单元培优讲义：多边形的内角和（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年四年级下册数学苏教版

该小学数学苏教版四年级下册“多边形的内角和”单元培优讲义，通过考点梳理系统构建知识体系，涵盖探索策略、公式推导、应用等五大考点，并用表格呈现边数、三角形个数与内角和的对应关系，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如通过判断五边形分割方法正误（题型一）培养几何直观，已知内角和求边数（题型三）发展推理意识，基础题巩固方法，综合题提升应用能力，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供有效支持。

2025-2026学年四年级下册数学苏教版单元培优讲义 多边形的内角和 考点梳理 1 考点一、探索多边形内角和的策略与方法 1 考点二、多边形内角和的计算公式 2 考点三、多边形内角和公式的应用 2 考点四、四边形内角和的特性 2 考点五、探索规律的一般过程 3 例题讲解 3 题型一、探索多边形内角和的策略与方法 3 题型二、多边形内角和的计算公式 4 题型三、多边形内角和公式的应用 4 题型四、四边形内角和的特性 4 考点练习 5 练习一、探索多边形内角和的策略与方法 5 练习二、多边形内角和的计算公式 6 练习三、多边形内角和公式的应用 6 练习四、四边形内角和的特性 7 考点梳理 考点一、探索多边形内角和的策略与方法 1.转化思想的应用 （1）核心策略：将未知的多边形内角和问题转化为已知的三角形内角和问题来解决。这是探索多边形内角和规律的基本数学思想。 （2）具体操作：通过画线（连接对角线）的方式，把一个多边形分割成若干个不重叠的三角形，利用“三角形内角和是180°”这一已知结论，推算出多边形的内角和。 2.分割方法的技巧 （1）从一个顶点出发：从多边形的一个顶点出发，向所有不相邻的顶点画对角线，将多边形分割成若干个三角形。这是最常用且最规范的分割方法。 （2）避免重复与遗漏：在分割时，要确保画出的对角线在多边形内部，且分割出的三角形个数最少、最清晰，以便于发现规律。 考点二、多边形内角和的计算公式 1.公式推导过程 （1）特例分析：通过分割法发现，四边形可以分成2个三角形，内角和为 ；五边形可以分成3个三角形，内角和为 ；六边形可以分成4个三角形，内角和为 。 （2）规律归纳：观察发现，分割出的三角形个数总是比多边形的边数少2。 2.通用计算公式 （1）公式表述：n边形的内角和等于 。其中， 代表多边形的边数（ 为不小于3的整数）。 （2）公式理解：该公式表明，多边形的内角和仅与其边数有关，与多边形的形状、大小无关。边数每增加1，内角和就增加180°。 考点三、多边形内角和公式的应用 1.已知边数求内角和 （1）直接代入：当已知多边形的边数 时，直接将 代入公式 进行计算，即可求出该多边形的内角和。 2.已知内角和求边数 （1）逆向推导：当已知一个多边形的内角和时，可以利用公式反推其边数。思路是：内角和 ，进而求出 （内角和 ） 。 3.解决组合图形问题 （1）分割法应用：对于一些不规则的组合图形，可以将其分割成若干个三角形、四边形等基本多边形，分别计算各部分的内角和，再相加求得整体图形的内角和。 考点四、四边形内角和的特性 1.任意四边形的内角和 （1）定值性质：任意一个四边形（无论是长方形、正方形、平行四边形、梯形，还是不规则的四边形），其四个内角的和总是等于360°。 （2）推导依据：可以通过连接一条对角线，将任意四边形分成两个三角形，利用三角形内角和定理推导得出。 2.特例的特殊性 （1）长方形与正方形：它们的四个内角都是直角，因此内角和为 ，这是四边形内角和为360°的一个特例，但不代表所有四边形都是直角，只是和为定值。 考点五、探索规律的一般过程 1.从简单到复杂 （1）研究顺序：在探索数学规律时，通常遵循从简单到复杂的顺序。例如，先研究四边形，再研究五边形、六边形，最后推广到n边形。 2.观察与归纳 （1）数据整理：将探索过程中得到的数据（如边数、分成的三角形个数、内角和）整理成表格，便于观察和比较。 （2）发现规律：通过观察表格中的数据，寻找边数与三角形个数、内角和之间的数量关系，从而归纳出一般性的结论。 3.验证与总结 （1）规律验证：得出猜想后，可以通过画图、计算等方式进行验证，确保规律的正确性。 （2）方法总结：回顾探索过程，总结所用的数学思想方法（如转化、归纳），并反思解决问题的策略是否最优。 例题讲解 题型一、探索多边形内角和的策略与方法 【例题1】下面是四位同学探索五边形内角和的过程，其中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【练习1】计算多边形内角和时，我们可以将多边形分成若干个三角形，当然也有其他方法。