阶段检测：选择性必修二全部内容（数列+导数，巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 阶段检测：选择性必修二全部内容 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可. 【详解】由，得，可得. 故选：D. 2．在数列中，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先由数列的递推公式求出数列的前几项，观察发现数列的周期性，由周期性转化求解即可. 【详解】因为， 所以，，， ，所以数列具有周期性，周期为，所以， 故选：A 3．已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【详解】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 4．在等差数列中，若，，则（   ） A．10 B．18 C．26 D．32 【答案】D 【分析】利用等差数列片段和的性质求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以等差数列的片段和： ，，，仍为等差数列. 又，， 所以， . 故选：D 5．若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（   ） A．16 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】设等比数列为，其公比为，且前项和为，分和两种情况， 结合前项和公式计算可得结论. 【详解】设等比数列为，其公比为，且前项和为， 若，则，所以，又，故不符合题意， 若，则根据题意可知，且， 解得，，故. 故选：D. 6．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，构造函数，借助导数研究其单调性即可得解. 【详解】等价于， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 所以只需，即． 故选：B. 7．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 8．在数列中，，.记是数列的前项和，则（   ） A．1325 B．1300 C．1350 D．1375 【答案】B 【分析】按n为奇数，偶数分类，然后结合等差数列求和公式可得答案. 【详解】当为奇数，由题可得，即数列所有奇数项为首项为1，公差为1的等差数列， 则； 当为偶数，由题可得，即数列所有相邻偶数项和为1， 则， 从而. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据导函数四则运算法则和复合函数求导法则对选项一一判断，得到答案 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：ACD 10．设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 【答案】AC 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是等差数列的前项和， 所以由， 由，而，所以， 因为数列是等差数列，所以等差数列的公差，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且，所以，且，所以本选项说法不正确； C：由上可知：，，因此数列的前项都是正数，从第项起每项都是负数， 所以当时，取得最大值，因此本选项说法正确； D：因为， 所以，又， 所以使成立的最大整数为，因此本选项说法不正确， 故选：AC 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 【答案】BC 【分析】特殊值法可排除A项，利用函数的对称性可判定B，利用导数研究函数的极值点可判定C，利用导函数非负结合判别式可判定D. 【详解】对于A，当时，，， 若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误； 对于B，当时，，， 则，所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于C项，当时，， ，因为2是的极大值点，所以， 解得或，若，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以2是的极小值点，不符合题意； 故，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以2是的极大值点，符合题意； 所以，，所以，故C正确； 对于D项，若在定义域R上是单调函数， 则恒成立， 所以，解得，所以D错误， 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．函数在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出的导函数，求出导数值，得到切线的斜率，得到答案. 【详解】，切线斜率，切点为， 可得切线方程为：. 故答案为：. 13．已知数列满足，，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】由题化简得出，则用累加法可求出. 【详解】若，则，即，这与矛盾，所以， 由，两边同时除以，得，则， ，，， 上边的式子相加可得：， 所以. 故答案为： 14．设函数，若恒成立，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据题意分析得出，即，构造新函数，利用函数导数求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 当时，，由恒成立，则有恒成立， 因为的值域为，所以不一定恒成立，矛盾，故不成立； 当时，由， 由， 所以要使得恒成立，则，即，所以． 设， 则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以有最小值，所以的最小值是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，前项和公式和等差数列的性质，求出和，得到等差数列的通项公式. （2）由.再由，求数列的前n项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则：. 所以. （2）由（1）得： 由. 所以当时，. 当时，. 所以. 16．（15分） 已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）利用的关系计算即可； （2）利用（1）的结论结合裂项相消法计算即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，即， 当时，，解得， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以． （2）由上可知， ， 则， 所以 ， 由可得，则，证毕． 17．（15分） 已知函数，. (1)求的极小值； (2)若，，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，令得，结合极小值的定义即可求出函数的极小值； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，得到函数单调性. 【详解】（1）的定义域为，， 令得， 令得，令得， 故的极小值为. （2），定义域为， ， 若，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 若，令得或， 当时，，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增. 18．（17分） 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的. (1)求，； (2)猜测的值（不要求证明）； (3)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据欧拉函数的定义，采用枚举法即可求解； （2）根据任意相邻的三个正整数均有两个数与互为质数可求出； （3）先求得的通项公式，根据通项公式的特征，采用错位相减法即可求出其前n项和. 【详解】（1）不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则， 不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则. （2）表示相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个， 故分别取可得中与互质的正整数个数为， 所以. （3）由以上可得，， 设数列的前n项和为， ， ， 两式相减得： ， 则. 19．（17分） 已知函数. (1)若，证明：； (2)令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围； (3)若，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后，可得，将定义域分成和两段，利用导数判断函数单调性证明成立，经等价变形即可证得； （2）根据题意，将问题转化为函数与在上恰有一个交点，通过求导判断的单调性，求出极值和端点函数值，利用函数与方程的思想即可求得答案； （3）利用（1）可得时，在上单调递减，推理可得，再利用（1）的结论，当且仅当时取等，即可证得结论. 【详解】（1）当时，，函数定义域为，则， 易得，下证当时. 要证，需证，即证， 设，则， 当时，，则在上单调递增，故，即，故有； 当时，，则在上单调递减，故，即，故有. 综上可得，当时，恒成立； （2），由可得，即，， 设，则问题转化为函数与在上恰有一个交点. 则，由可得，因，则， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减. 又， 则当时，两函数无交点；当或时，两函数有1个交点；当两函数有2个交点. 故当函数在区间上恰有一个零点时，k的取值范围为或； （3）由（1）知，当时，，即在上单调递减， 因，则，即，也即， 由可得，在（1）中已证，当且仅当时取等， 故有，所以得证. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 阶段检测：选择性必修二全部内容 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．4 D．8 2．在数列中，，则（    ） A． B． C． D．3 3．已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．在等差数列中，若，，则（   ） A．10 B．18 C．26 D．32 5．若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（   ） A．16 B．8 C． D． 6．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 8．在数列中，，.记是数列的前项和，则（   ） A．1325 B．1300 C．1350 D．1375 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．函数在处的切线方程为 . 13．已知数列满足，，则数列的通项公式 . 14．设函数，若恒成立，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 16．（15分） 已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 17．（15分） 已知函数，. (1)求的极小值； (2)若，，讨论的单调性. 18．（17分） 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的. (1)求，； (2)猜测的值（不要求证明）； (3)令，求数列的前n项和． 19．（17分） 已知函数. (1)若，证明：； (2)令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围； (3)若，证明：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $