4.1 数列的概念 寒假练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

2025-2026学年高中数学人教A版选修二 4.1 数列的概念 寒假练习 一、选择题 1．数列的第11项是（　　） A． B． C． D． 2．若数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 3．数列的第5项为（　　） A．0 B． C． D． 4．已知数列的通项公式是，则下列各数是中的项的是（　　） A．10 B．18 C．26 D．63 5．斐波那契数列满足，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（　　）项. A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．在数列中，若有（，均为正整数，且），就有，则称数列为“递等数列”.已知数列满足，且，将“递等数列”前项和记为，若，，，则（　　） A．4720 B．4719 C．4718 D．4716 二、多项选择题 7．下列是递增数列的是（　　） A． B． C． D． 8．在数列中，若对于任意，都有，则（　　） A．当或时，数列为常数列 B．当时，数列为递减数列，且 C．当时，数列为递增数列 D．当时，数列为单调数列 9．已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（　　） A．n为偶数时， B． C． D．的最大值为20 10．已知数列，，且满足，，则（　　） A． B．的最大值为 C． D． 三、填空题 11．已知数列满足，且，若（其中表示不超过的最大整数），则　 　；数列前2023项和　 　． 12．若项数为10的数列 ， 满足 ， 且 ， 则数列 中最大项的最大值为　 　. 13．某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5％，产品合格率比前一个月增加0.4％.设从今年1月起（作为第一个月），第　 　个月，月不合格品数量首次控制在100个以内. （参考数据：，，，） 14．若数列满足且，其中为数列的前n项和．请写出一个满足上述条件的数列通项　 　． 四、解答题 15．记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：． 16．数列，满足，，． （1）求证：是常数列； （2）设，，求的最大项． 17．已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18．已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 19．已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）已知数列的前20项和. 20．在数列中，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】数列的概念及简单表示法 【解析】【解答】设该数列的第n项为， 由已知， 变形可得， 所以数列的一个通项公式可以是， 可得． 故答案为：A. 【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式， 确定数列的第11项. 2．【答案】C 【知识点】数列的函数特性 【解析】【解答】 ，，，，，，数列 是以3为周期的数列， ， 故答案为：C 【分析】由 ，求出数列前几项找出规律求解 3．【答案】C 【知识点】数列的概念及简单表示法；运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】数列的第5项为. 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合数列的通项公式和代入法，进而得出数列第五项的值。 4．【答案】D 【知识点】数列的概念及简单表示法 【解析】【解答】令，可得， ，不是正整数， 所以不是的项；A不符合题意； 令，可得， ，不是正整数， 所以不是的项；B不符合题意； 令，可得， ，不是正整数， 所以不是的项；C不符合题意； 令，可得或， ，是正整数， 即数列的第项为，D符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用已知条件结合数列的通项公式和代入法以及一元二次方程求解方法，从而找出数列 中的项。 5．【答案】C 【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式 【解析】【解答】由题意知第1个长方形面积为； 第2个长方形面积为； 第3个长方形面积为； 第n-1个长方形面积为； 第n个长方形面积为； 是斐波那契数列的第2024项. 故答案为：C 【分析】根据斐波那契数列递推公式求出第n个长方形面积与斐波那契数的关系有，进而求解。 6．【答案】B 【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式 【解析】【解答】，则，则，故， ，，故， ，故，， 则，，，故数列为周期为3的周期数列， . 故答案为：B 【分析】由题意可得，然后结合题意可得数列为周期为的周期数列，然后求解可得答案. 7．【答案】A,C 【知识点】数列的函数特性 【解析】【解答】A、， 是递增数列，A符合题意； B、， 不是递增数列 ，B不符合题意； C、， 是递增数列，C符合题意； D、， 不是递增数列 ，D不符合题意. 故答案为：AC 【分析】根据数列单调性的概念判断选项。 8．【答案】A,B,C 【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式 【解析】【解答】解：对于A选项，由得， 所以，当时，，是常数列； 当时，是常数列，A选项正确； 对于B选项，， 因为， 所以，当时，，即， 同理可得，， 所以，即， 所以数列为递减数列，且，B选项正确； 对于C选项，当时，由得，即 由得， 所以，， 同理可得， 所以，即， 所以，数列为递增数列，C选项正确； 对于D选项，当时，由，即， 由得，符号不确定， 所以符号不确定， 所以，当时，数列的单调性无法确定，故错误. 故答案为：ABC 【分析】直接代入计算判断A；由题知，，再依次讨论BC选项即可判断；根据无法确定符号判断D. 9．【答案】A,C 【知识点】函数的最大（小）值；数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式 【解析】【解答】根据递推关系可知，n为奇数时， n为偶数时，，A对； 根据奇数项构成等差数列 可得： 而又： 则有：，B不符合题意； ，C对； 根据中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据特点可知： 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值为，D不符合题意 故答案为：AC 【分析】利用已知条件结合数列的递推公式，从而得出n为偶数时的数列的通项公式，再结合数列前n项和公式和数列的和的最值求解方法，进而找出说法正确的选项。 10．【答案】B,C,D 【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式 【解析】【解答】对于A，当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：； ，A不符合题意； 对于B，由得：， 又，，，，， 数列为正项递减数列，，B符合题意； 对于C，由得：，， ， 数列为正项递减数列，，（当且仅当时取等号）， ，即，，C符合题意； 对于D，由C知：， ， ，D符合题意. 故答案为：BCD. 【分析】利用已知条件结合递推公式和代入法得出数列的首项和第四项的值，进而得出的值；由结合，和不等式的基本性质得出的取值范围，再结合数列为正项递减数列，进而得出 的最大值；由结合裂项相消的方法得出 ，再利用数列为正项递减数列，，进而得出，所以；由C知，再结合放缩法得出，再利用求和法得出，进而找出正确的选项。 11．【答案】；1685 【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式 【解析】【解答】由，得，两式相减得， 因为，所以， 则数列的周期为6，则数列的周期也为6， 由题意得， 则， 所以. 故答案为：，1685. 【分析】由，得到，两式相减得到，进而得到数列的周期为6，数列的周期也为6求解. 12．【答案】8 【知识点】数列的函数特性 【解析】【解答】解：因为，所以或， 不妨设 ， 即中相邻两项相差最大为2，但又要保证，则数列中的项有增有减， 假如bi中有x个2，增量最大为2x，则有9-x项是减少的， 则必有 ，所以 ，解得x=3或4， 取x=4， a1取最大值0，按最大连续增量8计算，有 a5=a1+8 ，即中有最大值为a5=8． 故答案为：8 【分析】根据数列的增减性计算即可. 13．【答案】13 【知识点】根据实际问题选择函数类型；数列的函数特性 【解析】【解答】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，， 则由题意知，， 其中，2，…，24. 则从今年1月起，各月不合格产品数量是. 又由 ， 可知当时，是递增数列，当时，是递减数列. 因为，， 所以第13个月，月不合格品数量首次控制在100个以内. 故答案为：13 【分析】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，求出数列的通项公式an、bn，推出anbn ，判断数列{anbn}的单调性，从而求出anbn≤a13b13<100，即可求出答案. 14．【答案】(答案不唯一) 【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性 【解析】【解答】根据题意，数列满足，则有， 又由数列满足，故数列为各项为负的递增数列， 其通项公式可以为：， 故答案为：(答案不唯一) 【分析】利用已知条件结合数列的通项公式和数列前n项和公式以及，从而得出，又由数列满足，再结合增函数的定义判断出数列为各项为负的递增数列，进而得出满足条件的数列的通项公式。 15．【答案】（1）解：解法一：∵， 两式相减可得，，可得， 又∵， ∴也符合． ∴， ∴， 故； 解法二：， 时，， 两式相减得， ∴， 又∵， ∴， ∴为常数列，，∴ （2）证明：． 前项和， ∵，∴， ∴，∴. 【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式 【解析】【分析】 (1) 解法一：根据与之间的关系可得，利用累积法运算求解；解法二：根据与之间的关系可得，结合常数列运算求解； (2) 整理可得，利用裂项相消法分析证明. 16．【答案】（1）证明：，，，， ，，因此，数列是常数列； （2）解：由（1），即，且，整理得， ，， ， 当时，，， ， ，，数列单调递减，的最大项为． 【知识点】数列的函数特性；数列的应用 【解析】【分析】（1） 通过证明得到是常数列 ； （2）先求出 通项，利用数列单调性求的最大项。 17．【答案】（1）解：∵数列满足，且， ∴时， . 当时也成立，∴. （2）解：， ∴数列的前项和 . 【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和 【解析】【分析】 (1)利用已知条件结合数列满足，且，当时结合累加法和检验法得出数列的通项公式。 （2）利用数列的通项公式和 ，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和。 18．【答案】（1）解：由…① 当时，； 当时，有…② ①-②得：，即； 不符合上式，故. （2）解：由（1）知 故当时，； 当时，， ； 因为符合上式，故. 【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和 【解析】【分析】（1） 由…①，当时结合代入法得出的值；当时，有…②，①-②得出；再利用检验法得出不符合上式，进而得出数列的通项公式。 （2） 利用数列的通项公式和，进而得出数列的通项公式，再利用分类讨论的方法和数列前n项和与数列通项公式的关系以及裂项相消的方法和检验法求出数列的前项和。 19．【答案】（1）解：当时，可得， 当时，， ， 上述两式作差可得， 因为满足，所以的通项公式为. （2）解：， 所以， . 所以数列的前20项和为. 【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和 【解析】【分析】（1）根据得到，然后两式相减得到，最后验证时是否成立，即可得到； （2）分奇偶项求和，奇数项用等差数列求和公式求和，偶数项用裂项相消的方法求和，最后相加即可. 20．【答案】（1）解：因为，， 所以， 又， 所以. 因为也满足， 所以. （2）解：因为， 所以， 即. 【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和累加法和检验法得出数列的通项公式。 （2）利用数列 的通项公式和，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $