方米），所以20升＝0.02立方米； （2）2025÷1000＝2.025（立方米），所以2025立方分米＝2.025立方米； （3）9.46立方分米＝9.46升； （4）5.9×1000＝5900（毫升），所以5.9升＝5900毫升。 【练习12】0.7dm3＝( )cm3        2.8L＝( )mL    9L＝( )dm3 3500dm3＝( )m3    450mL＝( )L    560mL＝( )cm3 【答案】 700 2800 9 3.5 0.45 560 【分析】因为1dm3＝1000cm3，dm3换算为cm3，是大单位换算为小单位，要乘进率1000； 因为1L＝1000mL，L换算为mL，是大单位换算为小单位，要乘进率1000； 因为1L＝1dm3，L换算为dm3，是等量换算； 因为1m3＝1000dm3，dm3换算为m3，是小单位换算为大单位，要除以进率1000； 因为1L＝1000mL，mL换算为L，是小单位换算为大单位，要除以进率1000； 因为1mL＝1cm3，mL换算为cm3，是等量换算。 【详解】0.7×1000＝700，所以0.7dm3＝700cm3； 2.8×1000＝2800，所以2.8L＝2800mL； 9L＝9dm3； 3500÷1000＝3.5，所以3500dm3＝3.5m3； 450÷1000＝0.45，所以450mL＝0.45L； 560mL＝560cm3。 题型十三、长方体和正方体的容积 【例题13】一个正方体容器，棱长是4分米，要在这个容器里倒入2分米深的水，需要( )升水。（玻璃的厚度不计） 【答案】32 【分析】往正方体容器里倒入2分米深的水，水的形状就是一个长方体，且长为4分米，宽为4分米，高2分米，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算最后根据1立方分米＝1升换算单位即可。 【详解】4×4×2 ＝16×2 ＝32（立方分米） 32立方分米＝32升 所以一个正方体容器，棱长是4分米，要在这个容器里倒入2分米深的水，需要32升水。（玻璃的厚度不计） 【练习13】汽车的油箱长8分米，宽5分米，高4分米，如果每升汽油重0.7千克，这个油箱可装汽油多少千克？（壁厚不计） 【答案】 112千克 【分析】已知汽车油箱长8分米，宽5分米，高4分米，根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高”求出油箱的容积，再将立方分米换算为升（1立方分米＝1升）；每升汽油重0.7千克，用每升汽油的质量乘油箱的容积即可求出这个油箱可装的汽油质量。 【详解】8×5×4 ＝40×4 ＝160（立方分米） 160立方分米＝160升 0.7×160＝112（千克） 答：这个油箱可装汽油112千克。 题型十四、体积的等积变形（长方体、正方体） 【例题14】一个棱长为8厘米的正方体容器中装满了水，将容器中的水全部倒入下面空的长方体容器中，长方体容器中水深( )厘米。 【答案】3.2 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，将数值代入公式计算出正方体容器中水的体积，长方体容器的底面是一个长为16厘米，宽为10厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出长方体容器底面积，再用水的体积除以底面积求出水的高度，据此解答即可。 【详解】8×8×8＝512（立方厘米） 16×10＝160（平方厘米） 512÷160＝3.2（厘米） 所以，长方体容器中水深3.2厘米。 【练习14】小军在泥塑课上把棱长6厘米和8厘米的两个正方体彩泥捏成了一个长方体，已知它的长是13厘米，宽是7厘米，它的高是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】根据题意，把两个正方体彩泥捏成了一个长方体，则长方体的体积等于两个正方体的体积之和； 先根据正方体的体积公式V＝a3，分别求出两个正方体的体积，再相加即是长方体的体积；再根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出长方体的高。 【详解】6×6×6＋8×8×8 ＝216＋512 ＝728（立方厘米） 728÷（13×7） ＝728÷91 ＝8（厘米） 答：它的高是8厘米。 题型十五、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【例题15】一个正方体木块的表面积是96平方分米，把它切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 64 32 【分析】 如图，把正方体切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积＝正方体的表面积÷2＋1个正方形面的面积；正方体表面积÷6＝1个面的面积，再根据1个面的面积＝棱长×棱长，确定正方体棱长，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体体积÷2＝长方体体积，据此列式计算。 【详解】96÷6＝16（平方分米） 96÷2＋16 ＝48＋16 ＝64（平方分米） 16＝4×4 4×4×4÷2 ＝64÷2 ＝32（立方分米） 每个长方体的表面积是64平方分米，体积是32立方分米。 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用正方体表面积和体积公式。 【练习15】一个长方体（如图），如果高增加3dm，就变成了棱长是9dm的正方体。表面积增加了( )dm2，体积增加了( )dm3。 【答案】 108 243 【分析】由题意可知，高增加3dm后变成正方体，说明原来长方体的底面是边长为9dm的正方形，如果高增加3dm，那么表面积增加了上面长方体四个侧面的面积，且长方体四个侧面的形状相同，面积相等，每个面都是长为9dm，宽为3dm的长方形，根据“长方形的面积＝长×宽”求出一个面的面积，再乘4求出增加的表面积；上面长方体的长为9dm，宽为9dm，高为3dm，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出增加的体积，据此解答。 【详解】9×3×4 ＝27×4 ＝108（dm2） 9×9×3 ＝81×3 ＝243（dm3） 所以，表面积增加了108dm2，体积增加了243dm3。 题型十六、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 【例题16】如图所示，由棱长2厘米的小正方体拼成的图形，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 152 80 【分析】观察图形可知，组合图形从前面、上面、右面分别看到6个、6个、7个小正方形，同理从后面、下面、左面也能看到6个、6个、7个小正方形，一共看到（6＋6＋7）×2个小正方形；那么组合图形的表面积＝每个小正方形的面积×看到的小正方形的个数，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解。 观察立体图形，共有10个小正方体，立体图形的体积＝每块小正方体的体积×小正方体的块数，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【详解】看到的小正方形的个数： （6＋6＋7）×2 ＝19×2 ＝38（个） 组合图形的表面积： 2×2×38 ＝4×38 ＝152（平方厘米） 1个小正方体的体积： 2×2×2＝8（立方厘米） 组合图形的体积： 8×10＝80（立方厘米） 所以，表面积是152平方厘米，体积是80立方厘米。 【练习16】下图物体是由一个正方体和一个长方体组成的，计算它的表面积和体积。 【答案】1620；3528 【分析】（1）观察图可知，正方体的棱长与长方体的宽相等，即12cm。长方体与正方体连接处有2个边长为12cm的正方形被遮挡了，所以这个组合图形的表面积相当于一个长方体的表面积加上4个边长为12cm的正方形的面积。根据长方体的表面积公式：，正方形的面积公式：，代入数据计算再相加即可。 （2）这个组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积。，，代入数据计算即可。 【详解】 （） （） 题型十七、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例题17】一个长方体无盖玻璃鱼缸，长1.2米，宽0.6米，高0.8米。 （1）制作这个鱼缸至少需要多少平方米的玻璃？ （2）如果往鱼缸中倒入0.48立方米的水，水面高度是多少米？ （3）再往鱼缸中放入一些鹅卵石（完全浸没），水面上升了0.1米，这些鹅卵石的体积是多少立方米？ 【答案】（1） 3.6平方米 （2） 米 （3） 0.072立方米 【分析】（1）制作无盖的鱼缸所需的玻璃面积就是用一个长方体表面积减去长方体上底面的面积，所以； （2）要求鱼缸水面的高度，就要用鱼缸里水的体积除以鱼缸的底面积；鱼缸的底面积是长方形，，据此进行计算即可； （3）上升水的体积就是鹅卵石的体积，就是用鱼缸的底面积乘水面上升的高度即可。 【详解】（1） 答：制作这个鱼缸至少需要3.6平方米的玻璃。 （2） 答：如果往鱼缸中倒入0.48立方米的水，水面高度是米。 （3） 答：这些鹅卵石的体积是立方米。 【练习17】“互联网＋教育”实现了优质课程和资源的共享。亮亮和丽丽在国家中小学智慧教育平台上学习了用排水法测量不规则物体的体积的方法，于是他们打算测量一个石块的体积，过程如下。 （1）亮亮：先从里面量得长方体容器的底面尺寸是12厘米×10厘米（如图），接着往这个高为8厘米的长方体容器内注入6厘米深的水。 （2）丽丽：然后放入石块，完全浸没，溢出了180毫升的水。 （1）他们需要准备多少毫升的水？ （2）这个石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）720毫升； （2）420立方厘米 【分析】（1）根据题意，往长为12厘米，宽为10厘米的长方体容器里注入6厘米深的水，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出水的体积；再根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位。 （2）把一个石块完全浸没在长方体容器的水中，溢出了180毫升的水，那么这个石块的体积＝水上升部分的体积＋水溢出的体积；其中水的高度上升了（8－6）厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出水上升部分的体积；水溢出了180毫升，根据进率“1毫升＝1立方厘米”换算成180立方厘米；两部分的体积相加，即是这个石块的体积。 【详解】（1）12×10×6 ＝120×6 ＝720（立方厘米） 720立方厘米＝720毫升 答：他们需要准备720毫升的水。 （2）180毫升＝180立方厘米 12×10×（8－6） ＝12×10×2 ＝120×2 ＝240（立方厘米） 240＋180＝420（立方厘米） 答：这个石块的体积是420立方厘米。 考点练习 练习一、长方体的认识及特征 1．如图标出了一个近似于长方体形状物体的长、宽、高，这个物体可能是（    ）。 A．一张试卷 B．一部手机 C．一本漫画书 D．一本《辞海》 【答案】C 【分析】图中长方体的长为28厘米，宽为20厘米，高（厚度）为0.6厘米，结合选项中物品的实际尺寸范围逐一分析。 【详解】A．试卷的厚度约0.1毫米（0.01厘米），远小于0.6厘米，不符合； B．手机的长通常为15～20厘米，宽为7～10厘米，长、宽均小于给定尺寸，不符合； C．漫画书的长通常为25～30厘米，宽为18～22厘米，厚度为0.5～1厘米，接近给定尺寸，符合； D．《辞海》属于大型工具书，厚度通常在5厘米以上，远大于0.6厘米，不符合。 故答案为：C 2．长方体有( )条棱，( )的棱长度相等。 