小明用自己的方法也计算出了六边形的内角和，并根据图列出了相应的算式180°×6－360°。根据算式，她画出的图可能是（    ）。 A． B． C． D． 题型二、多边形内角和的计算公式 【例题2】可以把五边形分成( )个三角形，再利用三角形的内角和计算出五边形的内角和，列式计算为( )。 【练习2】通过本学期的学习，我们知道可以将多边形分成若干个三角形来求出它的内角和。请在下图这个多边形中先分一分，再列式求出它的内角和。 列式：（    ）。 题型三、多边形内角和公式的应用 【例题3】一个多边形的边数增加1，它的内角和就增加( )°，一个多边形的内角和是1620°，这是一个( )边形。 【练习3】传统木雕窗花常用正多边形图案，工匠把一个正八边形通过中心连线分割成若干个三角形（如图）。这个正八边形的内角和是( )。 题型四、四边形内角和的特性 【例题4】把两个一样的直角三角形拼成一个长方形，这个长方形的内角和是( )。 【练习4】计算图中∠1的度数。 考点练习 练习一、探索多边形内角和的策略与方法 1．下面四种探索五边形内角和的方法和过程，其中错误的是（     ）。 A． B． C． D． 2．下面是四位同学探索五边形内角和的过程，其中错误的是（    ）。 A．像左面这样分，算出2个四边形的内角和。 B．像左面这样分，算出5个三角形的内角和，再减去360°。 C．像左面这样分，用四边形的内角和加上三角形的内角和。 D．像左面这样分，算出3个三角形的内角和。 3．下面是三位同学探究六边形内角和的思考过程，其中正确的是（    ）。 ①像这样分，算出4个三角形的内角和。 ②像这样分，算出6个三角形的内角和再减去360°。 ③像这样分，算出2个四边形的内角和。 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 4．先画一画，再算一算，你发现了什么规律？ 图形 名称 四边形 五边形 六边形 七边形 边数 4 分成的三角形个数 2 内角和 180°×（4－2） 我发现：（1）每增加一条边，内角和增加_______°。 （2）n边形的内角和＝________。（n不少于3） 练习二、多边形内角和的计算公式 1．计算六边形的内角和时，可以把它分成4个三角形，列式为：( )。 2．计算四边形的内角和时，我们可以把它分成2个三角形。像这样，计算六边形的内角和时，可以把它分成( )个三角形，由此可以计算出六边形的内角和是( )°。 3．六边形的内角和是( )°；正方形的内角和是( )°，它有( )条对称轴。 4．数学上经常用转化的策略解决问题，比如这学期我们在研究多边形的内角和时，其实就是把未知多边形的内角和转化成了已知图形的内角和，再写出推理或计算的过程。 练习三、多边形内角和公式的应用 1．蜜蜂的蜂巢构造非常精巧，每个小房间的横截面都是一个完美的正六边形。算一算正六边形的内角和是（    ）°。 A．540 B．720 C．900 D．1080 2．一个多边形的内角和不可能是（    ）。 A．360° B．450° C．720° D．1080° 3．计算一个五边形的内角和时，我们可以把它分成3个三角形（如下图），它的内角和就是180°×3＝540°。像这样，如果一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形是( )边形。 4．计算图中∠2的度数。 5．正六边形是我国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居配饰使用。如下图，古建筑中经常看到这样正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察，这个六边形窗户的外框共有( ) 条对称轴。 （2）想一想，这个正六边形的内角和是( )°。 练习四、四边形内角和的特性 1．如图，在三角形ABC中，∠A＝60°，如果沿着虚线剪去一个小三角形，在剩下的四边形中，∠1＋∠2＝( )°。 2．如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是( )度，剪去的涂色部分是( )三角形。 3．如图，一个直角梯形被分成了两个三角形。这个直角梯形的内角和是( )°，其中∠1＝( )°，∠2＝( )°。 4．如图，园艺师规划梯形花坛，花坛的四个角分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。已知∠1＋∠3＝210°，∠4＝2∠2，则∠2＝( )°，∠4＝( )°。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四年级下册数学苏教版单元培优讲义 多边形的内角和 考点梳理 1 考点一、探索多边形内角和的策略与方法 1 考点二、多边形内角和的计算公式 2 考点三、多边形内角和公式的应用 2 考点四、四边形内角和的特性 2 考点五、探索规律的一般过程 3 例题讲解 3 题型一、探索多边形内角和的策略与方法 3 题型二、多边形内角和的计算公式 5 题型三、多边形内角和公式的应用 6 题型四、四边形内角和的特性 6 考点练习 7 练习一、探索多边形内角和的策略与方法 7 练习二、多边形内角和的计算公式 11 练习三、多边形内角和公式的应用 12 练习四、四边形内角和的特性 15 考点梳理 考点一、探索多边形内角和的策略与方法 1.转化思想的应用 （1）核心策略：将未知的多边形内角和问题转化为已知的三角形内角和问题来解决。这是探索多边形内角和规律的基本数学思想。 （2）具体操作：通过画线（连接对角线）的方式，把一个多边形分割成若干个不重叠的三角形，利用“三角形内角和是180°”这一已知结论，推算出多边形的内角和。 2.分割方法的技巧 （1）从一个顶点出发：从多边形的一个顶点出发，向所有不相邻的顶点画对角线，将多边形分割成若干个三角形。这是最常用且最规范的分割方法。 （2）避免重复与遗漏：在分割时，要确保画出的对角线在多边形内部，且分割出的三角形个数最少、最清晰，以便于发现规律。 考点二、多边形内角和的计算公式 1.公式推导过程 （1）特例分析：通过分割法发现，四边形可以分成2个三角形，内角和为 ；五边形可以分成3个三角形，内角和为 ；六边形可以分成4个三角形，内角和为 。 （2）规律归纳：观察发现，分割出的三角形个数总是比多边形的边数少2。 2.通用计算公式 （1）公式表述：n边形的内角和等于 。其中， 代表多边形的边数（ 为不小于3的整数）。 （2）公式理解：该公式表明，多边形的内角和仅与其边数有关，与多边形的形状、大小无关。边数每增加1，内角和就增加180°。 考点三、多边形内角和公式的应用 1.已知边数求内角和 （1）直接代入：当已知多边形的边数 时，直接将 代入公式 进行计算，即可求出该多边形的内角和。 2.已知内角和求边数 （1）逆向推导：当已知一个多边形的内角和时，可以利用公式反推其边数。思路是：内角和 ，进而求出 （内角和 ） 。 3.解决组合图形问题 （1）分割法应用：对于一些不规则的组合图形，可以将其分割成若干个三角形、四边形等基本多边形，分别计算各部分的内角和，再相加求得整体图形的内角和。 考点四、四边形内角和的特性 1.任意四边形的内角和 （1）定值性质：任意一个四边形（无论是长方形、正方形、平行四边形、梯形，还是不规则的四边形），其四个内角的和总是等于360°。 （2）推导依据：可以通过连接一条对角线，将任意四边形分成两个三角形，利用三角形内角和定理推导得出。 2.特例的特殊性 （1）长方形与正方形：它们的四个内角都是直角，因此内角和为 ，这是四边形内角和为360°的一个特例，但不代表所有四边形都是直角，只是和为定值。 考点五、探索规律的一般过程 1.从简单到复杂 （1）研究顺序：在探索数学规律时，通常遵循从简单到复杂的顺序。例如，先研究四边形，再研究五边形、六边形，最后推广到n边形。 2.观察与归纳 （1）数据整理：将探索过程中得到的数据（如边数、分成的三角形个数、内角和）整理成表格，便于观察和比较。 （2）发现规律：通过观察表格中的数据，寻找边数与三角形个数、内角和之间的数量关系，从而归纳出一般性的结论。 3.验证与总结 （1）规律验证：得出猜想后，可以通过画图、计算等方式进行验证，确保规律的正确性。 （2）方法总结：回顾探索过程，总结所用的数学思想方法（如转化、归纳），并反思解决问题的策略是否最优。 例题讲解 题型一、探索多边形内角和的策略与方法 【例题1】下面是四位同学探索五边形内角和的过程，其中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在求五边形内角和时，可以将五边形分成若干个三角形，或四边形和三角形的组合图形，利用三角形的内角和为180°以及四边形的内角和为360°，求出五边形的内角和。注意分成的图形中，各个内角度数和应该等于五边形的内角和；或用各个内角度数和减去不属于五边形内角的度数；据此逐项分析。 【详解】A．四边形内角和是360°，三角形的内角和为180°，可以算出五边形内角和是：360°＋180°＝540°该选项正确； B．分成5个三角形，中间的周角不是五边形的内角，应减去周角度数，可以算出五边形的内角和是：180°×5－360°＝900°－360°＝540°该选项正确； C．分成2个四边形，平角不是五边形内角，应减去平角度数，但是题图未提及减去平角度数，所以此种方法不能算出五边形内角和； D．三角形内角和为180°，3个三角形内角和为180°×3＝540°，可以算出五边形内角和，该选项正确。 故答案为：C 【练习1】计算多边形内角和时，我们可以将多边形分成若干个三角形，当然也有其他方法。小明用自己的方法也计算出了六边形的内角和，并根据图列出了相应的算式180°×6－360°。根据算式，她画出的图可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的内角和是180°，180°×6也就是6个三角形的内角和，再减去360°，可以是一个周角，还可以是两个三角形的内角和。据此解题。 【详解】A．此图计算六边形的内角和，列式为：180°×4。 B．此图计算六边形的内角和，列式为：180°×4。 C．此图计算六边形的内角和，分成了两个四边形，两个三角形，然后再减去中间的一个周角，四边形内角和是360°，360°×2＋180°×2－360°； D．此图计算六边形的内角和，分成了6个三角形，然后再减去中间的一个周角，列式为：180°×6－360°。 故答案为：D 题型二、多边形内角和的计算公式 【例题2】可以把五边形分成( )个三角形，再利用三角形的内角和计算出五边形的内角和，列式计算为( )。 【答案】 3/三 3×180°＝540°/180°×3＝540° 【分析】 从五边形的一个顶点向相对的顶点连线，可以将五边形分成三个三角形，如图，每个三角形的内角和是180°，所以计算五边形的内角和就是计算3个三角形的内角和一共是多少度。据此解答。 【详解】根据分析可知：可以把五边形分成三个三角形，再利用三角形的内角和计算五边形的内角和，列式为：3×180°＝540°。 【练习2】通过本学期的学习，我们知道可以将多边形分成若干个三角形来求出它的内角和。请在下图这个多边形中先分一分，再列式求出它的内角和。 列式：（    ）。 【答案】 图见详解； 【分析】三角形的内角和是180°；从这个八边形的一个顶点出发，和它不相邻的顶点连线，可以把这个八边形分成6个三角形，所以八边形的内角和是6个三角形内角和相加，也就是（边数－2）个180°的和，据此解答。 【详解】 根据分析可知，八边形的内角和是6个三角形内角和相加，。 题型三、多边形内角和公式的应用 【例题3】一个多边形的边数增加1，它的内角和就增加( )°，一个多边形的内角和是1620°，这是一个( )边形。 【答案】 180 11 【分析】三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，根据多边形内角和的计算方法，多边形边数增加1就能多分出一个三角形，内角就增加180°；多边形的内角和与边数之间的关系是边数减2乘180°；据此解答。 【详解】由分析可得： 一个多边形的边数增加1，它的内角和就增加180°； 1620°÷180°＝9； 多边形的边数为：9＋2＝11； 一个多边形的边数增加1，它的内角和就增加180°，一个多边形的内角和是1620°，这是一个11边形。 【练习3】传统木雕窗花常用正多边形图案，工匠把一个正八边形通过中心连线分割成若干个三角形（如图）。这个正八边形的内角和是( )。 【答案】1080°/1080度 【分析】把一个正八边形通过中心连线分割成八个三角形，三角形内角和为180°，求正八边形的内角和可以用分割成的三角形的内角和减去中间的360°。 【详解】180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 因此这个正八边形的内角和是1080°。 题型四、四边形内角和的特性 【例题4】把两个一样的直角三角形拼成一个长方形，这个长方形的内角和是( )。 【答案】360° 【分析】根据题意，长方形是四边形，那么根据三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，即可填空。 【详解】根据分析可得： 三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°； 所以，用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，拼成的长方形内角和是360°。 【练习4】计算图中∠1的度数。 【答案】 【分析】四边形的三个角的度数分别为60°、150°、90°，用四边形的内角和360°减去已知的三个内角，即可求出∠1的度数。 【详解】 所以∠1的度数是60°。 考点练习 练习一、探索多边形内角和的策略与方法 1．下面四种探索五边形内角和的方法和过程，其中错误的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，三角形的内角和为180°，四边形的内角和是360°。探索多边形内角和的常见思路是将多边形转化为三角形或四边形，或者通过剪拼等方法来确定其内角和。我们需要对每个选项所描述的方法进行分析，判断其是否能正确得出五边形内角和。 【详解】根据分析可知： A．根据图示可知，五边形分割成2个四边形，但是分割后在五边形边上的2个角不是五边形的内角，所以用2个四边形内角和减去边上的2个角，360°×2－180°＝720°－180°＝540°，原选项错误。 B．根据图示可知，从五边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画线段，分成3个三角形，所以五边形的内角和是3个三角形内角和相加，即180°×3＝540°，正确。 C．根据图示可知，从五边形中心引出5条线段形成5个三角形，先求总和180°×5＝900°，再减去中心的360°，可得到540°，正确。 D．根据图示可知，画一条对角线，将五边形分成一个三角形（180°）和一个四边形（360°），相加也正好是 540°，正确。 故答案为：A 2．下面是四位同学探索五边形内角和的过程，其中错误的是（    ）。 A．像左面这样分，算出2个四边形的内角和。 B．像左面这样分，算出5个三角形的内角和，再减去360°。 C．像左面这样分，用四边形的内角和加上三角形的内角和。 D．像左面这样分，算出3个三角形的内角和。 【答案】A 【分析】根据多边形内角和的相关知识，分别分析四位同学探索五边形内角和的方法是否正确。三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，通过对五边形不同的分割方式，来判断得到的内角和计算方法是否合理。 【详解】A．图中把五边形分成了2个四边形。一个四边形内角和是360°，2个四边形内角和是360°×2＝720°。而实际上这样分的时候，中间有一个平角180°是重复计算的，应该减去180°，即720°－180°＝540°，所以这种方法是错误的。 B．图中把五边形分成了5个三角形，那么这5个三角形内角和是180°×5＝900°。在五边形内部以五边形的中心为顶点形成了一个周角360°，这部分并不是五边形的内角，所以要减去360°，即900°－360°＝540°，所以这种方法是正确的。 C．图中把五边形分成了一个四边形和一个三角形。已知四边形内角和是360°，三角形内角和是180°，那么五边形内角和就是四边形内角和加上三角形内角和，即360°＋180°＝540°，所以这种方法正确。 D．图中把五边形分成了三个三角形。因为三角形内角和是180°，所以五边形内角和就是180°×3＝540°，所以这种方法是正确的。 根据分析可得，A选项中通过对五边形进行分割方式，来计算内角和的方法是错误的。 故答案为：A 3．下面是三位同学探究六边形内角和的思考过程，其中正确的是（    ）。 ①像这样分，算出4个三角形的内角和。 ②像这样分，算出6个三角形的内角和再减去360°。 ③像这样分，算出2个四边形的内角和。 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】探索六边形内角和，可以运用我们已经学过的三角形内角和、四边形内角和的知识探索。把六边形分成若干个不重叠的三角形或若干个不重叠的四边形。 【详解】①三角形内角和是180°，可以算出六边形的内角和是：180°×4＝720°； ②分成6个三角形，中间的周角不是六边形的内角，应减去周角度数，可以算出六边形的内角和是：180°×6－360°＝1080°－360°＝720°； ③分成2个四边形，四边形内角和是360°，可以算出六边形的内角和是：360°×2＝720°； 正确的是①②③ 故答案为：D 4．先画一画，再算一算，你发现了什么规律？ 图形 名称 四边形 五边形 六边形 七边形 边数 4 分成的三角形个数 2 内角和 180°×（4－2） 我发现：（1）每增加一条边，内角和增加_______°。 （2）n边形的内角和＝________。（n不少于3） 【答案】表格见详解（1）180；（2）180°×（n－2） 【分析】这个图形的一周由几条线段组成，即为其边数。第2个图形是五边形，选择五边形的一个顶点，将其与其余几个顶点相连，即可将其分为3个三角形。第3个图形是六边形，再按照同样的方法，能将其分为4个三角形。第4个图形是七边形，按照同样的方法可以将其分为5个三角形。三角形的内角和是180°，这个图形被分为几个三角形，那么其内角和就是几个180°，据此写出内角和计算的式子。 （1）根据上面计算几个多边形内角和的方法，可以知道每增加一条边，多边形的内角和就增加180°。 （2）计算多边形内角和时，是用边数减2，再乘180°，据此写出n边形内角和公式。 【详解】 图形 名称 四边形 五边形 六边形 七边形 边数 4 5 6 7 分成的三角形个数 2 3 4 5 内角和 180°×（4－2） 180°×（5－2） 180°×（6－2） 180°×（7－2） （1）每增加一条边，内角和增加180°。 （2）n边形的内角和＝180°×（n－2）。（n不少于3） 练习二、多边形内角和的计算公式 1．计算六边形的内角和时，可以把它分成4个三角形，列式为：( )。 【答案】180°×4＝720° 【分析】计算六边形的内角和时，可以把它分成4个三角形，根据三角形内角和等于180°，所以，用180°×4，即可求出六边形的内角和，据此列式解答即可。 【详解】计算六边形的内角和时，可以把它分成4个三角形，列式为：180°×4＝720°。 2．计算四边形的内角和时，我们可以把它分成2个三角形。像这样，计算六边形的内角和时，可以把它分成( )个三角形，由此可以计算出六边形的内角和是( )°。 【答案】 4 720 【分析】 从六边形的一个顶点向相对的顶点连线，可以将六边形分成4个三角形，如图，六边形的内角和就是计算4个三角形的内角和，三角形内角和为180°，4×180°＝720°，据此解答。 【详解】根据分析可知：计算六边形的内角和时，可以把它分成4个三角形，由此可以计算出六边形的内角和是720° 3．六边形的内角和是( )°；正方形的内角和是( )°，它有( )条对称轴。 【答案】 720 360 4 【分析】六边形可以分割成4个三角形，一个三角形的内角和是180°，那么六边形的内角和就是4个三角形的内角和；正方形可以分割成2个三角形，那么正方形的内角和就是2个三角形的内角和；轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线叫做对称轴。正方形可以沿4条直线折叠且直线两旁的部分能够完全重合，据此解答。 【详解】180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 180°×2＝360° 因此，六边形的内角和是720°；正方形的内角和是360°，它有4条对称轴。 4．数学上经常用转化的策略解决问题，比如这学期我们在研究多边形的内角和时，其实就是把未知多边形的内角和转化成了已知图形的内角和，再写出推理或计算的过程。 【答案】画图见详解；1080°；推理和计算过程见详解 【分析】把多边形分割成几个三角形，根据三角形的内角和是180度来计算即可。 【详解】如下图所示，把多边形分成6个三角形。 因为三角形的内角和是180°，所以： 即多边形的内角和是1080°。 答：多边形的内角和是1080°。 练习三、多边形内角和公式的应用 1．蜜蜂的蜂巢构造非常精巧，每个小房间的横截面都是一个完美的正六边形。算一算正六边形的内角和是（    ）°。 A．540 B．720 C．900 D．1080 【答案】B 【分析】多边形的内角和＝180°×（边数－2），所以正六边形的内角和＝180°×（6－2），据此即可解答。 【详解】180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 正六边形的内角和是720° 故答案为：B 2．一个多边形的内角和不可能是（    ）。 A．360° B．450° C．720° D．1080° 【答案】B 【分析】一个三角形的内角和是180°，一个四边形的内角和是360°，一个六边形的内角和是720°，一个七边形的内角和是900°。一个八边形的内角和是1080°。据此解答。 【详解】A．360°是四边形的内角和； B．一个多边形的内角和不可能是450°； C．720°是六边形的内角和； D．1080°是八边形的内角和； 故答案为：B 3．计算一个五边形的内角和时，我们可以把它分成3个三角形（如下图），它的内角和就是180°×3＝540°。像这样，如果一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形是( )边形。 【答案】八 【分析】由题意得，五边形可以分成3个三角形。如下图，六边形就可以分成4个三角形，七边形就可以分成5个三角形等等，也就是分成的三角形个数比多边形的边数少2。 由题意得，可以用1080°除以180°算出这个多边形分成三角形的个数，然后再加上2即可得到这个多边形的边数。 【详解】1080°÷180°＝6（个） 6＋2＝8（条），即这个多边形是八边形。 故如果一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形是八边形。 4．计算图中∠2的度数。 【答案】∠2＝120° 【分析】根据图可看出这是一个五边形，先求出五边形的内角和，即：，∠2的度数就是用五边形的内角和减去另外四个角的度数，据此解答即可。 【详解】                                     5．正六边形是我国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居配饰使用。如下图，古建筑中经常看到这样正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察，这个六边形窗户的外框共有( ) 条对称轴。 （2）想一想，这个正六边形的内角和是( )°。 【答案】 6 720 【分析】（1）这个六边形窗户的外框是轴对称图形，找出它的对称轴，要使对称轴左右两边的图形完全相同。可分别过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，或过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，画出它的对称轴； （2）一个三角形的内角和为180°，正六边形可被分成4个三角形，用180°×4，即可得到这个正六边形的内角和是多少度。 【详解】（1）过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条；过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条。 因此这个六边形窗户的外框共有6条对称轴。 （2）180°×4＝720° 因此这个正六边形的内角和是720°。 练习四、四边形内角和的特性 1．如图，在三角形ABC中，∠A＝60°，如果沿着虚线剪去一个小三角形，在剩下的四边形中，∠1＋∠2＝( )°。 【答案】240 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180°，四边形内角和为360°，已知在三角形ABC中，∠A＝60°，先用180°减去60°，求出∠B＋∠C的度数和，再用360°减去∠B＋∠C的度数和，计算∠1＋∠2的度数和。列式计算即可。 【详解】根据分析可知： ∠A＝60° ∠B＋∠C＝180°－60°＝120° ∠1＋∠2＝360°－120°＝240° 2．如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是( )度，剪去的涂色部分是( )三角形。 【答案】 540 直角 【分析】如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形是一个五边形，根据多边形内角和＝（多边形边数－2）×180°，剪去的涂色部分是一个有直角的三角形，因为长方形的角是直角，所以有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【详解】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 由分析可知：图中一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是540度，剪去的涂色部分是直角三角形。 3．如图，一个直角梯形被分成了两个三角形。这个直角梯形的内角和是( )°，其中∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 360 55 25 【分析】三角形的内角和为180°。由题意得，一个直角梯形被分成了两个三角形，那么直角梯形的内角和就等于两个三角形的内角和，直接用180°乘上2即可算出直角梯形的内角和；在直角三角形中，直角的度数是90°，另一个角的度数是35°，直接用180°减去90°再减去35°即可算出∠1的度数；在另一个三角形中，两个角的度数分别是35°和120°，那么直接用180°减去120°再减去35°即可算出∠2的度数。 【详解】180°×2＝360° ∠1＝180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° ∠2＝180°－120°－35° ＝60°－35° ＝25° 如图，一个直角梯形被分成了两个三角形。这个直角梯形的内角和是360°，其中∠1＝55°，∠2＝25°。 4．如图，园艺师规划梯形花坛，花坛的四个角分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。已知∠1＋∠3＝210°，∠4＝2∠2，则∠2＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 50 100 【分析】梯形可以分成2个三角形，所以梯形内角和是360°，所以∠1、∠2、∠3、∠4度数之和是360°，∠4＝2∠2，∠4＋∠2＝3∠2，∠4＋∠2＝360°－（∠1＋∠3），据此先计算出∠4＋∠2的和，然后再除以3即为∠2的度数，∠2的度数乘2即为∠4的度数，据此解题。 【详解】180°×2＝360° 360°－210°＝150° 150°÷3＝50° 50°×2＝100° 如图，园艺师规划梯形花坛，花坛的四个角分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。已知∠1＋∠3＝210°，∠4＝2∠2，则∠2＝50°，∠4＝100°。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $