阶段检测：选择性必修一全部内容（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线，巩固培优）高二数学人教A版

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 限时练习：120min 完成时间： 月日 天气：● 阶段检测：选择性必修一全部内容 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.抛物线x2=6y的焦点到准线的距离为() 9 A.2 B.3 c月 D.1 2.在空间直角坐标系0-z中，点A-山，-2,3列关于原点0的对称点为M,点B(21,2)关于xO平面的对 称为点N,则M的值为() A.5 B.V19 C.5 D.35 3.一束光线从点P(-2,-射出，与直线1：x-y=0相交于点Q1,1).经直线1反射，则反射光线所在直线 的方程为() A.3x-2y-1=0 B.2x-3y+1=0 C.3x+2y-5=0 D.2x+3y-5=0 4.己知正三棱锥O-ABC,G是△ABC的重心，G是OG上的一点，且OG=2GG,若 OG=xOA+yOB+zOC,x+y+z=() A c. D.1 已知点42，具是精圆。+=1的左焦点，，是椭圆上任意一点，则54P的最小值 () A.6 B.5 C.4 D.3 6.若直线y=x+b与曲线y=2-√4x-x2有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是() A.[「-22，-2]B.-22,-2] C.-22,22 D.[2,22] 亿已知双曲线。发>0b>0的左、有焦点分别为F、F:,为双曲线左支上位于第三象限的 点，且满足PFPE=0,若直线PE与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为() A.5 B.5 C.√2 D.2 1/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.已知正方体ABCD-ABCD,的棱长为2，点P在该正方体的内切球表面上运动，且满足D,P/1平面 ABC,则AP的最大值为() A. V6 B.6 C. 2 D.2N6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线：(a-3)x-3y+1=0,4:x+(a+1y-1=0,则下列正确的是() A.当a=4时，直线的一个方向向量为3，) B.若l112,则a=-3 C.若a=0或2，则4与l2相互平行 D.若a>-1,则直线2不经过第三象限 10.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如 图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体若图3中每个 正方体的棱长为1，则下列结论正确的是() G B (图1) (图2) (图3) A.CO+AB=-AD +244 B.点c到直线CO的距离是5 C.平面ECG与平面BCD的夹角正弦值为2 D.异面直线CQ与BD所成角的正切值为V17 11.双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一 种类比来处理椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘 积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线C: 2/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (+y2)=4x2-y2)是双纽线，则下列结论正确的是（) A.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B.己知A-√2,0)，B2,0,p为双纽线上任意一点，则PA+PB≥22 C.若直线y=与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(-o,-1U1,+0) D.曲线C关于直线y=对称的曲线方程为(x2+y2)=4y2-x2列 三、填空题：本题共3.小题，每小题5分，共计15分 12.过四点(0,0)，(4,0)，(-1，)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为一.（写出一个你认为正确的既可） 13.己知两点A-2,2),B3,),直线1过点P山，-)且与线段AB相交，则直线1的斜率k的取值范围是一 14.己知点A是抛物线C:y2=x上位于第一象限内一点，B为C上位于第四象限内一点，O为坐标原点， OA⊥AB,且直线AB的斜率是直线OB的斜率的2倍，则直线OA的斜率为一， 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知直线1经过点P(3,2」 (1)若直线1与直线3x-2y-1=0垂直，求直线1的方程： (2)若直线1在x轴上的截距是y轴上的截距3倍，求直线1的方程： (3)若直线1与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，求当△AOB的面积取得最小值时直线I的方程. 16.(15分) 如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，A4=3AB=6,D为CC的中点. D B (I)求点B到直线AD的距离； (2)求异面直线AB与BD所成角的余弦值. 3/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(15分) 己知圆C过A1,-√7，(6,23，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线1过点D(2,10),且被圆C截得的弦长为4V,求直线1的方程： (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M,N,O为坐标原点，直线OM,ON分别与直线x=8相 交于P,,记Ow'△0P0面积为s,S,求S,的最大值. 18.(17分) 如图1，在长方形ABCD中，AB=2,AD=1,M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥 D,-ABCM(如图2)，使得平面AMD⊥平面ABCM, 图1 图2 (I)求证：AD⊥BM: (2)求直线CD与平面BMD所成角的正弦值： B)若E是线段DB上的动点，当点E在何位置时，三面角E-AM-D的余弦值为？ 19.(17分) 息知桶园C名+a>h>01经过点Q,22,两个焦点恰好将长结三等分 (1)求椭圆C的方程； (2)设两条直线马、12与椭圆C共有四个不同的交点：直线马与椭圆C交于点M与点N,直线1与椭圆C交 于点P与点Q,且M、N、P、Q四点都在以点E为圆心的圆上，O为坐标原点. ()若l与马交于点O,求以M、N、P、Q四点为顶点的四边形面积的最大值： (i)若l经过椭圆C的左焦点，12经过椭圆C的右顶点，求证：直线OE与直线l的斜率乘积是定值. 4/4 限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 阶段检测：选择性必修一全部内容 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义直接求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可得，解得， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B 2．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于平面的对称为点，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】利用对称特征求出点坐标，再利用两点间距离公式求解. 【详解】点关于原点的对称点，点关于平面的对称点， 所以. 故选：A 3．一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 4．已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，利用三角形法则和三角形重心的性质以及中线的性质即可求解. 【详解】如图，取中点，连接， 因为是的重心，， 所以 ， 所以. 故选：B 5．已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【详解】 如图，椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点为， 故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值. 故选：B. 6．若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到曲线是以为圆心、为半径的圆的一半，然后结合题意绘出满足题意的图象，最后根据图象进行计算即可得出结果． 【详解】因为，即，则， 化简可得， 而，则，即， 即曲线是以为圆心、为半径的圆的一半， 结合题意可绘出图象，如图所示：    当直线过点时，； 当直线与半圆刚好相切时， 圆心到直线距离等于半径，即，解得或（舍去）， 故实数的取值范围是. 故选：B 7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线左支上位于第二象限的一点，且满足，若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与圆相切于点，连接，则，由中位线的性质可得出，结合双曲线的定义可得出，利用勾股定理可得出、的关系，即可得出该双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设直线与圆相切于点，连接，则，    因为，则， 因为为的中点，所以为的中点，所以， 由双曲线的定义可得，所以， 由勾股定理可得，即，可得， 故该双曲线的离心率为. 故选：A. 8．已知正方体的棱长为2，点在该正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证平面平面，确定点的轨迹，再求点到轨迹圆心的距离，最后加上半径即可得到的最大值. 【详解】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径. 易证，平面平面，平面， 平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，，，    则，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故，   点到平面的距离为， 圆的半径为， 由得，，， 的最大值为. 故选：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知直线，则下列正确的是（    ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若，则 C．若或2，则与相互平行 D．若，则直线不经过第三象限 【答案】ABD 【分析】根据直线的斜率和方向向量的关系，可判定A正确；根据两直线垂直列出方程，可判定B正确；根据两直线平行，列出方程组，可判定C不正确；根据直线的斜率和在轴上的截距，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，所以A正确； 对于B，由，可得，解得，所以B正确； 对C，若与相互平行，则，解得，所以C错误； 对D，当时，直线的斜率小于0，且在轴上的截距为，且过点， 直线不经过第三象限，所以D正确． 故选：ABD. 10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离是 C．平面与平面的夹角正弦值为 D．异面直线与所成角的正切值为 【答案】BCD 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用表示出判断A，建立空间直角坐标系并求出相关点坐标，应用向量法求点线距离、面面、线线角判断B，C，D. 【详解】对于A，， 即，故A错误； 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 对于B，，，设， 则点到直线的距离，故B正确； 对于C，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，所以， 即平面与平面的夹角余弦值为， 所以平面与平面的夹角正弦值为，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 所以 所以，故D正确． 故选：BCD 11．双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B．已知，，为双纽线上任意一点，则 C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D．曲线关于直线对称的曲线方程为 【答案】BCD 【分析】A，曲线C经过整点；B，，即可判定；C，将直线与曲线方程联立，根据方程的解可判断C；D，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线对称的曲线方程. 【详解】对于A，由，可得， 所以，即， 令，解得，或； 当时，得，无解； 当时，得，无解； 所以曲线C经过整点，故A错； 对于B，由于，，则， 所以为双纽线上任意一点，则，B正确； 对于C，直线与曲线一定有公共点， 若直线与曲线C只有一个交点， 所以，整理得无非零实数解， ，实数k的取值范围为，故C正确； 对于D，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线对称的曲线方程为 ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．过四点中的三点的一个圆的方程为 .（写出一个你认为正确的既可） 【答案】（填或或中的一个也正确）. 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为:（填或或中的一个也正确）. 13．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求直线过A、B时对应的斜率，结合图象即可求得斜率的取值范围. 【详解】当直线过A时，直线PA的斜率， 当直线过B时，直线PB的斜率， 由图知，直线过点且与线段相交，需使或， 故答案为：. 14．已知点是抛物线上位于第一象限内一点，为上位于第四象限内一点，为坐标原点，，且直线的斜率是直线的斜率的2倍，则直线的斜率为 . 【答案】1 【分析】表示出，，，根据，可得结果. 【详解】设点的坐标分别为， 则，，， 因为，所以，， 整理得①， 又直线的斜率是直线的斜率的2倍，， 所以，整理得②，由①②解得， 所以直线的斜率为1. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知直线l经过点. (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距3倍，求直线l的方程； (3)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，求当的面积取得最小值时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）利用直线l与直线垂直，求得直线l的斜率，由点斜式可求直线l的方程； （2）讨论两种情况：直线过原点时求得斜率，由斜截式可得直线方程；直线不过原点时，设出截距式方程，将代入方程，结合直线l在轴上的截距是轴上的截距倍，列方程可得结果; （3）设直线方程为，可得，利用基本不等式得，，当，从而可得结果. 【详解】（1）由直线的斜率为，根据直线l与直线垂直， 可知直线l的斜率为， 则由点斜式可知直线l为， 整理得l的直线方程为：; （2）当直线过原点时，可设直线方程为， 将点坐标代入可得，直线方程为 直线不过原点时，设直线方程为， 由题意得，解得直线方程为， 故所求直线方程为或. （3）由题意可设直线l方程为，由直线l经过点， 可得，从而得， 所以三角形面积，当时取等号， 所以三角形最小面积为12， 此时，直线方程为. 16．（15分） 如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标，利用空间向量法求出点到直线的距离； （2）求出直线与的方向向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以为正三角形，所以, 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 所以，， ， 则点到直线的距离. （2）因为，． 所以． 所以异面直线与BD所成角的余弦值为． 17．（15分） 已知圆C过，，且圆心C在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆的方程为，将，代入求得即可； （2）讨论直线斜率是否存在，当直线斜率存在时，设直线方程，根据圆的弦长公式求得直线方程； （3）设直线的方程分别为，求出的坐标，将表达为的函数，用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为； （2）因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为，    ①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意． ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线． 综上所述，直线的方程为或． （3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，    由，得，解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为 由题可知：，， 故， 又∵，同理， ∴． 当且仅当时等号成立．所以的最大值为． 18．（17分） 如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)点是线段靠近的三等分点. 【分析】（1）根据题目条件得出直线垂直直线所在的平面，进而推出：； （2）建立空间直角坐标系，求出向量与平面的法向量，再运用向量夹角公式即可得解； （3）通过的坐标得到的坐标，再通过二面角的余弦值为，计算可得点的位置. 【详解】（1）在长方形中，为的中点， 则，平面平面，平面平面， 且平面，由，得， 则平面，又平面， 所以. （2）过点作平面的垂线，并以此线为轴， 以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则有，即，解得，取，则， 即， 设直线与平面所成角为， 故有， 故直线与平面所成角的正弦值为； （3）， 则 由点是线段上的一动点， 设， 则， 易知平面的法向量为，设平面的法向量为， 则， 取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 两边平方得，整理得， 解得或（舍去），因此点是线段靠近的三等分点， 所以点是线段靠近的三等分点时，二面角的余弦值为. 19．（17分） 已知椭圆经过点，两个焦点恰好将长轴三等分： (1)求椭圆的方程； (2)设两条直线、与椭圆共有四个不同的交点：直线与椭圆交于点与点，直线与椭圆交于点与点，且、、、四点都在以点为圆心的圆上，为坐标原点. （i）若与交于点，求以、、、四点为顶点的四边形面积的最大值； （ii）若经过椭圆的左焦点，经过椭圆的右顶点，求证：直线与直线的斜率乘积是定值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）根据直线过原点求出圆心为，设，，根据得出，进而利用化简即可；（ii）设，，再求出线段、的中垂线方程，进行联立求出圆心的坐标，即可求证. 【详解】（1）由题意可得，，，，得，故椭圆的方程为； （2）（i）如图，由椭圆的对称性可知，为线段的中点，    若圆心与点不重合，则有，则重合或平行，与题意矛盾， 故、、、四点都在以点为圆心的圆上， 则四边形为矩形，且， 因为，所以直线的斜率均存在且不为0， 故设，，， 联立，得，则，同理得， 则，， 因为，所以，得，即， 则， 则 ，等号成立时， 故以、、、四点为顶点的四边形面积的最大值为； （ii）设椭圆的左焦点为，右顶点为， 故可设，， 联立，得， 则， 则， 则的中点为， 则线段的中垂线方程为，即， 直线的斜率为，且线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为， 即， 同理可得，线段的中垂线方程为， 联立，， 得， 则， 故的外接圆圆心为，则直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以直线与直线的斜率乘积是定值.    1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $