假期生活检测卷-【玩转假期】2024年高二数学寒假作业（北师大版）

第二部分精彩假期收获多 第二 部分 精彩假期收获多 假期生活检测卷 范围：选择性必修第一册 (时间：120分钟 满分150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5 分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 是(6，号)则PA+PM的最小值是 只有一项是符合题目要求的)》 1.直线x+√3y一1=0的倾斜角为( A.8 B号 A.3 B否 C.10 号 c D晋 6.若直线1与曲线y=√：和x2+y= 都 2.已知椭圆C的中心在原点，焦点F,F2 相切，则1的方程为 ( 在x轴上，C上的点到左焦点F,的距离 的最大值为6，过F1的直线交C于A,B A.y=2x+1 B.y=2x+2 两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C 1 的方程为 C.y=2x+1 A6+=1 7.已知(1+3x)”的展开式中x5与x的系 数相等，则n为 ( c6+号=1 A.6 B.7 C.8 D.9 3.若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2, 8.老张每天17：00下班回家，通常步行5分 1),则平面ABC的一个法向量为( 钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有 A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) A,B两条路线可以选择.乘坐路线A所 C.(1,2,-1) D.(-1,2,1) 需时间（单位：分钟）服从正态分布N 4.已知⊙O:x2+y2-a.x=0(a>0)截直线 (44,4),下车后步行到家，要5分钟，乘 x一y=0所得线段的长度是2√2，则 坐路线B所需时间（单位：分钟）服从正 ⊙0，与⊙02：(.x-4)2+(y-2)2=1的 态分布N(33,16),下车后步行到家要12 位置关系是 ( 分钟.下列说法从统计角度认为合理的 A.内切 B.相离 是 () C.外切 D.相交 (参考数据：Z~N(u,o2),则P(u-o≤Z 5.已知点P为抛物线y=号上的动点， ≤4十a)≈0.6827，P(μ-2a≤Z≤H+ 2a)≈0.9545，P(μ-3o≤Z≤十3a)≈ 点P在x轴上的射影为M,点A的坐标 0.9973) ·25· 玩转假期·高二数学 (: A.若乘坐路线A,则在17：48前到家的 和总和生育率y以及女性平均受教育 可能性超过1% 年限x(单位：年)的关系，采用2012一 B.若乘坐路线B,18:00前一定能到家 2022近十年来的数据(x,y,≈)(i=1, C.乘坐路线A和乘坐路线B在17：58前 2,…,10)绘制了散点图，并得到经验回 到家的可能性一样 归方程=7.54+0.33x,y=2.88 D.乘坐路线B比乘坐路线A在17：54 0.41x,对应的决定系数分别为R,R, 前到家的可能性更小 则 ( 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5 2.02012年2016年2018年2022年 12 分，共20分.在每小题给出的选项中，有多 ·总和有率 个选项符合题目要求，全部选对的得5分， 1.8 ·女性平均受牧有年限11是 部分选对得2分，有选错的得0分) 红 1.6 9.在正方体ABCD一A,BCD1中，E,F分 别是A,D,CD的中点，则下列结论正 展1.4 确的是 ( 1.2 A.A,C1∥平面CEF B.B1D⊥平面CEF 1.0 44 C.CE-7DA+DD,-DC 人均GDPH万元 A.人均GDP和女性平均受教育年限正 D.点D与点B,到平面CEF的距离相等 相关 10.某课外兴趣小组通过随机调查，利用2× B.女性平均受教育年限和总和生育率 2列联表和X统计量研究数学成绩优秀 负相关 是否与性别有关.计算得X=6.748,经 C.R<R 查阅临界值表知P(x>6.635)=0.010, D.未来三年总和生育率将继续降低 则下列判断错误的是 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共 A.每100个数学成绩优秀的人中就会 20分.将答案填在题中横线上) 有1名是女生 13.若双曲线3.x2一y2=m的虚轴长为2，则 B.若某人数学成绩优秀，那么他为男生 实数m的值为 的概率是0.010 14.若三条直线y=2x,x十y=3,m.x十ny十 C.有99%的把握认为“数学成绩优秀与 5=0相交于同一点，则点(m,n)到原点 性别有关 的距离d的最小值等于 D.在犯错误的概率不超过1%的前提下 15.为研究变量x,y的相关关系，收集得到 认为“数学成绩优秀与性别无关” 如下数据： 1,已知F,R是双曲线C等专=1的上、 2 3 5 下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上 60 ya y4 ys 的一点，并且以线段FF,为直径的圆经 若由最小二乘法求得y关于x的线性 过点M,则下列说法正确的是 () 回归方程为y=bx十64，并据此计算在 A.双曲线C的渐近线方程为y=士√2x B.以FF2为直径圆的方程为x十y 样本点(2,60)处的残差为0，则∑y =2 C.点M的横坐标为士√2 16.A、B、C三位好友进行乒乓球擂台赛， D.△MFF2的面积为2√3 A、B先进行一局决胜负，负者下，由C 12.为了了解中国人均GDPx(单位：万元) 挑战胜者，继续进行一局决胜负，负者 ·26 第二部分精彩假期收获多 下，胜者接受第三人的挑战，依次举行. (3)求展开式中所有系数的和. 假设三人水平接近，任意两人的对决胜 负都是五五开，已知三人共比赛了3局， 则三人各胜一局的概率为 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题10分)已知⊙C:x2+y2=16. (1)设点Q(x,y)为⊙C上的一个动点， 19.(本小题12分)在“双减”政策背景之 求4.x十3y的范围： 下，某校就推进学校、家庭、社会体育教 育的“一体化”，实现“教会、勤练、常赛” 的核心任务.学校组织人员对在校学生 “是否喜爱运动”做了一次随机调查.共 随机调查了18名男生和12名女生，调 查发现，男、女生中分别有12人和6人 喜爱运动，其余不喜爱， (1)根据以上数据完成以下2×2列 (2)直线1过点P(3,4),且与⊙C交于 联表： A、B两点，若|AB|=2√7，求直线1的 喜欢运动 不喜欢运动 总计 方程. 男 女 总计 P(K2≥k) 0.15 0.10 0.050.025 2.072 2.706 3.8415.024 能否有90%把握认为性别与喜爱运动 18.(本小题12分)在 -2x 的展开式 有关？ (2)从被调查的女生中抽取3人，若其 中，第3项的二项式系数是第2项的二 中喜爱运动的人数为：，求的分布列及 项式系数的4倍。 数学期望， (1)求n的值. (附参考公式及参考数据)：K= n (ad-bc)? (a+b(c+d0(a十c)(b+D,其中n=a +6+c+d. 2求2 的展开式中的常数项 ·27· 玩转假期·高二数学 (: 20(本小题12分)已知椭圆E号+芳=1 (3)在棱PB上是否存在一点F,使得 (a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B, AF/平面PCD?若存在，求器的值： 离心率e=.0为坐标原点，圆04 若不存在，请说明理由。 十)y=号与直线AB相切. (1)求椭圆E的标准方程； 22.(本小题12分)某地政府为鼓励大学生 创业，制定了一系列优惠政策.已知创 业项目甲成功的概率为号，项目成功后 (2)已知四边形ABCD内接于椭圆E, 可获得政府奖金20万元；创业项目乙 AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别 成功的概率为p(0<p。<1),项目成功 为k1,k2,试问k1·k。是不是定值？证 后可获得政府奖金30万元.项目没有 明你的结论. 成功，则没有奖励，每个项目有且只有 一次实施机会，两个项目的实施是否成 功互不影响，项目成功后当地政府兑现 奖励： (1)大学毕业生张某选择创业项目甲， 毕业生李某选择创业项目乙，记他们获 21.(本小题12分)从①CD⊥BC:②BC∥ 得的奖金累计为X(单位：万元)，若X 平面PAD这两个条件中选一个，补充 在下面的横线上，并完成解答。 ≤30的概率为？求，的大小： 如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平 ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3, PC=23,E为PB的中点， (1)求证：四边形ABCD是直角梯形； (2)若两位大学毕业生都选择创业项目 甲或创业项目乙进行创业，问：他们选 择何种创业项目，累计得到的奖金的均 (2)求直线AE与平面PCD所成角的 值更大？ 正弦值； ·28·参考答案 (3)补全完整的列联表如下, 0.的标准方程为(-)#+y-}(a→0), 4.D 参加过直播带货 未参加过直播带货 总计 #### 25 女性 5 30 圆心到直线x-y=0的距离d-- ② 男性 15 10 ## 得a-4..0(2,0). 总计 40 # # 又O(4,2),.0与0的圆心距为22,且2-1 零假设H。:参加直播带货与性别无关, 2②<2十1,即两个圆相交,故选D. 根据以上数 据,经计算 得 到 K^{} 5.B 依题意可知,抛物线y-^}即抛物线x{}2y,焦$$ 55$(25×10-5×15)*~3.743>2.706-x8.1· 30×25×40×15 点为F(o.),准线方程为y--, 根据小概率值a-0.1的独立性检验我们推断H。不成 立,即参加直播带货与性别有关,该判断犯错误的概率 依题意只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最 小即可, 不超过10%. 自主探究·培素养 由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离, 2+4+6+8+10 此时问题进一步转化为 PF |十 PA|距离之和最小 解:(1)依题意,二一 一6,y= 5 即可。 显然当P、A、F三点共线时 PF + PA 距离之和最小 5 为FA, -220. 由两点间距离公式得1FAl#6+()#第一10, y-5y 244-5×6×10-1.4.-10+ 1故选 B. -_1 那么|PA|+|PM的最小值为|FA|一 220-5X6{ 6.D设直线/在曲线y一上的切点为(x。,x。),则x 1.4×6-18.4. 所以回归方程为:y--1.4x+18.4. 2 (2)-v-- (-0.05x+0.3x+1.3.0 x6 2/x。 l0.05.r+0.8,6<x10 2x。 当0 x 6时,--0.05x+0.3x+1.3,当x-3时, 2.-1.75: 切,则。1. 当6 x10时,-0.05x+0.8.当x-10时,=1. 1+4 3.显然1.75>1.3. 两边平方并整理得5x-4.x。-1-0. 所以当x一3时,利润:最大,最大利润是1.75万元。 解得r。-1,xr。-- #) 第二部分 精彩假期收获多 假期生活检测卷 选D. 1.D 由直线x+③y-1-0得其斜率为=- 7.B 二项式展开式的通项为T,一3Cx. '展开式中x与r*的系数分别是3C,3C. 的倾斜角为0(0[0,n)),则tanθ-一 *3C-3C,解得n-7. 所以-5,所以直线的倾斜角为A,故选D. 故选:B. 8.C 设乘坐路线A所需时间为1.,乘坐路线B所需时间 为n 对于A,由1+10 48知,t38 得,a+c-6,且4a-16.'a-4,c-2,.b-a?-c-16 -4-12,故选A. 3.A 设平面ABC的法向量n一(x,y,c). n.AB-0.(r+2y+3-0. 令x--1,则y-2,z 刘 即 项错误: n.AC-0. 13x+2y+z-0. 对于B,“18:00前一定能到家”是随机事件,可能发生, 一1, 可能不发生,所以B选项错误; n=(-1,2,-1):令x=1,则y--2,-1,则n=(1 1+P(40<t<48) -2,1).故选A. 对于C,t<48.t<41,P(t<48)= 2 .43· 玩转假期·高二数学 1+P(25 t<41) =0. 977 25,P(t 41)= 11.ACD -0.977 25. 在y轴上,渐近线方程为y=士r=士2x,A正确;c 因此乘坐路线A和乘坐路线B在17:58前到家的可能 性一样,选项C正确。 =va^}+b^{}一、,以FF。为直径的圆的方程是r^{+y{ 1-P(29<<37) 对于D,P(t<37)- +P(29< 一6,B错误;由 2 -2x, 37)-0.84135,P(t44)- 1<0.84135,乘坐路线B 对称性知点M的横坐标是士/2,C正确; 比乘坐路线A在17:54前到家的可能性更大,选项D ## #F$F11xl-×22-2、3.D正 Sf。二 错误。 故选:C. 确。故选ACD. 9.AC 建立空间直角坐标系,如 12.AB 由回归方程;=7.54十0.33.x可知,人均GDP和 女性平均受教育年限正相关,故A正确; 图所示,设AB一2,平面CEF 因为;-7.54+0.33x,y-2.88-0.41x,可得女性平均 的法向量为n一(x,y,). .E,F分别是A.D.C.D 的 受教育年限:和总和生育率y的关系式为v一2.88- 0.41×7.54.,所以女性平均受教育年限:和总和生 中点, 0.33 ..EF/AC. 育率y负相关,故B正确: 又EFC平面CEF,AC.平 由散点图可知,回归方程-7.54十0.33x相对v-2.88 面CEF. 一0.41x拟合效果更好,所以R{R{,故C错误; 'A.C/平面CEF,故选项A 1 根据回归方程y-2.88一0.41x预测,未来总和生育率 正确; 预测值有可能降低,但实际值不一定会降低,故D 易知C(0.2.0).E(1.0.2).F(0.1.2). 错误。 B.(2.2,2).D(0.0.0). 故选:AB 'DB-(2.2.2),FF-(-1.1.0),CF-(0.-1.2). 13.解析:因为双曲线3r一-m的虚轴长为2. n-0. .. 即 -r十y-0. 1n.CF-0. -y+2-0. {y-2..n-(2,2,1). 令-2,则 1,得m-1; 1~-1,” ②当m_时,双曲线方程可以以化为1,.有 .DB-(2.2,2)...DB.与n不平行, '.B.D不垂直于平面CEF,故选项B错误; CE-CD+DD+DE-C+DD+DA -1D+DD-DC,故选项C正确; 故实数n的值为一3或1. 答案:-3或1 1y-2x. {x=1.把点(1,2)代入mx十 DC-(0.2,0),设点D到平面CEF的距离为d. 14.解析:由 解得 r十-3. -2. 4 则d一 ny+5-0,可得m+2n+5-0.于是m=-5-2n,因此 |n 4+413 点(m,n)到原点的距离d=m十n^{}= B.C-(-2,0.-2),设B到平面CEF的距离为d。, B.C nl1-4+0212,故选 D错 (-5-2n)}+n- 5(n+2)}+5>\,当且仅当” 则d。一 --2,m=一1时取等号,故点(m,n)到原点的距离d n 3 的最小值等于 误。故选AC. 10.ABD 每100个数学成绩优秀的人中可能没有女生, 答案v5 也有可能有多名女生,已知数据不能确定结论,故A 15.解析:因为在样本点(2,60)处的残差为0. 所以60-2-64-0,得--2. 错误; 则y关于r的线性回归方程为--2x十64. 若某人数学成绩优秀,已知数据不能判断他为男生的 因为-x(1+2+3+4+5)-3,所以y--2×3+ 概率,故B错误; 由x-6.748以及P(x6.635)=0.010可知,有 64-58. 99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关, 所以乙y-5×58-290. 即在犯错误率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀 与性别有关”,故C正确,D错误 故答案为:290 故选:ABD 答案:290 ·44· 参考答案 16.解析:设A、B比赛A获胜为事件M,A、C比赛C获胜 (2)由题意,喜欢运动的人数的可能取值为0,1,2,3, 为事件N,C、B比赛B获胜为事件Q, 可得P(:-0)- 且M、N、Q相互独立,则 P(M)=P(N)=P CC。 -#1 #- P(-2)- C P(:-3)- 设三人共比赛了3局,三人各胜一局的概率为D. 所以随机变量;的分布列为: 则P(D)=P(M)P(N)P(Q)+P(M)P(Q)P(N) 3 ##×△×+##1×-分# 2 1 故答案为:. 答案: 17.解:(1)设4x+3y=1,则直线4x+3y-1与C有公 共点, 所以圆心到直线的距离d<4; -0. 4+3{ 由圆O与直线AB相切,得a 所以4x+3y的范围为[-20,20]. 十{ (2)当直线/垂直于x轴时,直线方程为x一3,/与圆的 两个交点坐标为(3.\7),(3,一\7),这两点的距离为2 7,满足题意; 设园的半焦距为c,则e-- 2 当直线/不垂直于工轴时,设其方程为y-4一k(x- -1--士,② 3),即kr-y-3+4-0. 设圆心到此直线的距离为d(d0),则2/7 由①②得a-4,6-1. 2 16-d^*,解得d-3, 故梢园的标准方程为+1. # (2)k·k-l,为定值,证明过程如下: 十1 24y+75-0. 由(1)得直线AB的方程为y--- 综上所述,所求直线方程为7x-24y+75-0或x-3. 18.解:(1)依题意,第3项的二项式系数是第2项的二项式 DC的方程为y一一 系数的4倍, 即C{}=4C,n(n-1)-4n,解得n-9. 设C(x..y).D(x,y). {+一1. 2= (2)二#(2) 联立 展开式的通项公式为C· 消去y,得x-2mx+2m-2 (}).(-2x) =(-2)·c. 令3-9-0.解得-3. 0.则△-8-4n0,解得-② m 2,且m士1. 2 'x.+r.=2m,rx-2m-2. 故常数项为(-2).C--672 (3)由(20)令v-1得(1-2)-1. 即展开式中所有系数的和为一1. +n)(-+m)#-1 (一) , 19.解;(1)解:根据题意,得到2×2的列联表: r-2 r。 喜欢运动 不喜欢运动 总计 1 #。$ 2-n 12 6 18 r1r。-2r。 -女 6 6 12 12 18 总计 30 (2m-2)-2x 可得K-30(12×6-6X6)* 18×12×18×12 ~0.8332.706. 所以不能推断有90%把握认为性别与喜爱运动有关 2m{-2-2x。 ·45. 玩转假期·高二数学 21.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. .PAOPD=P,PA,PDC平面PAD.'.CD 平面 解:选择① PAD,则CD|AD. (1)证明:.PA 平面ABCD. ·BC/乎面PAD,BCC平面ABCD,平面PAD门平面 .PA AD.PACD. ABCD-AD. :PA-AD-CD-2. ..BC//AD,又ADBC,..四边形ABCD是直角 .PD-2/2. 梯形. (2)同选择① 又.PC=2③,.CD+PD= (3)同选择① PC.得CD|PD. 22.解:(1)由已知可知,张某创业成功的概率为,李某创 又.PAOPD=P,PA,PDC平面PAD. *.CD 平面PAD,则CD AD 业成功的概率为)。,且两人是否创业成功互不影响, 又.CD BC...AD//BC.又AD去BC 记“这2人累计获得的奖金X<30”的事件为A,则事件 '.四边形ABCD是直角梯形。 A的对立事件为“X一50”, (2)过A作AD的垂线交BC于点M .PA平面ABCD..'PAIAM,PA AD $.P(A)-1-P(x-50)-1-。-7.解得 。 如图,建立空间直角坐标系 A.xy2. 则A(0.0.0)C(2.2.0).D(0. 2.0).P(0.0.2),B(2,-1,0). (2)设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功 .E为PB的中点, 的次数为X.,都选择创业项目乙且创业成功的次数 .E(1.-.1). 为X。. 则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为E A-(1.-.1).PC-(2,2-2).PD=(0.2.-2). (20X.),选择项目乙累计获得的奖金的均值为 E(30X). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,x),则 由己知可得,X.~B(2,2),X~B(2,po). nPC-2x+2y-2c-0. 令y-1,得n=(0,1,1). n.pD-2y-2x-0. .E()-,f(X:)-20 设直线AE与平面PCD所成的角为a, *.E(20X)-20E(X)- 1-×1+1×1 .sina-lcos(n,AE|-1 (X)-60. } 若E(20X)E(30X。).即 (3)设P_-(0<<1), ./PF 若E(20X)<E(30X。),即80 0<60P,解得 %。 <p P -PB-(2,-1.-2)-(2,-.-2),AF-A <1; +P-(2,-,-2+2). 3 .AF/平面PCD..AF·n-0. 综上所述,当0p。<4时,他们都选择项目甲进行创 . 即--2+2-0→x= ) 业,累计得到的奖金的均值更大; 选择② 当。<1时,他们都选择项目乙进行创业,累计得 (1)证明:.PA 平面ABCD. 到的奖金的均值更大; ..PA AD.PAICD. 当p。一-时,他们选择两项目进行创业,累计得到的奖 .PA-AD-CD-2..PD-2② .PC=23.CD+PD=PC,得CD1PD 金的均值相等。 .46·