【答案】 12 相对 【分析】根据长方体的特征是：长方体有8个顶点；有6个面， 6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；长方体有12条棱，可分为3组，每组相对的（互相平行的）4条棱的长度相等。由此解答。 【详解】由分析可知：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。 3．长方体有( )个面，相对的面( )。 【答案】 6/六 完全相同 【分析】长方体有6个面，一般情况下6个面都是长方形，相对的面形状相同，特殊情况下有两个相对的面是正方形，其它四个面都是形状相同的长方形，据此解答。 【详解】分析可知，长方体有6个面，相对的面完全相同。 4．计算长方体、正方体涂色面的面积。          【答案】35平方厘米；25平方厘米 【分析】长方体的涂色面是它的底面，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算求解； 正方体的涂色面是它的底面，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解。 【详解】7×5＝35（平方厘米） 长方体涂色面的面积是35平方厘米。 5×5＝25（平方厘米） 正方体涂色面的面积是35平方厘米。 练习二、长方体有关棱长的应用 1．一个长方体中相交于同一个顶点的三条棱的长度和是19分米，这个长方体的棱长总和是( )分米。 【答案】 76 【分析】长方体中相交于同一个顶点的三条棱分别是长方体的长、宽、高，已知它们的长度之和是19分米，根据“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”即可求出这个 长方体的棱长总和。 【详解】19×4＝76（分米） 所以这个长方体的棱长总和是76分米。 2．要把一个棱长为12厘米的正方体框架，改围成一个长方体框架，长方体的长为20厘米，高为6厘米，宽为( )厘米。 【答案】10 【分析】正方体一共有12条长度相同的棱，用棱长12厘米乘棱的数量12即可求出框架的总长； 根据长方体的特征，，长方体的长为20厘米，高为6厘米，代入即可求出宽的长度。 【详解】（厘米） （厘米） （厘米） 即这个长方体框架的宽为10厘米。 3．小明的爸爸打算制作一个长方体的工具箱，已知工具箱的长是8分米，宽是6分米，高是4分米。他需要给工具箱的所有边缘包上防撞条。请问他需要多长的防撞条？ 【答案】72分米 【分析】求需要多长的防撞条就是求长方体所有棱的长度之和。长方体共有12条棱，包括4条长、4条宽、4条高，因此总棱长＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】（8＋6＋4）×4 ＝18×4 ＝72（分米） 答：他需要72分米的防撞条。 4．如图，有一个长6分米、宽和高都是4分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，竖着捆一道，打结处共用1分米。一共要用绳子多长？ 【答案】53分米 【分析】看图可知，绳子的长＝长×2＋宽×4＋高×6＋打结处长度，据此列式解答。 【详解】6×2＋4×4＋4×6＋1 ＝12＋16＋24＋1 ＝53（分米） 答：一共要用绳子53分米长。 练习三、正方体的特征 1．正方体( )个面完全相同，( )条棱都相等。 【答案】 6 12 【分析】根据正方体的特征，正方体有6个面，每个面都是正方形，且面积相等，正方体有8个顶点，12条棱，每条棱长度相等，据此解答即可。 【详解】据分析可知，正方体6个面完全相同，12条棱都相等。 2．长方体和正方体都有( )个顶点。 【答案】8 【分析】根据长方体和正方体的共同特征可知，两者都有8个顶点。顶点是三条棱相交的点，每个立体图形共有8个这样的点。 【详解】长方体和正方体都是立体图形，长方体有6个面、12条棱、8个顶点，正方体作为特殊的长方体，同样具备6个面、12条棱、8个顶点。 所以长方体和正方体都有8个顶点。 3．小华用黏土球和塑料棒搭一个正方体框架（如图），要继续搭建，还需( )个黏土球，( )根( )cm长的塑料棒。 【答案】 4 7 4 【分析】根据正方体的特征：正方体有8个顶点、12条棱且每条棱长都相等。题中图形有4个顶点，5条棱，做减法即可求得还需几个黏土球（顶点），几个多长的塑料棒（棱长）。 【详解】8－4＝4（个） 12－5＝7（根） 所以要继续搭建，还需4个黏土球，7根4cm长的塑料棒。 练习四、正方体有关棱长的应用 1．如图，这个正方体的棱长是( )分米，棱长总和是( )分米。 【答案】 5 60 【分析】观察题意可知，正方体的棱长是5分米，根据正方体的棱长和＝棱长×12，代入数据解答。 【详解】5×12＝60（分米） 这个正方体的棱长是5分米，棱长总和是60分米。 2．一根48厘米长的铁丝，如果焊成一个正方体框架，棱长是( )厘米；如果焊成一个长5厘米，宽4厘米的长方体框架，高( )厘米。（接头处不计） 【答案】 4 3 【分析】已知用48厘米长铁丝焊成一个正方体框架，正方体的总棱长由12条相等的棱组成，因此棱长等于总长度除以12。长方体的总棱长由4条长、4条宽和4条高组成，已知长是5厘米，宽是4厘米，根据高＝总棱长÷4－长－宽，计算出该长方体的高。据此解答即可。 【详解】48÷12＝4（厘米） 48÷4－5－4 ＝12－5－4 ＝7－4 ＝3（厘米） 所以一根48厘米长的铁丝，如果焊成一个正方体框架，棱长是4厘米；如果焊成一个长5厘米，宽4厘米的长方体框架，高3厘米。 3．一只蚂蚁在棱长12厘米的正方体顶点A处，它只能沿着正方体的棱爬行，并且每条棱最多只能经过一次，蚂蚁最多能爬行( )厘米。    【答案】108 【分析】从A出发沿着棱前进，移动到每个顶点的时候都有两种选择，每次选择都避开返回已走过顶点的棱即可，画出图形解答即可。 【详解】如图：         最多走过9条棱， 12×9＝108（厘米） 蚂蚁最多能爬行108厘米。 【点睛】本题主要考查了最大与最小，数形结合是本题解题的关键。 4．中秋节做花灯是一种古老的传统民俗。东东用一根铁丝正好围成一个长4分米、宽3分米、高5分米的长方体花灯框架。若用这根铁丝围成一个正方体花灯框架，棱长是多少分米？ 【答案】4分米 【分析】长方体花灯框架长、宽、高分别为4分米、3分米、5分米，则这个长方体花灯框架棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，计算出棱长总和；根据正方体棱长总和＝棱长×12，据此计算得出答案。 【详解】（4＋3＋5）×4÷12 ＝12×4÷12 ＝4（分米） 答：棱长是4分米。 练习五、长方体和正方体的展开图 1．下列几何图形中，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体的展开图有如下类型：第一类，1-4-1型，中间一行4个正方形，两侧各1个正方形，共六种；第二类，1-3-2型，中间3个正方形，两侧一边有1个正方形、一边有2个正方形，共三种；第三类，2-2-2型，每行2个正方形，共3行，只有一种；第四类，3-3型，每行3个正方形，共2行；根据正方体展开图的特征，有 “田” 字格的展开图不能围成正方体；据此解答。 【详解】A．中间3个正方形，上边有2个正方形、下边有1个正方形，即1-3-2型，能围成正方体； B．中间一行4个正方形，两侧各1个正方形，即1-4-1型，能围成正方体； C．每行2个正方形，共3行，即2-2-2型，能围成正方体； D．展开图中有“田”字格，不能围成正方体。 故答案为：D 2．下列展开图 能折成一个长方体；展开图 能折成一个正方体。 【答案】 ① ④ 【分析】长方体有6个面，相对的面完全一样，正方体有6个面，每个面都是完全一样的正方形，根据长方体和正方体的展开图，是长方体或正方体展开图的可以折成长方体或正方体，据此分析。 【详解】①1－4－1型长方体展开图，能折成长方体；②不是正方体展开图，不能折成正方体；③不是长方体展开图，不能折成长方体；④1－4－1型正方体展开图，能折成正方体。 所以展开图①能折成一个长方体；展开图④能折成一个正方体。 3．下图是一个正方体的展开图，其中与A面相对的是( )面；与B面相对的是( )面；与C面相对的是( )面。 【答案】 D E F 【分析】正方体展开图的相对面辨别方法：位于同一行或同一列且中间间隔1个正方形面的两个正方形面是正方体的相对面；位于“Z”字两端处的两个正方形面是正方体的相对面。据此解答。 【详解】A面与D面位于“Z”字两端，是相对面； B面与E面中间间隔C面，是相对面； C面与F面中间间隔E面，是相对面。 所以与A面相对的是D面；与B面相对的是E面；与C面相对的是F面。 4．下面每个小方格的边长是1厘米。请你利用方格纸，按要求设计长方体、正方体纸盒的展开图。 （1）一个棱长2厘米的正方体纸盒。 （2）一个长4厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体纸盒（无盖）。 【答案】（1）见详解； （2）见详解 【分析】（1）正方体的每个面是正方形，其棱长为2厘米：在方格纸中对应每个面占据2×2个小方格（因小方格边长为1厘米）。 选取常见的“1－4－1”型展开图（即一行1个面，中间一行4个面，最后一行1个面）。首先绘制中间一行连续的4个2×2的正方形，保证左右对齐；接着在中间行的最上方绘制1个2×2的正方形，最下方也绘制1个2×2的正方形，确保相邻面之间存在公共边（折叠时能够拼接）。这样的排列方式下，6个面可折叠成正方体。（注：展开图类型不唯一，只要符合正方体展开图的规则即可）。 （2）底面：长4厘米（对应4个小方格）、宽3厘米（对应3个小方格），需绘制一个4×3的长方形； 前面和后面：长4厘米、高2厘米（对应2个小方格），共2个4×2的长方形； 左面和右面：宽3厘米、高2厘米，共2个3×2的长方形。 选择以底面为中心的排列方式：先绘制底面4×3的长方形。然后在底面的上边连接一个4×2的长方形（作为前面），在底面的下边连接一个4×2的长方形（作为后面）；在底面的左边连接一个3×2的长方形（作为左面），在底面的右边连接一个3×2的长方形（作为右面）。这样5个面连接后，折叠时底面作为底部，四个侧面向上围合，且无顶面，满足无盖长方体的要求（注：排列方式不唯一，只要面的连接关系和尺寸对应即可）。 【详解】（1）根据分析，画图如下：（画法不唯一） （2）根据分析，画图如下：（画法不唯一） 练习六、长方体和正方体表面积的计算 1．正方体的底面周长是16分米，它的表面积是( )平方分米。 【答案】96 【分析】根据正方体的底面为正方形，用底面周长÷4，可求得正方体的棱长，再由正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入即可求得它的表面积。 【详解】正方体的棱长：16÷4＝4（分米） 正方体的表面积： 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方分米） 所以它的表面积是96平方分米。 2．底面是正方形的长方体，侧面展开是周长16分米的正方形，它的表面积是( )平方分米。 【答案】18 【分析】底面是正方形的长方体，侧面展开是周长16分米的正方形，由此可知，周长16分米的正方形的边长等于底面正方形的周长、等于原长方体的高，由正方形的周长＝边长×4，用16÷4求出原长方体的高，再用原长方体的高除以4求出底面正方形的边长，该长方体的表面积＝侧面积＋底面正方形面积的2倍，侧面积＝边长是16÷4＝4（分米）的正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长解答。 【详解】16÷4÷4 ＝4÷4 ＝1（分米） 1×1×2＋（16÷4）×（16÷4） ＝2＋4×4 ＝2＋16 ＝18（平方分米） 所以它的表面积是18平方分米。 3．一个正方体的棱长之和是84厘米，它的棱长是( )厘米，占地面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 7 49 294 【分析】正方体有12条长度相等的棱，六个都是完全一样的正方形的面，表面积是六个面面积之和，占地面积是指，贴地面放置时那一个面的面积，据此解答。 【详解】（厘米） （平方厘米） （平方厘米） 故棱长7厘米，占地面积49平方厘米，表面积294平方厘米。 4．如图所示是一个长方体的展开图。它的宽是( )厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】 4 94 【分析】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是5厘米，高是3厘米，宽是（10－3－3）厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高），代入数据，即可解答。 【详解】10－3－3 ＝7－3 ＝4（厘米） （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝（35＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 宽是4厘米，它的表面积是94平方厘米。 5．计算下面长方体和正方体的表面积。      【答案】62平方分米；54平方分米 【分析】这个长方体的长为5分米，宽为2分米，高为3分米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求解； 这个正方体的棱长为3分米，根据正方体的表面积＝（边长×边长）×6即可求解。 【详解】（5×2＋5×3＋2×3）×2 ＝（10＋15＋6）×2 ＝31×2 ＝62（平方分米） 即这个长方体的表面积为62平方分米； （3×3）×6 ＝9×6 ＝54（平方分米） 即这个正方体的表面积为54平方分米。 练习七、长方体和正方体表面积的应用 1．做一个棱长3分米的无盖正方体铁皮箱至少需要( )铁皮。 【答案】45平方分米/45dm2 【分析】求做一个无盖正方体铁皮箱至少需要铁皮的面积，就是求这个无盖正方体的表面积，根据无盖正方体的表面积＝棱长×棱长×5，代入数据计算求解。 【详解】3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 做一个棱长3分米的无盖正方体铁皮箱至少需要45平方分米铁皮。 2．一种长方体通风管道，高2米，通风口长5分米，宽4分米。做10节这样的通风管道一共需要铁皮多少平方米？ 【答案】36平方米 【分析】分析题目，先根据1米＝10分米把分米换算成以米为单位，1节通风管的面积等于长方体的前后、左右4个面的面积之和，即1节通风管的面积＝长×高×2＋宽×高×2，据此求出1节通风管的面积，再乘通风管的数量即可解答。 【详解】5分米＝0.5米 4分米＝0.4米 0.5×2×2＋2×0.4×2 ＝1×2＋0.8×2 ＝2＋1.6 ＝3.6（平方米） 3.6×10＝36（平方米） 答：做10节这样的通风管道一共需要铁皮36平方米。 3．如图所示，一个正方体的礼盒，包装盒上的彩带总长是209厘米，其中打结处的蝴蝶结用了17厘米。做这个正方体礼盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 【答案】3456平方厘米 【分析】用彩带的长度减去打结处用的长度，求出剩下彩带的长度，也就是8条棱的长度，再除以8，求出每条棱多少厘米，再根据正方体表面积公式＝棱长×棱长×6，代入数值即可解答。 【详解】（209－17）÷8 ＝192÷8 ＝24（厘米） 24×24×6 ＝576×6 ＝3456（平方厘米） 答：至少需要3456平方厘米的硬纸板。 4．一个房间的长6米，宽4米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？ 【答案】304千克 【分析】根据题意可知，房间的四壁和顶面的面积是长方体除了底面积以外的表面积减去门窗面积，根据公式：长×宽＋（长×高＋高×宽）×2，求出长方体除了底面积以外的表面积，再减去门窗面积，即为要粉刷的面积，最后乘每平方米水泥重量即可解答。 【详解】6×4＋（6×3＋4×3）×2－8 ＝24＋（18＋12）×2－8 ＝24＋30×2－8 ＝24＋60－8 ＝84－8 ＝76（平方米） 4×76＝304（千克） 答：一共要水泥304千克。 练习八、体积和容积的认识 1．物体所占空间的大小叫作物体的( )，常用的体积单位有( )、( )和( )。容器所能容纳物体的( )叫作容器的容积。计量液体的体积，通常用( )或( )作单位。 【答案】 体积 立方米 立方分米 立方厘米 体积 升 毫升 【详解】根据体积和容积的认识，物体所占空间的大小叫作物体的体积，常用的体积单位有立方米、立方分米和立方厘米。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 2．一个杯子最多能装250mL，是指杯子的( )是250mL。 【答案】容积 【分析】杯子的“最多能装250mL”指的是它内部所能容纳液体的最大体积，根据数学定义，容器能容纳物体的体积称为“容积”。 【详解】题目中描述杯子“最多能装250mL”，这里的“装”指杯子内部可以容纳的液体量。容器所能容纳物体的体积称为容积。 所以，一个杯子最多能装250mL，是指杯子的容积是250mL。 3． 以上三种水果，( )的体积最大，( )的体积最小。 【答案】 西瓜 草莓 【分析】体积是指物体所占空间的大小，据此根据生活经验或观察示意图，所占空间最大的水果体积最大，所占空间最小的水果体积最小。 【详解】根据分析，西瓜的体积最大，草莓的体积最小。 练习九、体积和容积单位的认识 1．常用的体积单位有( )、( )和( )。计量容积，一般就用( )；计量液体体积，常用的容积单位有( )和( )。 【答案】 立方厘米 立方分米 立方米 体积单位 升 毫升 【分析】体积是物体所占空间的大小；一般用立方米、立方分米、立方厘米作单位； 容积是容器所能容纳物体的体积；计量容积一般用体积单位，计量液体的体积一般用升和毫升，据此解答。 【详解】常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。计量容积，一般就要体积单位；计量液体体积，常用的容积单位有升和毫升。 2．下列水果中，体积与1立方分米比较接近的是（    ）。 A．一个猕猴桃 B．一个西瓜 C．一颗草莓 D．一个柚子 【答案】D 【分析】棱长为1分米的正方体的体积是1立方分米，1分米＝10厘米，也就是边长为10厘米的正方体的体积是1立方分米，根据这个标准来估算各个选项中水果的体积。 【详解】A．一个猕猴桃的长度大致10厘米左右，宽和高大致5厘米左右，通过估算可知其体积是250立方厘米，不接近1立方分米。 B．西瓜是一种比较大的水果，一般西瓜的直径能达到20~40厘米甚至更大，其体积远远大于1立方分米。 C．草莓的形状通常近似于不规则的椭球，大约在1~5立方厘米，远小于1立方分米。 D．一个柚子小于西瓜大于猕猴桃，其体积接近1立方分米。 故答案为：D 3．把一只鸡蛋完全浸没在装满水的容器中，溢出水的体积大约是（    ）。 A．6毫升 B．60毫升 C．升 D．0.6升 【答案】B 【分析】溢出水的体积就是鸡蛋的体积。根据生活经验、数据大小及对体积单位的认识，一个手指尖的体积约1立方厘米，一个粉笔盒的体积约1立方分米；1立方厘米＝1毫升，1立方分米＝1升。一个鸡蛋大约有60毫升。 【详解】溢出水的体积＝鸡蛋的体积，大约是60毫升。 故答案为：B 练习十、体积、容积单位的选择 1．一本数学书的体积大约是24（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先，题目要求填写一本数学书体积的合适单位，体积的单位应该是立方形式，而cm2和dm2是面积单位， 然后，分析dm3和cm3，1dm3＝1000cm3，dm3是较大的体积单位，通常用于较大物体，比如较大的箱子等；一本数学书的长、宽、高一般以厘米为单位，其体积相对较小，dm3对于一本数学书来说太大了。 【详解】A．cm3，一本数学书的长、宽、高一般以厘米为单位，其体积相对较小，用cm3更合适； B．cm2，体积的单位应该是立方形式，排除； C．dm3，1dm3＝1000cm3，dm3是较大的体积单位，通常用于较大物体，比如较大的箱子等，排除； D．dm2，体积的单位应该是立方形式，排除。 故答案为：A 2．李明的爸爸想让他在学校时多喝水，给他新买了一个“吨吨杯”（如图），容积大约是（    ）。 A．1.5毫升 B．1.5升 C．1.5吨 D．1.5立方米 【答案】B 【分析】A．20滴水大约是1毫升，如果“吨吨杯”的容积是1.5毫升，太小了，不符合实际； B．两瓶矿泉水的容积是1升，如果“吨吨杯”的容积是1.5升，合适，符合实际； C．“吨”是质量单位，不是容积单位； D．一台小冰柜的容积大约是1立方米，如果“吨吨杯”的容积是1.5立方米，太大了，不符合实际。 【详解】李明的爸爸想让他在学校时多喝水，给他新买了一个“吨吨杯”（如图），容积大约是1.5升。 故答案为：B 3．在括号里填上合适的单位。 (1)一个家用热水器的容量约是80( )。 (2)一个标准游泳池的容积大约是2500( )。 【答案】(1)升/L (2)立方米/m3 【分析】常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米等，立方厘米常用于计量较小的物体，如弹珠、橡皮擦等的体积；立方分米通常描述一些稍大一点的物体，如小盆栽、小水桶等的体积；立方米常用于计量较大的物体或空间，如房屋的空间大小、集装箱的体积等。 常用的容积单位有升和毫升等，升一般用于计量较大容器的容积，比如油桶、大水壶；毫升常用于计量较小容器的容积，或者少量液体的体积，如口服液、小瓶药水。据此解答。 【详解】（1）1升大概是1个大瓶矿泉水的体积（常见大瓶矿泉水为1升装），家用热水器的量和80个大瓶矿泉水的体积差不多，所以家用热水器大约80升。 （2）1立方米大概是1台洗衣机的体积，标准游泳池的量和2500台洗衣机体积差不多，所以标准游泳池大约2500立方米。 4．在括号里填上合适的单位。 (1)一个苹果的体积约为400( )。 (2)一个游泳池的占地面积约为480( )。 (3)一瓶眼药水的容积约为25( )。 (4)一个喝水杯子的容积约为0.3( )。 【答案】(1)立方厘米/cm3 (2)平方米/m2 (3)毫升/mL (4)升/L 【分析】（1）一个拳头约300立方厘米，苹果比拳头大一些，所以计量一个苹果的体积用立方厘米作单位比较合适； （2）一间教室面积约50平方米，游泳池的面积是几间教室的大小，所以计量一个游泳池的占地面积用平方米作单位比较合适； （3）一瓶盖的水的容积约5毫升，所以计量一瓶眼药水的容积用毫升作单位比较合适； （4）一瓶常见矿泉水约500毫升，即0.5升，结合0.3这个数据，一个喝水杯子的容积用升作单位比较合适。 【详解】（1）一个苹果的体积约为400立方厘米。 （2）一个游泳池的占地面积约为480平方米。 （3）一瓶眼药水的容积约为25毫升。 （4）一个喝水杯子的容积约为0.3升。 练习十一、长方体和正方体的体积 1．一个长方体的体积是80立方分米，底面积是16平方分米，它的高是( )分米。 【答案】5 【分析】根据长方体体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。 【详解】80÷16＝5（分米） 一个长方体的体积是80立方分米，底面积是16平方分米，它的高是5分米。 2．用72厘米长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的占地面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 36 216 【分析】正方体有12条长度相等的棱，铁丝总长度72厘米是正方体的棱长总和。根据正方体棱长＝棱长总和÷12，先求出棱长，再根据正方形＝边长×边长、正方体体积＝边长×边长×边长，计算正方体的占地面积（底面积）和体积。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6＝36（平方厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 这个正方体的占地面积是36平方厘米，体积是216立方厘米。 3．一个长方体，长、宽、高分别是8厘米、3厘米和厘米，这个长方体的棱长和是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 4（11＋a） 24a 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算写出表达式即可。 【详解】（8＋3＋a）×4 ＝（11＋a）×4 ＝4（11＋a）（厘米） 8×3×a ＝24×a ＝24a（立方厘米） 所以一个长方体，长、宽、高分别是8厘米、3厘米和厘米，这个长方体的棱长和是4（11＋a）厘米，体积是24a立方厘米。 4．计算下面长方体和正方体的体积。 【答案】长方体的体积：640m3 正方体的体积：8000dm3 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答。 【详解】长方体的体积；8×5×16＝640（m3） 正方体的体积：20×20×20＝8000（dm3） 5．有一块正方体石料，棱长6分米，如果每立方分米石料重2.8千克，这块石料重多少千克？ 【答案】604.8千克 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出石料体积，石料体积×每立方分米质量＝这块石料的质量，据此列式解答。 【详解】6×6×6×2.8 ＝216×2.8 ＝604.8（千克） 答：这块石料重604.8千克。 6．2024年9月30日是全国第十一个烈士纪念日，习主席等党和国家领导人在天安门广场向人民英雄敬献花篮以示致敬。天安门广场的人民英雄纪念碑的碑心是一整块长14.7米、宽2.9米、厚1米的长方体花岗岩。它的体积是多少立方米？ 【答案】42.63立方米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，运用小数乘法运算法则计算得出答案。 【详解】14.7×2.9×1＝42.63（立方米） 答：它的体积是42.63立方米。 练习十二、体积与容积单位间的进率及换算 1．在括号里填上适当的数。 90020立方厘米＝( )升           9.08立方分米＝( )升( )毫升 【答案】 90.02 9 80 【分析】根据单位换算中，低级单位改写成高级单位是除以进率，由高级单位改写为低级单位是乘进率。1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米，1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，据此解答。 【详解】由分析可得： 因为90020÷1000＝90.02（立方分米） 所以90020立方厘米＝90.02立方分米＝90.02升 因为9.08立方分米＝9立方分米＋0.08立方分米 0.08×1000＝80（立方厘米） 所以9.08立方分米＝9立方分米＋80立方厘米＝9升＋80毫升 2．在括号里填上合适的数。 5200毫升＝( )立方分米     ( )立方厘米＝3升80毫升        350升＝( )立方分米 0.6米＝( )厘米    7.08立方分米＝( )升( )毫升        8020立方厘米＝( )立方分米 【答案】 5.2 3080 350 60 7 80 8.02 【分析】因为1立方分米＝1升＝1000毫升，毫升换算为立方分米，是小单位换算为大单位，要除以进率1000； 因为1毫升＝1立方厘米，毫升换算为立方厘米，是等量换算，即80毫升＝80立方厘米；因为1升＝1000毫升＝1000立方厘米，升换算为立方厘米，是大单位换算为小单位，要乘进率1000，再加上80即可； 因为1升＝1立方分米，升换算为立方分米，是等量换算； 因为1米＝100厘米，米换算为厘米，是大单位换算为小单位，要乘进率100； 7.08立方分米＝7立方分米＋0.08立方分米，因为1立方分米＝1升，立方分米换算为升，是等量换算；因为1立方分米＝1升＝1000毫升，立方分米换算为毫升，是大单位换算为小单位，要乘进率1000； 因为1立方分米＝1000立方厘米，立方厘米换算为立方分米，是小单位换算为大单位，要除以进率1000。 【详解】5200÷1000＝5.2，所以5200毫升＝5.2立方分米； 3×1000＝3000，3000＋80＝3080，所以3080立方厘米＝3升80毫升； 350升＝350立方分米； 0.6×100＝60，所以0.6米＝60厘米； 7.08立方分米＝7立方分米＋0.08立方分米，7立方分米＝7升，0.08×1000＝80，所以7.08立方分米＝7升80毫升； 8020÷1000＝8.02，所以8020立方厘米＝8.02立方分米。 3．在（    ）里填上合适的数。 301升＝( )毫升              7.8立方米＝( )立方分米 6立方分米＝( )升          80立方厘米＝( )立方分米 0.49立方分米＝( )升＝( )毫升 【答案】 301000 7800 6 0.08 0.49 490 【分析】1升＝1000毫升；1立方米＝1000立方分米；1立方分米＝1升；1立方分米＝1000立方厘米；1立方分米＝1000毫升；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】301×1000＝301000（毫升） 所以301升＝301000毫升 7.8×1000＝7800（立方分米） 所以7.8立方米＝7800立方分米 6立方分米＝6升 80÷1000＝0.08（立方分米） 所以80立方厘米＝0.08立方分米 0.49立方分米＝0.49升 0.49×1000＝490（毫升） 所以0.49立方分米＝0.49升＝490毫升 4．某品牌的空调外机可近似看成长方体，长约90cm，宽约40cm，高约70cm，这款空调外机占据的空间约为( )。 【答案】252 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出这款空调外机的体积，也就是外机占据的空间，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】90×40×70 ＝3600×70 ＝252000（cm3） 252000cm3＝252dm3 某品牌的空调外机可近似看成长方体，长约90cm，宽约40cm，高约70cm，这款空调外机占据的空间约为252dm3。 练习十三、长方体和正方体的容积 1．一个长方体的铁皮油漆桶，内部底面积是，高是20cm，这个铁皮油漆桶的容积是( )；如果每L油漆重0.8kg，这个铁皮油漆桶可以装油漆( )kg。 【答案】 9000 7.2 【分析】已知长方体的铁皮油漆桶的内部底面积是450 cm2，高是20cm，根据长方体体积＝底面积×高，代入数据，求出铁皮油漆桶的容积；根据1L＝1000 cm3，统一单位，再用铁皮油漆桶的容积乘0.8，即可求出这个铁皮油漆桶可以装油漆的重量，据此解答。 【详解】450×20＝9000（cm3） 9000cm3＝9L 9×0.8＝7.2（kg） 所以一个长方体的铁皮油漆桶，内部底面积是，高是20cm，这个铁皮油漆桶的容积是9000；如果每L油漆重0.8kg，这个铁皮油漆桶可以装油漆7.2kg。 2．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长60厘米，宽40厘米，高30厘米。这个鱼缸前面的玻璃破损了（如图），它最多能盛( )升的水。 【答案】36 【分析】鱼缸前面玻璃破损，无法直立装满水，要实现盛水最多，需将鱼缸倾斜放置，此时水的体积会受破损面限制，只能达到长方体容积的一半；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入长60厘米，宽40厘米，高30厘米的数值，算出鱼缸总容积；再用总容积除以2得到实际最大盛水量，最后根据1升＝1000立方厘米的换算关系，得出最终结果。据此解答。 【详解】60×40×30÷2 ＝2400×30÷2 ＝72000÷2 ＝36000（立方厘米） 36000立方厘米＝36升 所以最多能盛36升的水。 【点睛】本题的关键在于不能直接算鱼缸的整体容积，要考虑前面玻璃破损的实际情况，倾斜放置时盛水最多只能是鱼缸容积的一半，这是解题的核心隐藏条件。 3．某品牌的牛奶采用一种无菌纸质的长方体密封包装，这种包装可以百分之百再回收利用。李静从外面量，盒子长5.5cm，宽4.5cm，高10cm。盒子的体积是( )。盒面注明“净含量250mL”，商家的这项说明( )（填“真实”或“不真实”）。 【答案】 247.5 不真实 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出盒子的体积；1＝1mL，将标注的净含量与盒子的体积比较，标注的净含量＞盒子的体积，商家的这项说明不真实；标注的净含量＜盒子的体积，商家的这项说明真实。 【详解】5.5×4.5×10＝247.5（） 247.5＝247.5mL 250＞247.5 盒子的体积是247.5。盒面注明“净含量250mL”，商家的这项说明不真实。 4．“互联网＋”背景下，京东生鲜快递运送海鲜时使用了一种可以密封的长方体泡沫箱（如下图），从外面量长是56厘米，宽是36厘米，高是35厘米。已知泡沫厚3厘米，这种泡沫箱的容积是多少立方厘米？合多少立方分米？ 【答案】43500立方厘米；43.5立方分米 【分析】因为长方体泡沫箱的泡沫厚3厘米，所以从里面量的长为（56－3×2）厘米、宽为（36－3×2）厘米、高为（35－3×2）厘米；根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出这种泡沫箱的容积；再根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位即可。 【详解】（56－3×2）×（36－3×2）×（35－3×2） ＝（56－6）×（36－6）×（35－6） ＝50×30×29 ＝1500×29 ＝43500（立方厘米） 43500立方厘米＝43.5立方分米 答：这种泡沫箱的容积是43500立方厘米，合43.5立方分米。 5．一种长方体牛奶盒（如下图），亮亮通过测量，量出这个牛奶盒长5厘米，宽4厘米，高12.5厘米，这个牛奶盒能装250毫升牛奶吗？为什么？ 【答案】不能；理由见详解 【分析】这道题需明确长方体体积的计算方法：长方体体积＝长×宽×高。先利用长方体体积公式求出牛奶盒的体积，再根据实际情况（考虑牛奶盒的厚度），与250毫升作比较即可。 【详解】根据分析： 求长方体牛奶盒的体积： 所以牛奶盒的体积为，但牛奶盒有厚度，容积会小于250毫升，不能装250毫升的牛奶。 答：这个牛奶盒不能装250毫升牛奶。 6．把一张长26厘米、宽16厘米的长方形彩纸，从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？（先在图上画一画，再解答） 【答案】576立方厘米 【分析】由题可知，将一张长方形的纸从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，据此画图；剪去四个角后，折成无盖长方体的长为18厘米，宽为8厘米，高为4厘米，运用公式“长方体的容积＝长×宽×高”即可解答。 【详解】 （立方厘米） 答：这个纸盒的容积是576立方厘米。 练习十四、体积的等积变形（长方体、正方体） 1．把一块棱长2cm的正方体橡皮泥捏成一个高为1.6cm的长方体，这个长方体的底面积是( )cm2。 【答案】5 【分析】橡皮泥从正方体捏成长方体，形状改变但体积不变。已知正方体的棱长为2cm，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体的体积，即为长方体的体积；已知长方体的高为1.6cm，再根据“长方体的体积＝底面积×高”用体积除以高即可求出长方体的底面积。 【详解】2×2×2＝8（cm3） 8÷1.6＝5（cm2） 所以这个长方体的底面积是5cm2。 2．梁师傅要把一个棱长10厘米的正方体铁块熔成一个长方体，这个长方体长25厘米，宽8厘米，它的高是多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此先算出铁块的体积，把它熔铸成一个长方体，铁块的体积不变，根据长方体的体积公式可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），据此解答。 【详解】高：（10×10×10）÷（25×8） ＝1000÷200 ＝5（厘米） 答：它的高是5厘米。 3．有一个棱长是30厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个横截面积是90平方厘米的长方体，这个长方体的长是多少厘米？ 【答案】300厘米 【分析】先利用正方体的体积V＝a3，求出这块铁块的体积，因为这块铁块的体积是不变的，于是可以利用长方体的体积V＝Sh求出溶铸成的长方体铁块的长度。 【详解】 （厘米） 答：这个长方体的长是300厘米。 4．一个装满水的正方体水箱，从里面量棱长6分米，把它里面的水全部倒入一个从里面量长2米，宽和高都是4分米的水槽中，这时水面高多少厘米？ 【答案】27厘米 【分析】先统一单位，把分米、米都化成厘米，水的体积不变，先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算出正方体水箱中水的体积，再除以长方体水槽的底面积（长×宽）得到水的高度。 【详解】6分米＝60厘米 2米＝200厘米 4分米＝40厘米 60×60×60÷（200×40） ＝3600×60÷8000 ＝216000÷8000 ＝27（厘米） 答：这时水面高27厘米。 5．一块正方体的石料，棱长为5分米，若将这块正方体石料粉碎并填入一个长、宽均为4分米、深7分米的长方体土坑中，则能否将这个土坑填满？ 【答案】能将这个土坑填满 【分析】正方体石料粉碎前后体积不变。可先求出正方体体积，再求出长方体土坑的容积。然后两者比较，如果正方体体积小于长方体容积则不能填满，反之则能填满。据此解答。 【详解】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 4×4×7 ＝16×7 ＝112（立方分米） 125＞112 答：能将这个土坑填满。 6．如图是一个长方体木质花盆，从里面量，长35厘米，宽16厘米，高12厘米。这个长方体花盆中装有10厘米高的营养土，如果将这些营养土全部倒入一个从里面量棱长20厘米的空的正方体花盆中，那么正方体花盆中营养土的高度是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】营养土从长方体花盆倒入正方体花盆，其体积不变。所以先求出长方体花盆中营养土的体积，再用该体积除以正方体花盆的底面积，即可得到正方体花盆中营养土的高度。 【详解】35×16×10＝5600（立方厘米） 5600÷（20×20） ＝5600÷400 ＝14（厘米） 答：正方体花盆中营养土的高度是14厘米。 练习十五、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 1．如图，在一个长方体木块中，挖掉一个正方体木块后，下面说法正确的是（    ）。 A．表面积和体积都不变 B．表面积不变，体积变小 C．表面积变小，体积不变 D．表面积和体积都变小 【答案】B 【分析】从图中可知，在长方体木块的右上角挖掉一个正方体木块，那么体积就减少这个正方体木块的体积。 在没挖之前，长方体右上角处有3个面，挖掉一小块后，这个位置又露出了与原来相同的3个面，所以表面积没有变化。 【详解】物体的体积＝长方体的体积－1个正方体的体积 物体的表面积＝原来长方体的表面积 在一个长方体木块中，挖掉一个正方体木块后，表面积不变，体积变小。 故答案为：B 2．如图，王师傅把长的长方体木料锯成3个相同的小长方体，表面积增加了，原来长方体木料的体积是( )。 【答案】288 【分析】根据题意可知，增加的表面积等于4个长等于长方体的宽，宽等于长方体的高的长方形，用增加的面积÷4，求出一个面的面积，也就是长方体的底面积，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】2.4m＝24dm 48÷4×24 ＝12×24 ＝288（dm3） 原来长方体木料的体积是288dm3。 3．一个长11厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体木块可以切成( )个棱长为2厘米的正方体木块。 【答案】100个 【分析】计算长方体各边能切出的小正方体数量时，需分别用各边长度除以小正方体的棱长，取整数部分相乘。长11厘米可切5个，宽10厘米可切5个，高8厘米可切4个，总数为三者乘积。 【详解】长可切个数：（个），取整数部分为5个； 宽可切个数：（个），取整数部分为5个； 高可切个数：（个），取整数部分为4个； 总个数：（个）。 所以可以切成100个棱长为2厘米的正方体木块。 4．把3个棱长为3分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 126 81 【分析】把3个棱长为3分米的正方体摆成一个长方体（以这三个正方体横着摆成一行为例，其他摆法计算方式同理），则这个长方体的长是（3×3）分米，宽是（1×3）分米，高是（1×3）分米。长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】这个长方体的长：3×3＝9（分米） 宽：1×3＝3（分米） 高：1×3＝3（分米） （9×3＋3×3＋9×3）×2 ＝（27＋9＋27）×2 ＝（36＋27）×2 ＝63×2 ＝126（平方分米） 9×3×3 ＝27×3 ＝81（立方分米） 把3个棱长为3分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积是126平方分米，体积是81立方分米。 5．如果把一个长15厘米、宽9厘米、高10厘米的长方体切成一个最大的正方体，正方体的体积是( )立方厘米，剩下部分的体积是( )立方厘米。 【答案】 729 621 【分析】把长方体要切出一个最大的正方体，正方体的边长必须等于长方体最短的边长。长方体的长、宽、高分别是15厘米、9厘米、10厘米，其中宽9厘米是最小值，则正方体的边长为9厘米。正方体的体积＝边长×边长×边长，剩下部分的体积为长方体体积减去正方体体积。据此解答。 【详解】15×9×10 ＝135×10 ＝1350（立方厘米） 9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方厘米） 剩下部分体积：1350−729＝621（立方厘米） 则正方体的体积是729立方厘米，剩下部分的体积是621立方厘米。 6．把一根长2米的长方体木料，沿横截面平均锯成4段，表面积增加了300平方厘米，这根木料的体积是( )立方分米。 【答案】10 【分析】把长方体木料沿横截面方向锯成4段，需要锯4－1＝3次，每锯1次会增加2个横截面，因此锯3次共增加2×3＝6个横截面。表面积总共增加了300平方厘米，且增加的是6个横截面的面积，因此单个横截面的面积为：300÷6＝50（平方厘米），木料长2米，1米＝100厘米，2米为2×100＝200厘米，根据V＝Sh，把数据代入计算即可得出木料的体积。 【详解】4－1＝3（次） 2×3＝6（个） 300÷6＝50（平方厘米） 2米＝200厘米 50×200＝10000（立方厘米） 10000立方厘米＝10立方分米 这根长方体木料的体积是10立方分米。 练习十六、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 1．下图是由棱长5cm的正方体拼成的，请求出下图的表面积和体积。 表面积：   体积： 【答案】表面积：600cm2；体积：875cm3 【分析】表面积：从前面和后面看有4个面，从上面和下面看有4个面，从左面和右面看有4个面积；一共有4×2×3个面；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出小正方体一个面的面积，进而求出组合体的表面积。 体积：有2层，上层3个小正方形，下层是4个小正方体，一共有3＋7＝4＝7个小正方体；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出一个小正方体的体积，进而求出组合体的体积。 【详解】表面积： 4×2×3×（5×5） ＝8×3×25 ＝24×25 ＝600（cm2） 体积：5×5×5×（3＋4） ＝25×5×7 ＝125×7 ＝875（cm3） 组合体的表面积是600cm2，体积是875cm3。 2．求下面图形的表面积。 【答案】1266cm2 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6。由于题中正方体和长方体相接，那么组合体的表面积比长方体和正方体的表面积之和少两个正方体面的面积，即只需要求正方体四个面的面积。据此解题。 【详解】（25×15＋25×4＋15×4）×2＋7×7×4 ＝（375＋100＋60）×2＋196 ＝535×2＋196 ＝1070＋196 ＝1266（cm2） 3．一个零件的形状如图（单位：厘米），这个零件的体积是多少立方厘米？ 【答案】1760立方厘米 【分析】这个零件的体积等于两个长方体的体积和，根据长方体体积＝长×宽×高，分别计算出体积，相加即可。 【详解】10×8×4＋18×8×10 ＝320＋1440 ＝1760（立方厘米） 这个零件的体积是1760立方厘米。 4．一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【答案】312平方厘米；168立方厘米 【分析】观察图形可知，在正方体木料的6个面中央各挖走一个棱长2厘米的正方体洞孔，则每个面都减少了1个（2×2）的面，同时又露出了5个（2×2）的面，所以每个面比原来增加了4个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了6个（2×2×4）的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为6厘米的正方体木料的表面积，再加上6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表面积。 此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是312平方厘米，体积是168立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。 5．如图，从长30厘米、宽20厘米、高10厘米的大长方体中挖去一个长、宽都是8厘米，高10厘米的小长方体，你能计算出剩余部分的表面积和体积吗？ 【答案】2392平方厘米；5360立方厘米 【分析】剩余部分的表面积＝大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积－小长方体上下两个面的面积；剩余部分的体积＝大长方体体积－小长方体体积。 【详解】（30×20＋30×10＋20×10）×2 ＝（600＋300＋200）×2 ＝1100×2 ＝2200（平方厘米） 8×10×4＝320（平方厘米） 2200＋320－8×8×2 ＝2520－128 ＝2392（平方厘米） 30×20×10－8×8×10 ＝6000－640 ＝5360（立方厘米） 答：剩余部分的表面积2392平方厘米，体积5360立方厘米。 【点睛】关键是认真观察剩余部分的形状，掌握长方体表面积和体积公式。 练习十七、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1．将未拆封的整瓶饮料（如图）完全浸没在长方体容器中，容器中上升水的体积可能是（    ）毫升。 A．450 B．480 C．500 D．540 【答案】D 【分析】饮料瓶的净含量是500毫升，容器中上升的水的体积是饮料瓶的体积，同一个物体的体积比它的容积大，所以上升水的体积比500毫升多。 【详解】容器中上升水的体积是饮料瓶的体积，同一个物体的体积比容积大，所以上升水的体积比500毫升多。 故答案为：D 2．观察图，并回答问题：一个正方体铁块的体积是( )立方厘米，一个球形铁块的体积是( )立方厘米。 【答案】 150 50 【分析】当物体完全沉没在水里后，前后体积的差就是物体的体积，根据图2和图1：一个正方体铁块的体积＋两个球形铁块的体积是850减600。根据图1和图3，用650减600求出球形铁块的体积，再结合图2和图1，用一个正方体铁块的体积＋两个球形铁块的体积减两个球形铁块的体积得出一个正方体铁块的体积。注意单位的换算。 【详解】650－600＝50（毫升） 50毫升＝50立方厘米 850－600＝250（毫升） 250－50×2 ＝250－100 ＝150（毫升） 150毫升＝150立方厘米 所以一个正方体铁块的体积是150立方厘米，一个球形铁块的体积是50立方厘米。 3．一个长10分米、宽8分米的长方体水槽，水深6分米。现将一根底面积是20平方分米的长方体铁棒竖直放入水中，其底面与水槽底完全接触（水没有溢出），仍有部分铁棒露出水面，现在水深( )分米。 【答案】8 【分析】铁棒竖直放入水中且水未溢出，因此水的总体积始终不变，先计算出水的初始体积（长方体体积＝长×宽×高）。铁棒底面与水槽底完全接触，相当于水槽中能装水的底面积被铁棒占去一部分，新的装水底面积＝水槽底面积－铁棒底面积。“水深＝水的体积÷新的底面积”，用不变的水体积除以变化后的底面积，即可算出现在的水深。 【详解】水的体积：10×8×6 ＝80×6 ＝480（立方分米） 新的底面积：10×8－20 ＝80－20 ＝60（平方分米） 现在的水深：480÷60＝8（分米） 所以现在水深8分米。 4．看下图填空。1个小球的体积是( )，1个大球的体积是( )。 【答案】 12 30 【分析】根据1mL＝1cm3，将mL换算为cm3，78mL＝78cm3，42mL＝42cm3； 观察图2溢出42cm3，即1大球与1小球的体积和为42cm3，图3溢出78cm3，即1大球与4小球的体积和为78cm3，两者的体积差为78－42＝36cm3，对应4－1＝3个小球的体积，因此1个小球的体积为36÷3＝12cm3。 最后用42cm3（1大球与1小球的体积和）减去小球的体积12cm3即可求出大球的体积。 【详解】78mL＝78cm3 42mL＝42cm3 78－42＝36（cm3） 36÷（4－1） ＝36÷3 ＝12（cm3） 42－12＝30（cm3） 所以1个小球的体积是12cm3，1个大球的体积是30cm3。 5．数学实验课上，同学们正在测量铁球体积，步骤如下： （1）取一个长20厘米，宽15厘米的长方体容器，注入部分水（如图①）； （2）放入甲球，甲球完全浸没在水中，水面上升了4厘米（如图②）； （3）再放入乙球，这时有部分水溢出（如图③）； （4）取出乙球，这时水面距离容器口6厘米（如图④）。 甲球的体积是( )立方厘米，乙球的体积是( )立方厘米。 【答案】 1200 1800 【分析】放入甲球，甲球完全浸没在水中，水面上升4厘米，也就是甲球的体积相当于一个长20厘米，宽15厘米，高4厘米的长方体体积；根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可； 乙球从水里拿出来后，乙球的体积与水面下降部分的体积相同，水面下降的体积可看作长20厘米，宽15厘米，高6厘米的长方体体积；根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可。 【详解】20×15×4 ＝300×4 ＝1200（立方厘米） 所以甲球的体积是1200立方厘米。 20×15×6 ＝300×6 ＝1800（立方厘米） 所以乙球的体积是1800立方厘米。 甲球的体积是1200立方厘米，乙球的体积是1800立方厘米。 6．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米。 (1)在鱼缸里注入40升的水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） (2)再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.3分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】(1)2分米 (2)6立方分米 【分析】（1）首先统一单位：40升＝40立方分米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，变形得：高＝体积÷（长×宽），代入数据计算即可。 （2）鹅卵石的体积等于水面上升的那部分水的体积，代入体积公式计算即可，高就是水面上升的高度。 【详解】（1）40升＝40立方分米 40÷（5×4） ＝40÷20 ＝2（分米） 答：在鱼缸里注入40升的水，水深2分米。 （2）5×4×0.3 ＝20×0.3 ＝6（立方分米） 答：鹅卵石的体积一共是6立方分米。 7．以下是科学课上同学们测量一个土豆的体积时被打乱的实验步骤： ①列式计算出土豆的体积；②找一个无盖的长方体透明塑料桶，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米；③将土豆浸没在水里，量出水面高度22厘米；④倒入适量的水，量出水面高度15厘米。 （1）我觉得正确的实验顺序是（    ）。（填序号） （2）这个土豆的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）②④③① （2）336立方厘米 【分析】（1）计算不规则物体的体积，首先在容器内放入一定量的水，然后把不规则物体放进去，完全浸没，看水面上升的高度，最后即可求出不规则物体的体积； （2）不规则物体的体积就是水面上升部分水的体积，所以土豆的体积＝长方体的长×宽×水面上升的高度，其中水面上升的高度就是土豆浸没水中前后的高度差，据此列式解答。 【详解】（1）由分析排序如下：②找一个无盖的长方体透明塑料桶，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米；④倒入适量的水，量出水面高度15厘米；③将土豆浸没在水里，量出水面高度22厘米；①列式计算出土豆的体积。也就是②④③①。 （2）8×6×（22－15） ＝8×6×7 ＝48×7 ＝336（立方厘米） 答：这个土豆的体积是336立方厘米。 8．张叔叔用铝合金条制作一个长为5分米，宽为3分米，高为4分米的长方体框架。 （1）在制作过程中铝合金条损耗2分米，做这个框架共需要准备铝合金条多少分米？ （2）张叔叔用玻璃将这个框架镶成一个无盖鱼缸，共需玻璃多少平方分米？ （3）张叔叔往鱼缸里加水45升，如果鱼缸平放在桌子上，这时水深多少分米？ （4）张叔叔又往水里放入鹅卵石、水草和鱼，水面上升了2.5厘米，这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？ 【答案】（1）50分米 （2）79平方分米 （3）3分米 （4）3750立方厘米 【分析】（1）求铝合金条的长度，就是求长方体框架的棱长和加上铝合金条的损耗。 已知棱长和＝（长＋宽＋高）×4，损耗是2分米，先求出棱长和，再用棱长和加上损耗，就是需要准备铝合金条的长度。 （2）算做一个无盖鱼缸需要多少平方分米玻璃，就是求长方体的底面积和侧面积的和。 长方体的底面积＝长×宽，长方体的侧面积＝底面周长×高＝（长＋宽）×2×高，代入数值，分别求出长方体的底面积和侧面积，再相加，即可求解。 （3）水装在长方体鱼缸中， 形状是长方体，根据长方体的体积＝底面积×高，可得高＝长方体的体积÷底面积＝长方体的体积÷（长×宽），此时长方体的体积就是水的体积，高就是水深，代入数值，即可求出水深。 （4）先统一单位，5分米=50厘米，3分米=30厘米。上升的水的体积就是放入的鹅卵石、水草和鱼的体积。上升的水的体积形状是长方体，根据长方体的体积＝底面积×高，可得上升的水的体积＝底面积×水面上升的高度＝长×宽×水面上升的高度，代入数值，即可求解。 【详解】（1）（5＋3＋4）×4＋2 ＝（8＋4）×4＋2 ＝12×4＋2 ＝48＋2 ＝50（分米） 答：做这个框架共需要准备铝合金条50分米。 （2）5×3＋（5＋3）×2×4 ＝5×3＋8×2×4 ＝15＋16×4 ＝15＋64 ＝79（平方分米） 答：共需玻璃79平方分米。 （3）45升＝45立方分米 45÷（5×3） ＝45÷15 ＝3（分米） 答：这时水深3分米。 （4）5分米=50厘米 3分米=30厘米 50×30×2.5 ＝1500×2.5 ＝3750（立方厘米） 答：这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是3750立方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题06 长方体和正方体 考点梳理 2 考点一、长方体和正方体的认识 2 考点二、长方体和正方体的展开图 2 考点三、长方体和正方体的表面积 3 考点四、体积和容积 3 考点五、长方体和正方体的体积 4 例题讲解 4 题型一、长方体的认识及特征 4 题型二、长方体有关棱长的应用 4 题型三、正方体的特征 5 题型四、正方体有关棱长的应用 5 题型五、长方体和正方体的展开图 5 题型六、长方体和正方体表面积的计算 5 题型七、长方体和正方体表面积的应用 6 题型八、体积和容积的认识 6 题型九、体积和容积单位的认识 6 题型十、体积、容积单位的选择 7 题型十一、长方体和正方体的体积 7 题型十二、体积与容积单位间的进率及换算 7 题型十三、长方体和正方体的容积 8 题型十四、体积的等积变形（长方体、正方体） 8 题型十五、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 8 题型十六、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 9 题型十七、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 9 考点练习 10 练习一、长方体的认识及特征 10 练习二、长方体有关棱长的应用 11 练习三、正方体的特征 12 练习四、正方体有关棱长的应用 12 练习五、长方体和正方体的展开图 13 练习六、长方体和正方体表面积的计算 13 练习七、长方体和正方体表面积的应用 14 练习八、体积和容积的认识 15 练习九、体积和容积单位的认识 15 练习十、体积、容积单位的选择 16 练习十一、长方体和正方体的体积 16 练习十二、体积与容积单位间的进率及换算 17 练习十三、长方体和正方体的容积 18 练习十四、体积的等积变形（长方体、正方体） 19 练习十五、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 20 练习十六、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 21 练习十七、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 22 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识 1.长方体的特征 （1）面、棱、顶点：长方体有6个面，相对的面完全相同（面积相等）；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。 （2）长、宽、高：相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作长方体的长、宽、高。长方体的长、宽、高不是固定不变的，与摆放方式有关。 2.正方体的特征 （1）面、棱、顶点：正方体有6个面，都是完全相同的正方形；有12条棱，长度都相等；有8个顶点。 （2）棱长：正方体的每条棱的长度叫作正方体的棱长。正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）。 3.长方体与正方体的关系 （1）异同点 ①相同点：都有6个面、12条棱、8个顶点。 ②不同点：长方体的6个面一般是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），棱长一般分三组，每组4条棱相等；正方体的6个面都是正方形，12条棱都相等。 （2）包含关系：正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体，可以用集合图表示为正方体是长方体的一部分。 考点二、长方体和正方体的展开图 1.展开图的含义 （1）定义：沿着长方体（或正方体）的棱将它剪开，得到的平面图形就是长方体（或正方体）的展开图。 （2）特征：展开图中，相对的面完全隔开，不会相邻。 2.正方体展开图的类型 （1）基本形态：正方体的展开图由6个完全相同的正方形组成。常见的展开图类型有“1-4-1”型（中间4个，上下各1个）、“2-3-1”型（中间3个，一边2个，另一边1个）、“2-2-2”型（阶梯状排列）和“3-3”型（两行，每行3个）等。 （2）相对面的判断：在展开图中，可以通过“隔一”或“Z字端点”等方法判断相对的面。 3.长方体展开图的特征 （1）组成：长方体的展开图由3组相对的长方形（或正方形）组成，每组中的两个面完全相同。 （2）相对面的位置：在展开图中，相对的面之间至少隔着一个面，不会相邻。 考点三、长方体和正方体的表面积 1.表面积的意义 （1）定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫作它的表面积。 （2）实际应用：在实际生活中，如制作鱼缸、无盖盒子、通风管等，需要根据实际情况判断求几个面的面积（如无盖长方体表面积=5个面的面积和）。 2.表面积的计算公式 （1）长方体表面积：长方体的表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2，用字母表示为 。 （2）正方体表面积：正方体的表面积 = 棱长×棱长×6，用字母表示为 。 考点四、体积和容积 1.体积和容积的意义 （1）体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 （2）容积：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。注意：只有能盛装其他物体的物体才是容器，求容积要从容器内部测量数据。 2.体积单位和容积单位 （1）体积单位：常用的体积单位有立方厘米（ ）、立方分米（ ）和立方米（ ）。 （2）容积单位：计量液体的体积，通常用升（L）或毫升（mL）作单位。 立方分米 = 升， 立方厘米 = 毫升。 3.单位换算 （1）相邻单位进率：相邻体积单位之间的进率是1000，即 ， 。 （2）容积与体积：升 = 毫升， 升 = 立方分米， 毫升 = 立方厘米。 考点五、长方体和正方体的体积 1.体积计算公式 （1）长方体体积：长方体的体积 = 长×宽×高，用字母表示为 。 （2）正方体体积：正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为 。 2.统一的体积公式 （1）底面积×高：长方体和正方体的体积都可以用“底面积×高”来计算，用字母表示为 。其中， 表示底面积， 表示高。 3.体积公式的应用 （1）已知体积求高：如果已知长方体的体积和底面积，可以用“体积÷底面积=高”来求高。 （2）不规则物体体积：测量不规则物体（如土豆、石块）的体积，可以用排水法，即物体的体积等于容器底面积乘水面上升的高度。 例题讲解 题型一、长方体的认识及特征 【例题1】长方体的面是( )，也可能有2个相对的面是( )，相对的面( )，相对的棱长度( )。 【练习1】一件商品的外包装的尺寸是“506×620×1280mm”，这件商品可能是（    ）。 A．橡皮 B．书包 C．冰箱 D．茶杯 题型二、长方体有关棱长的应用 【例题2】蒋阿姨买了一箱苹果，外包装用丝带捆扎起来（如图），其中打结处用去18厘米丝带，捆扎这个箱子一共需要多少分米丝带？ 【练习2】制作一个长方体广告箱框架，需要用铝合金条104分米。已知这个广告箱的长是8分米、高是12分米，这个长方体广告箱的宽是多少分米？ 题型三、正方体的特征 【例题3】正方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点，从不同的角度最多能看到( )个面。 【练习3】正方体的面都是完全相同的( )，每条棱长度( )。 题型四、正方体有关棱长的应用 【例题4】用60厘米的铁丝正好围成一个正方体框架，则它的棱长是（    ）厘米。 A．6 B．5 C．4 D．3 【练习4】用一根铁丝焊接成一个棱长是8分米正方体框架，用同样长的铁丝可以焊接出一个长是13分米，宽是( )分米，高是7分米的长方体框架。 题型五、长方体和正方体的展开图 【例题5】下面三幅图中，能围成长方体或者正方体的有哪些？（    ） A．只有①② B．只有②③ C．只有①③ D．①②③ 【练习5】下边的纸片折起来可以做成一个正方体，这个正方体“数”字的对面是（    ）。 A．联 B．网 C．互 D．＋ 题型六、长方体和正方体表面积的计算 【例题6】一个正方体的棱长是4分米，它的表面积是( )。 【练习6】计算下面长方体和正方体的表面积。 （1）（2） 题型七、长方体和正方体表面积的应用 【例题7】做一个无盖的正方体玻璃鱼缸，棱长6分米，至少需要多少平方分米玻璃？ 【练习7】为了营造更好的阅读环境，活动中心阅读书房准备重新粉刷四面墙壁，书房长6米，宽4米，高2.5米，其中门窗占8平方米无需粉刷。这个房间的粉刷面积是多少平方米？ 题型八、体积和容积的认识 【例题8】较大容器盛装液体时用( )作单位，较小容器盛装液体时用( )作单位。 【练习8】冷藏冰柜的容积（    ）它的体积。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法比较 题型九、体积和容积单位的认识 【例题9】下面物品中，（    ）的体积比1立方分米大，同时比1立方米小。 A．草莓 B．乒乓球 C．纸巾盒 D．公共汽车 【练习9】一只纯净水桶里面装了12L的水，12L是（    ）。 A．水的体积 B．水桶的体积 C．水桶的容积 D．水的容积 题型十、体积、容积单位的选择 【例题10】在括号里填上合适的单位。 一个苹果的体积约为400( )；一个普通水杯的容积约是0.3( )。 【练习10】下面是乐乐的数学日记，在括号里填上合适的单位。 我家房子面积约是90( )。客厅里有一桶容积是18( )的饮用水，够我家喝上一星期呢！我的写字台不大，上面放着一个体积为1( )的笔盒，笔盒的旁边是一瓶容积为60( )的黑墨水。 题型十一、长方体和正方体的体积 【例题11】计算下面图形的体积。（单位：cm）             【练习11】一个长方体，长、宽、高分别是8厘米、3厘米和a厘米，这个长方体的棱长和是( )厘米，体积是( )立方厘米。 题型十二、体积与容积单位间的进率及换算 【例题12】想一想，填一填。 20升＝( )立方米        2025立方分米＝( )立方米 9.46立方分米＝( )升    5.9升＝( )毫升 【练习12】0.7dm3＝( )cm3        2.8L＝( )mL    9L＝( )dm3 3500dm3＝( )m3    450mL＝( )L    560mL＝( )cm3 题型十三、长方体和正方体的容积 【例题13】一个正方体容器，棱长是4分米，要在这个容器里倒入2分米深的水，需要( )升水。（玻璃的厚度不计） 【练习13】汽车的油箱长8分米，宽5分米，高4分米，如果每升汽油重0.7千克，这个油箱可装汽油多少千克？（壁厚不计） 题型十四、体积的等积变形（长方体、正方体） 【例题14】一个棱长为8厘米的正方体容器中装满了水，将容器中的水全部倒入下面空的长方体容器中，长方体容器中水深( )厘米。 【练习14】小军在泥塑课上把棱长6厘米和8厘米的两个正方体彩泥捏成了一个长方体，已知它的长是13厘米，宽是7厘米，它的高是多少厘米？ 题型十五、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【例题15】一个正方体木块的表面积是96平方分米，把它切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【练习15】一个长方体（如图），如果高增加3dm，就变成了棱长是9dm的正方体。表面积增加了( )dm2，体积增加了( )dm3。 题型十六、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 【例题16】如图所示，由棱长2厘米的小正方体拼成的图形，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【练习16】下图物体是由一个正方体和一个长方体组成的，计算它的表面积和体积。 题型十七、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例题17】一个长方体无盖玻璃鱼缸，长1.2米，宽0.6米，高0.8米。 （1）制作这个鱼缸至少需要多少平方米的玻璃？ （2）如果往鱼缸中倒入0.48立方米的水，水面高度是多少米？ （3）再往鱼缸中放入一些鹅卵石（完全浸没），水面上升了0.1米，这些鹅卵石的体积是多少立方米？ 【练习17】“互联网＋教育”实现了优质课程和资源的共享。亮亮和丽丽在国家中小学智慧教育平台上学习了用排水法测量不规则物体的体积的方法，于是他们打算测量一个石块的体积，过程如下。 （1）亮亮：先从里面量得长方体容器的底面尺寸是12厘米×10厘米（如图），接着往这个高为8厘米的长方体容器内注入6厘米深的水。 （2）丽丽：然后放入石块，完全浸没，溢出了180毫升的水。 （1）他们需要准备多少毫升的水？ （2）这个石块的体积是多少立方厘米？ 考点练习 练习一、长方体的认识及特征 1．如图标出了一个近似于长方体形状物体的长、宽、高，这个物体可能是（    ）。 A．一张试卷 B．一部手机 C．一本漫画书 D．一本《辞海》 2．长方体有( )条棱，( )的棱长度相等。 3．长方体有( )个面，相对的面( )。 4．计算长方体、正方体涂色面的面积。          练习二、长方体有关棱长的应用 1．一个长方体中相交于同一个顶点的三条棱的长度和是19分米，这个长方体的棱长总和是( )分米。 2．要把一个棱长为12厘米的正方体框架，改围成一个长方体框架，长方体的长为20厘米，高为6厘米，宽为( )厘米。 3．小明的爸爸打算制作一个长方体的工具箱，已知工具箱的长是8分米，宽是6分米，高是4分米。他需要给工具箱的所有边缘包上防撞条。请问他需要多长的防撞条？ 4．如图，有一个长6分米、宽和高都是4分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，竖着捆一道，打结处共用1分米。一共要用绳子多长？ 练习三、正方体的特征 1．正方体( )个面完全相同，( )条棱都相等。 2．长方体和正方体都有( )个顶点。 3．小华用黏土球和塑料棒搭一个正方体框架（如图），要继续搭建，还需( )个黏土球，( )根( )cm长的塑料棒。 练习四、正方体有关棱长的应用 1．如图，这个正方体的棱长是( )分米，棱长总和是( )分米。 2．一根48厘米长的铁丝，如果焊成一个正方体框架，棱长是( )厘米；如果焊成一个长5厘米，宽4厘米的长方体框架，高( )厘米。（接头处不计） 3．一只蚂蚁在棱长12厘米的正方体顶点A处，它只能沿着正方体的棱爬行，并且每条棱最多只能经过一次，蚂蚁最多能爬行( )厘米。    4．中秋节做花灯是一种古老的传统民俗。东东用一根铁丝正好围成一个长4分米、宽3分米、高5分米的长方体花灯框架。若用这根铁丝围成一个正方体花灯框架，棱长是多少分米？ 练习五、长方体和正方体的展开图 1．下列几何图形中，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下列展开图 能折成一个长方体；展开图 能折成一个正方体。 3．下图是一个正方体的展开图，其中与A面相对的是( )面；与B面相对的是( )面；与C面相对的是( )面。 4．下面每个小方格的边长是1厘米。请你利用方格纸，按要求设计长方体、正方体纸盒的展开图。 （1）一个棱长2厘米的正方体纸盒。 （2）一个长4厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体纸盒（无盖）。 练习六、长方体和正方体表面积的计算 1．正方体的底面周长是16分米，它的表面积是( )平方分米。 2．底面是正方形的长方体，侧面展开是周长16分米的正方形，它的表面积是( )平方分米。 3．一个正方体的棱长之和是84厘米，它的棱长是( )厘米，占地面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 4．如图所示是一个长方体的展开图。它的宽是( )厘米，它的表面积是( )平方厘米。 5．计算下面长方体和正方体的表面积。      练习七、长方体和正方体表面积的应用 1．做一个棱长3分米的无盖正方体铁皮箱至少需要( )铁皮。 2．一种长方体通风管道，高2米，通风口长5分米，宽4分米。做10节这样的通风管道一共需要铁皮多少平方米？ 3．如图所示，一个正方体的礼盒，包装盒上的彩带总长是209厘米，其中打结处的蝴蝶结用了17厘米。做这个正方体礼盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 4．一个房间的长6米，宽4米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？ 练习八、体积和容积的认识 1．物体所占空间的大小叫作物体的( )，常用的体积单位有( )、( )和( )。容器所能容纳物体的( )叫作容器的容积。计量液体的体积，通常用( )或( )作单位。 2．一个杯子最多能装250mL，是指杯子的( )是250mL。 3． 以上三种水果，( )的体积最大，( )的体积最小。 练习九、体积和容积单位的认识 1．常用的体积单位有( )、( )和( )。计量容积，一般就用( )；计量液体体积，常用的容积单位有( )和( )。 2．下列水果中，体积与1立方分米比较接近的是（    ）。 A．一个猕猴桃 B．一个西瓜 C．一颗草莓 D．一个柚子 3．把一只鸡蛋完全浸没在装满水的容器中，溢出水的体积大约是（    ）。 A．6毫升 B．60毫升 C．升 D．0.6升 练习十、体积、容积单位的选择 1．一本数学书的体积大约是24（    ）。 A． B． C． D． 2．李明的爸爸想让他在学校时多喝水，给他新买了一个“吨吨杯”（如图），容积大约是（    ）。 A．1.5毫升 B．1.5升 C．1.5吨 D．1.5立方米 3．在括号里填上合适的单位。 (1)一个家用热水器的容量约是80( )。 (2)一个标准游泳池的容积大约是2500( )。 4．在括号里填上合适的单位。 (1)一个苹果的体积约为400( )。 (2)一个游泳池的占地面积约为480( )。 (3)一瓶眼药水的容积约为25( )。 (4)一个喝水杯子的容积约为0.3( )。 练习十一、长方体和正方体的体积 1．一个长方体的体积是80立方分米，底面积是16平方分米，它的高是( )分米。 2．用72厘米长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的占地面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 3．一个长方体，长、宽、高分别是8厘米、3厘米和厘米，这个长方体的棱长和是( )厘米，体积是( )立方厘米。 4．计算下面长方体和正方体的体积。 5．有一块正方体石料，棱长6分米，如果每立方分米石料重2.8千克，这块石料重多少千克？ 6．2024年9月30日是全国第十一个烈士纪念日，习主席等党和国家领导人在天安门广场向人民英雄敬献花篮以示致敬。天安门广场的人民英雄纪念碑的碑心是一整块长14.7米、宽2.9米、厚1米的长方体花岗岩。它的体积是多少立方米？ 练习十二、体积与容积单位间的进率及换算 1．在括号里填上适当的数。 90020立方厘米＝( )升           9.08立方分米＝( )升( )毫升 2．在括号里填上合适的数。 5200毫升＝( )立方分米     ( )立方厘米＝3升80毫升        350升＝( )立方分米 0.6米＝( )厘米    7.08立方分米＝( )升( )毫升        8020立方厘米＝( )立方分米 3．在（    ）里填上合适的数。 301升＝( )毫升              7.8立方米＝( )立方分米 6立方分米＝( )升          80立方厘米＝( )立方分米 0.49立方分米＝( )升＝( )毫升 4．某品牌的空调外机可近似看成长方体，长约90cm，宽约40cm，高约70cm，这款空调外机占据的空间约为( )。 练习十三、长方体和正方体的容积 1．一个长方体的铁皮油漆桶，内部底面积是，高是20cm，这个铁皮油漆桶的容积是( )；如果每L油漆重0.8kg，这个铁皮油漆桶可以装油漆( )kg。 2．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长60厘米，宽40厘米，高30厘米。这个鱼缸前面的玻璃破损了（如图），它最多能盛( )升的水。 3．某品牌的牛奶采用一种无菌纸质的长方体密封包装，这种包装可以百分之百再回收利用。李静从外面量，盒子长5.5cm，宽4.5cm，高10cm。盒子的体积是( )。盒面注明“净含量250mL”，商家的这项说明( )（填“真实”或“不真实”）。 4．“互联网＋”背景下，京东生鲜快递运送海鲜时使用了一种可以密封的长方体泡沫箱（如下图），从外面量长是56厘米，宽是36厘米，高是35厘米。已知泡沫厚3厘米，这种泡沫箱的容积是多少立方厘米？合多少立方分米？ 5．一种长方体牛奶盒（如下图），亮亮通过测量，量出这个牛奶盒长5厘米，宽4厘米，高12.5厘米，这个牛奶盒能装250毫升牛奶吗？为什么？ 6．把一张长26厘米、宽16厘米的长方形彩纸，从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？（先在图上画一画，再解答） 练习十四、体积的等积变形（长方体、正方体） 1．把一块棱长2cm的正方体橡皮泥捏成一个高为1.6cm的长方体，这个长方体的底面积是( )cm2。 2．梁师傅要把一个棱长10厘米的正方体铁块熔成一个长方体，这个长方体长25厘米，宽8厘米，它的高是多少厘米？ 3．有一个棱长是30厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个横截面积是90平方厘米的长方体，这个长方体的长是多少厘米？ 4．一个装满水的正方体水箱，从里面量棱长6分米，把它里面的水全部倒入一个从里面量长2米，宽和高都是4分米的水槽中，这时水面高多少厘米？ 5．一块正方体的石料，棱长为5分米，若将这块正方体石料粉碎并填入一个长、宽均为4分米、深7分米的长方体土坑中，则能否将这个土坑填满？ 6．如图是一个长方体木质花盆，从里面量，长35厘米，宽16厘米，高12厘米。这个长方体花盆中装有10厘米高的营养土，如果将这些营养土全部倒入一个从里面量棱长20厘米的空的正方体花盆中，那么正方体花盆中营养土的高度是多少厘米？ 练习十五、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 1．如图，在一个长方体木块中，挖掉一个正方体木块后，下面说法正确的是（    ）。 A．表面积和体积都不变 B．表面积不变，体积变小 C．表面积变小，体积不变 D．表面积和体积都变小 2．如图，王师傅把长的长方体木料锯成3个相同的小长方体，表面积增加了，原来长方体木料的体积是( )。 3．一个长11厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体木块可以切成( )个棱长为2厘米的正方体木块。 4．把3个棱长为3分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 5．如果把一个长15厘米、宽9厘米、高10厘米的长方体切成一个最大的正方体，正方体的体积是( )立方厘米，剩下部分的体积是( )立方厘米。 6．把一根长2米的长方体木料，沿横截面平均锯成4段，表面积增加了300平方厘米，这根木料的体积是( )立方分米。 练习十六、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 1．下图是由棱长5cm的正方体拼成的，请求出下图的表面积和体积。 表面积：   体积： 2．求下面图形的表面积。 3．一个零件的形状如图（单位：厘米），这个零件的体积是多少立方厘米？ 4．一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 5．如图，从长30厘米、宽20厘米、高10厘米的大长方体中挖去一个长、宽都是8厘米，高10厘米的小长方体，你能计算出剩余部分的表面积和体积吗？ 练习十七、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1．将未拆封的整瓶饮料（如图）完全浸没在长方体容器中，容器中上升水的体积可能是（    ）毫升。 A．450 B．480 C．500 D．540 2．观察图，并回答问题：一个正方体铁块的体积是( )立方厘米，一个球形铁块的体积是( )立方厘米。 3．一个长10分米、宽8分米的长方体水槽，水深6分米。现将一根底面积是20平方分米的长方体铁棒竖直放入水中，其底面与水槽底完全接触（水没有溢出），仍有部分铁棒露出水面，现在水深( )分米。 4．看下图填空。1个小球的体积是( )，1个大球的体积是( )。 5．数学实验课上，同学们正在测量铁球体积，步骤如下： （1）取一个长20厘米，宽15厘米的长方体容器，注入部分水（如图①）； （2）放入甲球，甲球完全浸没在水中，水面上升了4厘米（如图②）； （3）再放入乙球，这时有部分水溢出（如图③）； （4）取出乙球，这时水面距离容器口6厘米（如图④）。 甲球的体积是( )立方厘米，乙球的体积是( )立方厘米。 6．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米。 (1)在鱼缸里注入40升的水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） (2)再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.3分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 7．以下是科学课上同学们测量一个土豆的体积时被打乱的实验步骤： ①列式计算出土豆的体积；②找一个无盖的长方体透明塑料桶，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米；③将土豆浸没在水里，量出水面高度22厘米；④倒入适量的水，量出水面高度15厘米。 （1）我觉得正确的实验顺序是（    ）。（填序号） （2）这个土豆的体积是多少立方厘米？ 8．张叔叔用铝合金条制作一个长为5分米，宽为3分米，高为4分米的长方体框架。 （1）在制作过程中铝合金条损耗2分米，做这个框架共需要准备铝合金条多少分米？ （2）张叔叔用玻璃将这个框架镶成一个无盖鱼缸，共需玻璃多少平方分米？ （3）张叔叔往鱼缸里加水45升，如果鱼缸平放在桌子上，这时水深多少分米？ （4）张叔叔又往水里放入鹅卵石、水草和鱼，水面上升了2.5厘米，这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 $