寒假作业 直线和圆的方程 巩固训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

寒假作业2025-2026学年高二数学人教A版《直线和圆的方程》巩固培优 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 3．点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 4．若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 5．已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 6．若直线与平行，则实数（    ） A．1 B．2 C．-4 D．0 7．已知圆与圆交于，两点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 8．已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．若，则 C．若，则直线，之间的距离为 D．直线过定点 10．已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．圆心C到直线l距离的最大值是1 C．直线l被圆C截得的最短弦长为 D．的取值范围为 11．已知点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的方程 B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C．若点是上一点，则的最大值为 D．若点是上一点，则的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则 ． 13．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为 ． 14．已知两点，若圆上存在点满足，则半径的取值范围为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知的三个顶点分别为，，． (1)求的面积； (2)求的外接圆的标准方程． 16．已知点，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)求直线被曲线E截得的弦长． 17．已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直． (1)求直线的一般式方程； (2)若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程． 18．设直线与直线的交点为，圆心在轴上的圆过点和点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 19．已知圆经过点，圆心在直线：上，圆被直线：截得的弦长为， (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线：对称，过原点的直线交圆于，两点，求弦中点的轨迹方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A C C B D AD ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据直线的斜率公式可得出直线的斜率. 【详解】直线经过点和点，则直线的斜率为. 故选：B. 2．C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 3．B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 4．A 【分析】利用两圆外切的性质列方程求解即得. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 而圆：的圆心为，半径为， 因两圆外切，则，解得. 故选：A. 5．C 【分析】将圆的方程配成标准式，即可确定圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为． 故选：C． 6．C 【分析】利用两直线平行的条件求解． 【详解】由直线与平行，得，所以. 故选：C. 7．B 【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后根据圆的弦长公式求得的值. 【详解】将圆和圆方程相减， 可得直线的方程为， 圆的圆心为，半径为1， 点到直线的距离为， 解得，又，所以. 故选：B. 8．D 【分析】利用已知条件得出圆心和半径，再利用公切线条件得出两圆相交，进而列不等式求出实数的取值范围． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 若与有且仅有2条公切线，则两圆相交， 又，，解得. 故选：D. 9．AD 【分析】根据直线方向向量的定义、两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程逐一判断即可. 【详解】，所以该直线的斜率为. ，所以该直线的斜率为，恒过点. 对于A，因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量是，设， 显然，所以直线的一个方向向量是， 故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 因为， 所以不成立，故B错误； 对于C，若，所以， 所以， 所以直线，之间的距离为，故C错误； 对于D，直线过定点 ，故D正确. 故选：AD 10．ACD 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；记点，分析可知当时，此时圆心到直线的距离为取最大值，可求出的最大值，可判断B选项；利用勾股定理结合B的结论可求出直线被圆C截得的弦长最小值，可判断C选项；令，分析可得直线与圆相切时取得的最大值和最小值，即可求出取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程可化为，由可得， 所以直线l过定点，A正确； 对于B选项，设圆心到直线的距离为，记点， 当时，此时取最大值，即， 故圆心到直线距离的最大值是，B错误； 对于C选项，设直线被圆截得的弦长为，则， 当取最大值，取最小值，则， 故直线被圆截得的弦长最小值为，C正确； 对于D选项，令，则， 圆心到直线的距离为， 化简可得：，解得：， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】由，即可整理得到曲线的方程，判断A选项；设点H坐标为，由此写出切线方程，然后求得直线的定点，判断B选项；令，由直线与曲线相切时有最值，由圆心到直线的距离建立方程解得最值，判断C选项；构造向量，，当直线与圆相切时，最小，由向量的数量积求得的最大值， 判断D选项. 【详解】对于A，因为，所以，整理得，故A正确； 对于B，因为H为直线上一点，设点H坐标为， 则直线MN的方程为，整理得， 令，解得，所以直线MN过定点，故B正确；    对于C，令，对于直线，与C相切时有最值，此时圆心到直线的距离，解得或，所以的最大值为，故C错误；      对于D，，表示点到点的距离，取，，， 则， 当直线与圆相切时，与的夹角最小， 此时在中，，，， 所以，， 所以，故D正确.    故选：ABD. 12． 【分析】将圆的方程转化为标准方程，求得其圆心和半径，根据为等边三角形可知等于圆的半径，由此求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可求得的值. 【详解】由圆，得. 所以圆心的坐标为，半径. 因为为等边三角形，所以. 所以圆心到直线的距离为. 即，所以. 故答案为：. 13． 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    14． 【分析】设点，结合条件得到点的轨迹是一个圆，利用圆与圆的位置关系计算半径的取值范围； 【详解】设点，由， 根据距离公式得， 两边平方并整理得，即 因此满足条件的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 圆的圆心，半径为，该圆与轨迹圆有公共点， 故两圆的圆心距，要使两圆有公共点，需满足， 计算圆心距，代入得， 解得，所以半径的取值范围为， 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）方法一：求直线的方程，算点到直线的距离，计算的长度，最后代入面积公式计算即可； 方法二：计算的斜率，判定垂直关系，定直角边长度最后代入直角三角形面积公式计算即可. （2）方法一：设圆的一般方程，代入三点坐标得方程组，求解系数，最后配方转化为标准方程即可； 方法二：判定为直角三角形，确定斜边为外接圆直径，求斜边中点（圆心）和半径，最后写出标准方程即可. 【详解】（1）方法一：根据已知条件，所在直线的方程为，即， 则点到直线的距离， 又， 故的面积. 方法二：根据已知条件，，， 则有，所以， 所以为直角三角形，为其直角边， 而， ， 故的面积. （2）方法一：设的外接圆方程为. 将，，代入， 得，解得， 所以的外接圆方程为， 其标准方程为. 方法二：由（1）可知为直角三角形，为其斜边， 则的外接圆直径即为， 由已知可得，的中点为，即圆心为， 又半径， 故的外接圆的标准方程为. 16．(1) (2) 【分析】（1）设，由利用两点间的距离公式化简可得答案； （2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可得答案. 【详解】（1）由题意得，所以， 设，因为点， 所以，化简得． 所以曲线E的方程为； （2）由（1）知，曲线E是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 所以直线被曲线截得的弦长为． 17．(1) (2) 【分析】（1）先求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程； （2）先求出圆的半径，再由圆心和半径写出圆的标准方程． 【详解】（1）直线经过两条直线和的交点， ，解得， 直线和的交点， 设直线的斜率为， 与直线垂直，，解得， 直线的方程为，一般形式为． （2）设圆的半径为， 则圆心为到直线：的距离为， 设直线与圆交于两点，则， ，解得， 圆的标准方程为． 18．(1) (2)或 【分析】（1）求出点的坐标，设圆的标准方程，由待定系数法求得圆的标准方程； （2）设直线的方程，根据直线与圆相交弦的弦长，求得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式求得直线的斜率，从而确定直线的方程. 【详解】（1）由，得，即. 由题意设圆的标准方程为， 则，解得. 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为，此时弦长，满足题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则其方程为，即. 圆心到直线的距离为. 因为，且，所以. 所以，所以，所以. 此时，直线的方程为，即. 综上直线的方程为，或. 19．(1) (2). 【分析】（1）设圆心，求出圆心到直线的距离，再结合弦长，弦心距和半径的关系列方程求出. （2）先利用对称性求出的方程，再由点在为直径的圆上，求出轨迹方程. 【详解】（1）设圆心，圆心到的距离， 由题意易知半径为， 因为圆经过点， 所以，解得， 解得，圆：. （2）设圆心关于的对称点为，则 ，解得， 所以圆：， 因为过原点的直线交圆于，两点，弦中点为， 所以，所以在以为直径的圆上， 设，则轨迹方程为， 即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $