专题1.2 向量的加减法（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1-2向量的加减法讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01平行四边形法则 1-2向量的加减法 题型02向量加法的三角形法则 知识点01向量的加法 题型03向量加法的运算律 题型04向量的减法 知识点02向量的减法 教学目标、教学重难点 教学目标 理解向量加减法的运算法则及运算律，掌握平行四边形法则与三角形法则 教学重点 平行四边形法则与三角形法则 教学难点 向量加减法的应用。 知识清单 知识点01向量的加法 1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则. atb a AB+B元=AG 0A+0B=0C 2.向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+d 结合律：a+b+)=(a+b+c 3.多边形法则： 般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即A42十A4A3十AA4十..十Am-4n=A4, 特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量。 【即学即练1-1】(24-25高一下甘肃定西·月考)如图，在平行四边形ABCD中，AB+AD=() B A.BD B.CD C.BC D.AC 第1页共24页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】直接由向量加法的平行四边形法则即可求解， 【详解】由向量加法的平行四边形法则得，AB+AD=AC 故选：D. 【即学即练1-2】(24-25高一下四川眉山期中)已知平面四边形ABCD,则AB+BC+CD=() A.AD B.BD C.AC D.0 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】利用平面向量的线性运算求解， 【详解】在平面四边形ABCD中，AB+BC=AC, 所以AB+BC+CD=AC+CD=AD, 故选：A 知识点02向量的减法 1.相反向量： 与长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量.记作-d. 2.向量减法的定义： a-b=a+（-) 3.向量减法的法则：三角形法则. a-b OA-OB=BA 2-例≤位+≤同+回（当且仅当a与b方向方向相同时等号成立）· 【即学即练2-1】(24-25高一下四川成都月考)AB+BC-DC=() A.AB B.DA C.AD D.BA 【答案】C【难度】0.94【知识点】向量加法的法则、相反向量 【分析】利用向量加法法则及相反向量的意义求解 【详解】AB+BC-DC=AC+CD=AD 故选：C 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下广东东莞·月考)下列四式可以化简为PQ的是() A.AB+(PA+BQ) B.(AB +PC)+(BA-QC) C.QC+CQ-QP D.PA+AB-BQ 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】对于A:AB+(PA+BQ=PA+AB+B0=PB+BQ=PQ,符合题意： 第2页共24页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 对于B:(AB+PC+(BA-QC=(AB+BA+(PC+CQ=PQ,符合题意： 对于C:QC+CQ-QP=-QP=PQ,符合题意： 对于D:因为PA+AB-BQ=PB-BQ,PQ=PB+BQ, 若PA+AB-BQ=PQ,即PB-BQ=PB+BO,可得BQ=O, 即点B与点Q重合，显然这不一定成立， 所以PA+AB-BQ与PQ不一定相等，不符合题意. 故选：ABC 题型精讲 题型01平行四边形法则 【典例1-1】(24-25高一下广东揭阳月考)对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为BC的有() A.BA+AD+DC B.BD+DA+AC C.AB+BD+DC D.DC+BA+AD 【答案】C【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】由平面向量的加法法则，逐项判断即可 【详解】在A中，BA+AD+DC=BD+DC=BC: 在B中，BD+DA+AC=BA+AC=BC: 在C中，AB+BD+DC=AD+DC=AC: 在D中，DC+BA+AD=DC+BD=BD+DC=BC 故选：C 【典例1-21(24-25高一上辽宁期末)如图，在平行四边形ABCD中，0为对角线的交点，则A0+0B+AD=() D A.AC B.AD C.BD D.0 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的运算法则可得结果。 【详解】A0+OB+AD=AB+AD=AC 故选：A 【典例1-3】（多选）(22-23高一下.广东佛山·月考)若平行四边形MNPQ的对角线MP与NQ相交于点O,则下列 结论正确的是() A.MN=PO B.MP=-20M C.MP=MN+MQ D.QN MN-MO 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】作出图形，根据平行四边形的性质和平面向量的线性运算即可求解 第3页共24页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】作出图形，如图所示： ◇ M N 因为四边形MNPQ为平行四边形，所以MN=一PQ,故选项A错误： 因为四边形MNPQ为平行四边形，所以O为MP的中点，则M下=-2OM,故选项B正确： 因为四边形MNPQ为平行四边形，所以MP=MN+MO,故选项C正确； 因为四边形MNPQ为平行四边形，所以QN=QM+QP=MN-MQ,故选项D正确： 故选：BCD 【典例1-4】(23-24高一下.广东广州，期中)已知正方形ABCD的边长为2，则|AB+AD为 【答案】22【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的加法公式，以及正方形的性质，即可求解。 【详解】AB+AD=AC=2V2 故答案为：2V2 【变式1-1】(24-25高一下·全国课后作业)若在△ABC中，AB=d,BC=万，且同==1，a+=V2 则△ABC的形状是() A.正三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形 【答案】D【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用、向量的模 【分析】根据条件便有AC=√2，再由AB=BC=1便可得出AB12+BC2=AC2,从而便可得到 △ABC为等腰直角三角形， 【详解】解：如图，d+b=AB+BC=AC:AB=BC=1,AC=√2： AB2+|BC2=AC2=2;∴△ABC为等腰直角三角形. 故选：D. 【变式1-2】(22-23高一下陕西西安月考)若点O是△ABC的外心，且0A+0B+C0=0,则△ABC的内角 C等于() A.120 B.90° C.60° D.45° 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】由题意可得OA+OB=OC,又因为OA=|OB=|OC,所以四边形0ACB为菱形，且∠AC0= ∠BC0=60°，即可得答案， 【详解】由OA+OB+C0=0得，OA+OB=0C, 第4页共24页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为点O是△ABC的外心，则OA=|OB=OC, 结合向量加法的几何意义知，四边形0ACB为菱形，且∠AC0=∠BC0=60°， 所以△ABC的内角C等于120°. 故选：A 【变式1-3(2024高一下·全国.专题练习)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则0p+00=() A.OE B.OF c.OG D.OH 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】根据平行四边形法则即可求 【详解】以OP,OQ为邻边作平行四边形，可知0F为所作平行四边形的对角线， 故由平行四边形法则可知OF对应的向量OF即所求向量 故选：B I变式1-4】(23-24高一下.甘肃定西月考)在正六边形ABCDEF中，若AB=2,则AB+AF+CD=() A.23 B.2 C.43 D.4 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的模 【分析】利用向量的线性运算即可求解 【详解】设正六边形ABCDEF的中心为O,所以AB+AF+C可=AO+CD可=AO+AF]=AE 又因为AB=2,∠AFE=120°，所以AE=2V3. 故选：A 【变式1-5】（多选）(24-25高一下·全国·课后作业)下列说法错误的有() A.如果非零向量与b的方向相同或相反，那么a+的方向必与或b的方向相同 B.若向量a,b方向相反，且>b>0,则向量a+b的方向与向量的方向相反 第5页共24页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.若AB+BC+CA=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a,均为非零向量，则a+=+ 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、平行向量（共线向量） 【分析】由共线向量的概念即可判断A选项：因为向量a,b方向相反，且同>>0，所以a+b的方向 与向量的方向相同，据此可以判断B选项；当A、B、C三点共线时，AB+BC+CA=0成立，据此可以判 断C:当a,反向时，a+<同+，据此可以判断D. 【详解】对于A,因为向量a与b的方向相同或相反，所以a+b的方向必与或b的方向相同，A正确： 对于B,因为a,b的方向相反，且@>>0，可知d+b的方向与的方向相同，B错误： 对于C,当A,B,C三点共线时，也满足AB+BC+CA=0,C错误： 对于D,当a,b反向时，+<d+,等式不成立，D错误. 故选：BCD 凰变式1-6】(24-25高一下·全国·课后作业)如图，在正六边形AB-CDEF中，0是其中心.则： ①AB+CD= :②AB+AF+BC= _:③0C+OD+EF= 【答案】AG:AD:O元【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可. 【详解】①AB+CD=AB+AF=AO AB+AF+BC=A0+BC=A0+OD=AD. 30C+0D+EF=0C+0D+0A=0C. 故答案为：A0:AD:OC 题型02向量加法的三角形法则 【典例2-1】(24-25高一下·北京朝阳·期末)在平面四边形ABCD中，AB+BC=() A.CA B.DB C.BD D.AC 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】直接利用向量加法法则即可求解 【详解】AB+BC=AC 故选：D. 【典例2-2】（25-26高一上北京昌平期末)如图，点0为正六边形ABCDEF的中心，则OA+B0=() 第6页共24页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.OC B.OD C.OE D.OF 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】根据正六边形的性质可得OA+BO=OA+EO,再利用平行四边形AOEF可求OA+BO, 【详解】OA+B0=B0+OA=BA=OF, 故选：D. 【典例2-3】（多选）(22-23高一下.甘肃·月考)下列四个等式中，正确的是() A.a+b=b+B.-(-a)=a C.AB+BC+CA=0 D.a+(-d)=0 【答案】ABC【难度】0.94【知识点】向量加法的运算律、相反向量 【分析】由向量的运算律、加法法则及相反向量等判断各项正误即可 【详解】由向量的加法交换律及相反向量知：a+=b+、-(-=a,即A、B正确， 由AB+BC+CA=AC+CA=0,C正确， 向量的线性运算（加减、数乘运算），结果应为向量，D错误. 故选：ABC 凰典例2-4】(23-24高一下·上海嘉定·期末)AB+BA= 【答案】0【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的加法法则求解即可. 【详解】AB+BA=可 故答案为：0. 【变式2-1】(24-25高一下，福建三明期末)化简A正+EB+BC等于(） A.AB B.CE C.AC D.BE 【答案】C【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量加法直接得到答案 【详解】AE+EB+BC=AB+BC=AC 故选：C I变式2-2】(24-25高一下.贵州贵阳·月考)向量AB+B0+0M+MB+BC=() A.AC B.AB C.BC D.AM 【答案】A【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】利用平面向量加法的三角形法则计算， 【详解】根据平面向量加法的三角形法则，可得AB+BO+OM+MB+BC=AC! 故选：A 【变式2-3】(22-23高一下河南·月考)如图，在正六边形ABCDEF中，AC=() 第7页共24页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.AB-2AF B.AB+2AF C.2AB+AF D.2AB+2AF 【答案】C【难度】0.85【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】根据正六边形的性质与平面向量加法运算法则即可得答案。 【详解】连接AD,BE,CF交于点O, 由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形，所以FC=2AB且FC/AB, ·AC=AF+F元=AF+2AB, 故选：C 【变式2-4】(22-23高一下.广东东莞月考)化简0P+P+S0的结果等于() A.QP B.00 C.SP D.SQ 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的三角形法则，即可求解。 【详解】根据向量的三角形法则，可得OP+P+S0=O了+S0=OQ: 故选：B 【变式2-5】（多选21-22高一下江苏盐城期中）给出下列四个结论，其中正确的结论是() A.若线段AC=AB+BC,则向量AC=AB+BC B.若向量AC=AB+BC,则线段AC=AB+BC C.若向量AB与BC共线，则线段AC=AB+BC D.若向量AB与BC反向共线，则AB+CB=AB+BC 【答案】AD【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、平行向量（共线向量） 【分析】由线段AC=AB+BC,且点B在线段AC上，即可判断A选项，根据已知条件，结合三角形的性质， 即可判断B选项，根据向量共线的性质，即可判断C、D选项. 【详解】对于A项，，线段AC=AB+BC,∴点B在线段AC上，÷AC=AB+BC,故选项A正确： 对于B项，在△ABC中，AC=AB+BC, 但由三角形的性质可知，ACAB+BC,故选项B不成立： 对于C项，若向量AB与BC反向共线，则ACAB+BC,故选项C不成立： 对于D项，向量AB与BC反向共线， 第8页共24页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB+CB=AB+(-BC)引=AB+BC,故选项D正确. 故选：AD 【变式2-6】(20-21高一下·云南保山·期末)如图，在重100N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别 为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为 【答案】50V3N:50N【难度】0.85【知识点】力的合成 【分析】设两根绳子的拉力分别为0A,OB,作平行四边形OACB,使LA0C=30°，LB0C=60°求解 【详解】解：如图所示： 100NM30 60 d 设两根绳子的拉力分别为0A,0B, 作平行四边形OACB,使∠AOC=30°，∠B0C=60°， 在平行四边形OACB中，∠A0C=30°，∠0CA=60°，则∠0AC=90°， 所以OA=lOC·cos30°=50V3N,AC=1 C.cos60°=50W, 所以物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为50V3N,50N, 故答案为：50V3W,50N. 题型03向量加法的运算律 【典例3-1】(24-25高一下江苏·月考)AB+B0+0M等于() A.BC B.AB C.AC D.AM 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量的加法运算 【详解】AB+B0+OM=A0+OM=AM. 故选：D 【典例3-2】(23-24高一下·湖南邵阳·期中)在正六边形ABCDEF中，AF+ED+FE=() A.AC B.AF C.AE D.AD 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得 【详解】因为AF+ED+FE=AF+FE+ED=AD,故D正确. 第9页共24页 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 显然AD+AC,AD≠AF,AD≠AE,故A、B、C均错误. 故选：D 【典例3-3多选(24-25高一下山东潍坊·开学考试)对任意一个四边形4BCD,下列式子能化简为BC的是() A.BA+AD+DC B.BD+DA+AC C.AB+BD+DC D.DC+BA+AD 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量加法的运算法则即可得到答案 【详解】对于A,BA+AD+DC=BD+DC=BC: 对于B,BD+DA+AC=BA+AC=BC 对于C,AB+BD+DC=AD+DC=AC: 对于D,DC+BA+AD=BA+AD+DC=BD+DC=BC 故选：ABD. 【典例3-4】(23-24高一下·上海期末)如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线MN的中点， 0为对角线AC与BD的交点，用OA,OB,OC,OD的线性组合表示向量OG为：OG= M OXiG N B 【答案】(OA+0B+0C+0D【难度】0.85【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】根据题意利用中点的性质结合向量的加法运算法则分析求解。 【详解】因为G为MN的中点，则OG=0N+0M, 又因为M,N分别为BD,AC的中点，则ON=:0A+0C,OM=0B+30D, 所以0正=(0A+0C)+G0丽+0D)=0A+0丽+0c+0D) 故答案为：(0A+0丽+0C+0D) 【变式31】(24-25高一下广东期中)AB+CA+BC=() A.0 B.0 C.2CA D.2BC 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量的加法的三角形法则即可求解 【详解】AB+CA+BC=AB+BC+CA=AC+CA=0. 第10页共24页 1-2 向量的加减法 讲义 教学目标 理解向量加减法的运算法则及运算律，掌握平行四边形法则与三角形法则. 教学重点 平行四边形法则与三角形法则. 教学难点 向量加减法的应用. 知识点01 向量的加法 1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 2.向量加法的运算律： 交换律： 结合律： 3.多边形法则： 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即＋＋＋…＋An－1An＝， 特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 【即学即练1-1】(24-25高一下·甘肃定西·月考)如图，在平行四边形中，(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】直接由向量加法的平行四边形法则即可求解. 【详解】由向量加法的平行四边形法则得，． 故选：D. 【即学即练1-2】(24-25高一下·四川眉山·期中)已知平面四边形ABCD，则＋＋＝(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】在平面四边形ABCD中，＋ ， 所以＋＋， 故选：A 知识点02 向量的减法 1.相反向量： 与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.记作. 2.向量减法的定义： 3. 向量减法的法则：三角形法则. 2.（当且仅当与方向方向相同时等号成立）. 【即学即练2-1】(24-25高一下·四川成都·月考)( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】向量加法的法则、相反向量 【分析】利用向量加法法则及相反向量的意义求解. 【详解】 故选：C 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·广东东莞·月考)下列四式可以化简为的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】对于A：，符合题意； 对于B：，符合题意； 对于C：，符合题意； 对于D：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，不符合题意. 故选：ABC. 题型01 平行四边形法则 【典例1-1】(24-25高一下·广东揭阳·月考)对于任意一个四边形，下列式子不能化简为的有(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】由平面向量的加法法则，逐项判断即可. 【详解】在A中，； 在B中，； 在C中，； 在D中，． 故选：C. 【典例1-2】(24-25高一上·辽宁·期末)如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 【典例1-3】(多选)(22-23高一下·广东佛山·月考)若平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论正确的是(    )． A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】作出图形，根据平行四边形的性质和平面向量的线性运算即可求解. 【详解】作出图形，如图所示： 因为四边形为平行四边形，所以，故选项A错误； 因为四边形为平行四边形，所以为的中点，则，故选项B正确； 因为四边形为平行四边形，所以，故选项C正确； 因为四边形为平行四边形，所以，故选项D正确； 故选：BCD. 【典例1-4】(23-24高一下·广东广州·期中)已知正方形的边长为2，则为 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的加法公式，以及正方形的性质，即可求解. 【详解】. 故答案为： 【变式1-1】(24-25高一下·全国·课后作业)若在中，，，且，，则的形状是(    ) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用、向量的模 【分析】根据条件便有，再由便可得出，从而便可得到为等腰直角三角形． 【详解】解：如图，  ； ； ；为等腰直角三角形． 故选：D． 【变式1-2】(22-23高一下·陕西西安·月考)若点O是的外心，且，则的内角C等于(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案. 【详解】由得，， 因为点O是的外心，则， 结合向量加法的几何意义知，四边形为菱形，且， 所以的内角C等于. 故选：A. 【变式1-3】(2024高一下·全国·专题练习)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】根据平行四边形法则即可求. 【详解】以，为邻边作平行四边形，可知为所作平行四边形的对角线， 故由平行四边形法则可知对应的向量即所求向量． 故选：B 【变式1-4】(23-24高一下·甘肃定西·月考)在正六边形中，若，则(    ) A． B．2 C． D．4 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的模 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】设正六边形的中心为，所以， 又因为，，所以. 故选：A 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)下列说法错误的有(    ) A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则，，一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、平行向量(共线向量) 【分析】由共线向量的概念即可判断A选项；因为向量，方向相反，且，所以的方向与向量的方向相同，据此可以判断B选项；当三点共线时，成立，据此可以判断C；当，反向时，，据此可以判断D. 【详解】对于A，因为向量与的方向相同或相反，所以的方向必与或的方向相同，A正确； 对于B，因为，的方向相反，且，可知的方向与的方向相同，B错误； 对于C，当，，三点共线时，也满足，C错误； 对于D，当，反向时，，等式不成立，D错误． 故选：BCD. 【变式1-6】(24-25高一下·全国·课后作业)如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ；② ；③ ． 【答案】 ； ；【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可. 【详解】①． ②． ③． 故答案为：；；. 题型02 向量加法的三角形法则 【典例2-1】(24-25高一下·北京朝阳·期末)在平面四边形中，(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】直接利用向量加法法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 【典例2-2】(25-26高一上·北京昌平·期末)如图，点为正六边形的中心，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】根据正六边形的性质可得，再利用平行四边形可求. 【详解】， 故选：D. 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·甘肃·月考)下列四个等式中，正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC【难度】0.94【知识点】向量加法的运算律、相反向量 【分析】由向量的运算律、加法法则及相反向量等判断各项正误即可. 【详解】由向量的加法交换律及相反向量知：、，即A、B正确， 由，C正确， 向量的线性运算(加减、数乘运算)，结果应为向量，D错误． 故选：ABC 【典例2-4】(23-24高一下·上海嘉定·期末) ． 【答案】【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的加法法则求解即可． 【详解】 故答案为：． 【变式2-1】(24-25高一下·福建三明·期末)化简等于(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量加法直接得到答案. 【详解】. 故选：C. 【变式2-2】(24-25高一下·贵州贵阳·月考)向量 (  ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】利用平面向量加法的三角形法则计算. 【详解】根据平面向量加法的三角形法则，可得. 故选：A. 【变式2-3】(22-23高一下·河南·月考)如图，在正六边形中，(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】根据正六边形的性质与平面向量加法运算法则即可得答案. 【详解】连接，，交于点， 由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形，所以且， ， 故选：C 【变式2-4】(22-23高一下·广东东莞·月考)化简的结果等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的三角形法则，即可求解. 【详解】根据向量的三角形法则，可得. 故选：B. 【变式2-5】(多选)(21-22高一下·江苏盐城·期中)给出下列四个结论，其中正确的结论是(    ) A．若线段，则向量 B．若向量，则线段 C．若向量与共线，则线段 D．若向量与反向共线，则 【答案】AD【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、平行向量(共线向量) 【分析】由线段AC=AB+BC，且点B在线段AC上，即可判断A选项，根据已知条件，结合三角形的性质，即可判断B选项，根据向量共线的性质，即可判断C、D选项. 【详解】对于A项，∵线段AC=AB+BC，∴点B在线段AC上，，故选项A正确； 对于B项，在△ABC中，， 但由三角形的性质可知，AC≠AB+BC，故选项B不成立； 对于C项，若向量与反向共线，则AC≠AB+BC，故选项C不成立； 对于D项，∵向量与反向共线， 故选项D正确. 故选：AD. 【变式2-6】(20-21高一下·云南保山·期末)如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为 ， .        【答案】；【难度】0.85【知识点】力的合成 【分析】设两根绳子的拉力分别为，作平行四边形OACB，使求解. 【详解】解：如图所示：    设两根绳子的拉力分别为， 作平行四边形OACB，使， 在平行四边形OACB中，，则， 所以，， 所以物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为，， 故答案为：， . 题型03 向量加法的运算律 【典例3-1】(24-25高一下·江苏·月考)等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量的加法运算. 【详解】. 故选：D 【典例3-2】(23-24高一下·湖南邵阳·期中)在正六边形中，(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. 故选：D 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·山东潍坊·开学考试)对任意一个四边形，下列式子能化简为的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量加法的运算法则即可得到答案. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：ABD. 【典例3-4】(23-24高一下·上海·期末)如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为： ．    【答案】【难度】0.85【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】根据题意利用中点的性质结合向量的加法运算法则分析求解. 【详解】因为G为的中点，则， 又因为分别为BD，AC的中点，则， 所以. 故答案为：. 【变式3-1】(24-25高一下·广东·期中)(    ) A．0 B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量的加法的三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 【变式3-2】(23-24高一下·河南周口·月考)已知正方形ABCD的边长为2，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】向量的模、向量加法的法则 【分析】由向量的线性运算结合向量的模长概念即可求解. 【详解】. 故选：D. 【变式3-3】(23-24高一上·河北石家庄·期末)向量 (    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量加法法则的几何应用、向量加法的法则 【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由，故B正确. 故选：B. 【变式3-4】(22-23高一下·辽宁抚顺·期中)在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】直接利用向量的线性运算求出结果 【详解】在中，D是BC的中点，E是AD的中点， 则． 故选：C. 【变式3-5】(多选)(22-23高一下·河南南阳·月考)下列等式中成立的有(    ) A．； B．； C． D． 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的加法运算求解. 【详解】对于A, ，正确； 对于B，，正确； 对于C，,错误； 对于D，，正确， 故选:ABD. 【变式3-6】(22-23高一下·上海浦东新·月考)化简 . 【答案】【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量加法运算律计算即可. 【详解】. 故答案为： 题型04 向量的减法 【典例4-1】(24-25高一下·湖北·月考)(    ) A． B．0 C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 【典例4-2】(2025高一·全国·专题练习)化简： ； ． 【答案】 ； 【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】先根据向量加法的三角形法则，即首尾相连特性和代数运算，合并或抵消中间项即可得到第一个空的答案；再根据向量减法法则，共起点，差向量指向被减向量，然后利用相反向量把转化为，最后化简即可得到第二个空答案. 【详解】  ，． 故答案为： ； 【典例4-3】(多选)(24-25高一下·四川德阳·月考)下列关于向量的加、减运算的结果为的是(   ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用平面向量的加减法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：ABD. 【典例4-4】(25-26高一·全国·假期作业)化简： (1) ；(2) ． 【答案】 ；【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】(1)； (2). 故答案为：①；②. 【变式4-1】(24-25高一下·天津滨海新·期末)化简 的结果等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量加减法的运算法则逐步化简 【详解】计算：由向量加法的三角形法则， 处理：向量减法转化为加法，即 计算：再次应用三角形法则，；综上，化简结果为 故选：D. 【变式4-2】(24-25高一下·陕西渭南·期末)下列命题中一定正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【详解】因为，故A错误；因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 【变式4-3】(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知菱形的边长为1，，则(   ) A．1 B． C． D．2 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量的模、向量减法的法则 【分析】根据题意可得，结合向量的减法运算和模的定义求解. 【详解】如图：因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以. 故选：A 【变式4-4】(23-24高一下·四川绵阳·月考)化简(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】直接利用向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·河北承德·月考)如图，在正六边形中，下列说法正确的是(    ) A． B． C． D．向量与向量是平行向量 【答案】AD【难度】0.85【知识点】向量的模、平行向量(共线向量)、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由平面向量加、减法的运算，结合平行向量的定义以及向量模的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，，由正六边形的性质可知，即，故A正确； 对于B，设正六边形每条边长为，则 ，故B错误； 对于C，根据平行四边形法则有，与共线但方向相反，故C错误； 对于D，根据平行四边形法则有，与方向相同，故D正确. 故选：AD. 【变式4-6】(23-24高一下·上海奉贤·期中)四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】【难度】0.85【知识点】向量的模、向量加法及几何应用、向量减法的法则 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 一、单选题 1.(24-25高一下·贵州贵阳·月考)设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】根据正六边形的性质及向量线性运算可得解. 【详解】如图所示，易知点为，，的中点， 所以，，， 所以， 故选：D. 2.(2024高一下·全国·专题练习)已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】向量加法的法则 【分析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：C 3.(24-25高一下·宁夏固原·期末)在中，，，用，表示向量，正确的一组是(   ) A．， B．， C．， D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】应用加法的平行四边形法则及减法的三角形法则计算判断各个选项即可. 【详解】在中，，， 应用加法的平行四边形法则得， 应用减法的三角形法则得， 故选：A. 4.(24-25高一下·江西上饶·月考)如图，在正六边形中，(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 5.(22-23高一下·湖北咸宁·期末)如图，已知平面向量满足，则(    )    A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量加法的法则、平行向量(共线向量) 【分析】设，过分别作的平行线，不妨设，可得，进而可得答案. 【详解】设，过分别作的平行线，分别交于，如图， 不妨设， 所以， 则，从而， 故. 故选：A. 6.(23-24高一下·山东枣庄·月考)设单位向量，，，若，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量加法的法则、向量的模、相反向量 【分析】求出的最大值和最小值，可得出结果. 【详解】因为，，为单位向量， 所以，当且仅当、、方向都相同时，等号成立， 作，，， 当时，如下图所示： 以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且， 所以，为等边三角形，且， 又因为，，由图可知，，即， 综上所述，. 故选：A. 7.(2023高一·全国·课后作业)已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则(    ) A． B．2 C． D．1 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量的线性运算结合图形的性质分析求解. 【详解】在中，设，则， 因为，即，所以为等边三角形， 以为邻边作平行四边形，设交于点， 可得， 则， 因为，取的起点为， 可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为； 当点为线段与圆的交点时，的最小值为； 所以. 故选：A. 8.(23-24高一下·湖北·月考修改)平面内向量满足，，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】向量的模、向量减法的几何应用、向量与几何最值 【分析】用几何图形表示向量，构造相似三角形，表示出，利用三点共线求最小值. 【详解】，则有，如图，，， 延长至，使得， ，，则有，得， . 当三点共线且在线段上时，的最小值是. 故选：B 二、多选题 9.(23-24高一下·重庆·月考)如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD【难度】0.85【知识点】相等向量、向量加法的法则 【分析】由可得四边形是平行四边形，从而结合平行四边形的性质对选项逐一判断即可． 【详解】对A,由，四边形是平行四边形，所以，选项A正确； 对BD,平行四边形对角线与互相平分，得，，选项B错误，选项D正确； 对C,显然与相交，他们不是相等向量，选项C错误； 故选：AD 10.(22-23高一下·江苏扬州·期末)如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(    ).    A． B． C． D． 【答案】AC【难度】0.85【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误. 故选：AC 11.(21-22高三上·江苏苏州·月考)已知是平面内两两不相等的向量，满足，且(其中)，则实数k的值可能为(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】ABC【难度】0.4【知识点】向量的模、向量减法的法则、向量减法法则的几何应用 【分析】根据给定条件，利用向量减法的几何意义作出图形，确定的终点个数即可作答. 【详解】依题意，不妨令，，因，即，又， 则以的终点为圆心，作半径和的圆，两圆的公共点即为满足题意的，如图， 分别以点为圆心，半径均为的圆有两个公共点，半径均为的圆有两个公共点， 以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有一个公共点， 以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有一个公共点， 因此，符合条件的公共点最多6个，满足题意的最多6个，即的最大值为6. 故选：ABC 三、填空题 12.(24-25高一下·贵州六盘水·期末)已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则 ． 【答案】1【难度】0.85【知识点】向量的模、向量加法的法则 【分析】根据菱形的几何性质，由向量线性运算以及模长的概念，可得答案. 【详解】连接，由题意可得是边长为1的等边三角形，所以． 故答案为：. 13.(23-24高一下·湖南长沙·开学考试)已知边长为的正三角形的中心为，正方形的边长为，且线段与相交于点，则 . 【答案】【难度】0.65【知识点】向量的模、向量加法法则的几何应用 【分析】结合图形，利用向量的加减运算化简，再在正中求得，从而得解. 【详解】记中点为，连接，如图， 因为在正方形中，与相交于点，则是的中点， 所以，则， 在正中，，为的中心， 所以， 则. 故答案为：. 14.(23-24高一下·上海·期中)平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 . 【答案】6【难度】0.4【知识点】向量加法的法则 【分析】设为的重心，由重心性质可得，可得在以点为圆心，为半径的圆上面，设点与坐标原点重合，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【详解】设为的重心， 则， 因为，所以， 即在以点为圆心，为半径的圆上面， 设点与坐标原点重合， 则， 当且仅当都在线段上，等号成立， 又， 当且仅当在线段上面，且在线段上，在线段上等号成立， 综上所述，的最大值与最小值之和为6. 故答案为：6. 四、解答题 15.(24-25高一下·全国·课后作业)一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，；(2)求B地相对于A地的位移． 【答案】(1)答案见解析；(2)B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”．【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用、平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】(1)根据题意，直接画出向量图； (2)先得到四边形ABCD为平行四边形，即可得B地相对于A地的位移. 【详解】(1)向量，，，，如图所示： (2)由题意知．所以，且， 则四边形ABCD为平行四边形． 所以， 则B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 16.(22-23高一·全国·单元测试)如图所示，P，Q是的边BC上两点，且. 求证：. 【答案】证明见解析【难度】0.85【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】表示出，，相加结合已知，即可得出证明. 【详解】因为， ， 所以. 又因为，所以. 17.(23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试)已知，，，，求与的面积.    【答案】，面积为【难度】0.85【知识点】向量的模、向量减法的法则 【分析】先得△ABC是边长为2正三角形，求出，再求出其他各边长，求出三角形面积. 【详解】因为，， 所以△ABC是边长为2正三角形，， 根据题意可知四边形为菱形，所以OC⊥AB. 设AB与OC的交点为M，则， 故，，所以. 的面积 18.(23-24高一·上海·课堂例题)已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 【答案】证明见解析【难度】0.65【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】根据得出，进而得出，然后即可得出ABCD是平行四边形. 【详解】因为， 所以， 因为向量，，，， 所以， 即， 所以，且， 所以四边形ABCD是平行四边形. 19.(24-25高一上·上海·课后作业)对于非零实数a、b，有这样的结论：当时，成立；当时，成立.那么对于非零向量、，向量的模与、有类似的结论吗？请说明理由. 【答案】答案见解析【难度】0.65【知识点】向量的模、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】结合图形，当、不共线时，由三角形中两边之和大于第三边，两边之和小于第三边，可得；当、同向、当、反向时可得和. 【详解】当、不共线时有， 理由如下， 如图，设，以为邻边作一个平行四边形， 则， 在中，，， ，， 所以； 当、同向时有， 如上左图，设，， 因为，所以； 当、反向有， 如上右图，设，， 因为，所以. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1-2 向量的加减法 讲义 教学目标 理解向量加减法的运算法则及运算律，掌握平行四边形法则与三角形法则. 教学重点 平行四边形法则与三角形法则. 教学难点 向量加减法的应用. 知识点01 向量的加法 1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 2.向量加法的运算律： 交换律： 结合律： 3.多边形法则： 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即＋＋＋…＋An－1An＝， 特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 【即学即练1-1】(24-25高一下·甘肃定西·月考)如图，在平行四边形中，(    ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(24-25高一下·四川眉山·期中)已知平面四边形ABCD，则＋＋＝(   ) A． B． C． D． 知识点02 向量的减法 1.相反向量： 与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.记作. 2.向量减法的定义： 3. 向量减法的法则：三角形法则. 2.（当且仅当与方向方向相同时等号成立）. 【即学即练2-1】(24-25高一下·四川成都·月考)( ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·广东东莞·月考)下列四式可以化简为的是(    ) A． B． C． D． 题型01 平行四边形法则 【典例1-1】(24-25高一下·广东揭阳·月考)对于任意一个四边形，下列式子不能化简为的有(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】(24-25高一上·辽宁·期末)如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则(   ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(22-23高一下·广东佛山·月考)若平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论正确的是(    )． A． B． C． D． 【典例1-4】(23-24高一下·广东广州·期中)已知正方形的边长为2，则为 ． 【变式1-1】(24-25高一下·全国·课后作业)若在中，，，且，，则的形状是(    ) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-2】(22-23高一下·陕西西安·月考)若点O是的外心，且，则的内角C等于(    ) A． B． C． D． 【变式1-3】(2024高一下·全国·专题练习)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-4】(23-24高一下·甘肃定西·月考)在正六边形中，若，则(    ) A． B．2 C． D．4 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)下列说法错误的有(    ) A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则，，一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 【变式1-6】(24-25高一下·全国·课后作业)如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ；② ；③ ． 题型02 向量加法的三角形法则 【典例2-1】(24-25高一下·北京朝阳·期末)在平面四边形中，(   ) A． B． C． D． 【典例2-2】(25-26高一上·北京昌平·期末)如图，点为正六边形的中心，则(   ) A． B． C． D． 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·甘肃·月考)下列四个等式中，正确的是(    ) A． B． C． D． 【典例2-4】(23-24高一下·上海嘉定·期末) ． 【变式2-1】(24-25高一下·福建三明·期末)化简等于(   ) A． B． C． D． 【变式2-2】(24-25高一下·贵州贵阳·月考)向量 (  ) A． B． C． D． 【变式2-3】(22-23高一下·河南·月考)如图，在正六边形中，(    ) A． B． C． D． 【变式2-4】(22-23高一下·广东东莞·月考)化简的结果等于(    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(21-22高一下·江苏盐城·期中)给出下列四个结论，其中正确的结论是(    ) A．若线段，则向量 B．若向量，则线段 C．若向量与共线，则线段 D．若向量与反向共线，则 【变式2-6】(20-21高一下·云南保山·期末)如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为 ， .        题型03 向量加法的运算律 【典例3-1】(24-25高一下·江苏·月考)等于(    ) A． B． C． D． 【典例3-2】(23-24高一下·湖南邵阳·期中)在正六边形中，(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·山东潍坊·开学考试)对任意一个四边形，下列式子能化简为的是(    ) A． B． C． D． 【典例3-4】(23-24高一下·上海·期末)如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为： ．    【变式3-1】(24-25高一下·广东·期中)(    ) A．0 B． C． D． 【变式3-2】(23-24高一下·河南周口·月考)已知正方形ABCD的边长为2，则(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】(23-24高一上·河北石家庄·期末)向量 (    ) A． B． C． D． 【变式3-4】(22-23高一下·辽宁抚顺·期中)在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则(    ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(22-23高一下·河南南阳·月考)下列等式中成立的有(    ) A．； B．； C． D． 【变式3-6】(22-23高一下·上海浦东新·月考)化简 . 题型04 向量的减法 【典例4-1】(24-25高一下·湖北·月考)(    ) A． B．0 C． D． 【典例4-2】(2025高一·全国·专题练习)化简： ； ． 【典例4-3】(多选)(24-25高一下·四川德阳·月考)下列关于向量的加、减运算的结果为的是(   ) A． B． C． D． 【典例4-4】(25-26高一·全国·假期作业)化简： (1) ；(2) ． 【变式4-1】(24-25高一下·天津滨海新·期末)化简 的结果等于(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】(24-25高一下·陕西渭南·期末)下列命题中一定正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式4-3】(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知菱形的边长为1，，则(   ) A．1 B． C． D．2 【变式4-4】(23-24高一下·四川绵阳·月考)化简(   ) A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·河北承德·月考)如图，在正六边形中，下列说法正确的是(    ) A． B． C． D．向量与向量是平行向量 【变式4-6】(23-24高一下·上海奉贤·期中)四边形为菱形，其中，，则 . 一、单选题 1.(24-25高一下·贵州贵阳·月考)设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则(   ) A． B． C． D． 2.(2024高一下·全国·专题练习)已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是(    ) A． B． C． D． 3.(24-25高一下·宁夏固原·期末)在中，，，用，表示向量，正确的一组是(   ) A．， B．， C．， D． 4.(24-25高一下·江西上饶·月考)如图，在正六边形中，(   ) A． B． C． D． 5.(22-23高一下·湖北咸宁·期末)如图，已知平面向量满足，则(    ) A． B． C． D． 6.(23-24高一下·山东枣庄·月考)设单位向量，，，若，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 7.(2023高一·全国·课后作业)已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则(    ) A． B．2 C． D．1 8.(23-24高一下·湖北·月考修改)平面内向量满足，，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(23-24高一下·重庆·月考)如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 10.(22-23高一下·江苏扬州·期末)如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(    ). A． B． C． D． 11.(21-22高三上·江苏苏州·月考)已知是平面内两两不相等的向量，满足，且(其中)，则实数k的值可能为(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 三、填空题 12.(24-25高一下·贵州六盘水·期末)已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则 ． 13.(23-24高一下·湖南长沙·开学考试)已知边长为的正三角形的中心为，正方形的边长为，且线段与相交于点，则 . 14.(23-24高一下·上海·期中)平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 . 四、解答题 15.(24-25高一下·全国·课后作业)一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，；(2)求B地相对于A地的位移． 16.(22-23高一·全国·单元测试)如图所示，P，Q是的边BC上两点，且. 求证：. 17.(23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试)已知，，，，求与的面积.    18.(23-24高一·上海·课堂例题)已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 19.(24-25高一上·上海·课后作业)对于非零实数a、b，有这样的结论：当时，成立；当时，成立.那么对于非零向量、，向量的模与、有类似的结论吗？请说明理由. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1-2向量的加减法讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01平行四边形法则 1-2向量的加减法 题型02向量加法的三角形法则 知识点01向量的加法 题型03向量加法的运算律 题型04向量的减法 知识点02向量的减法 教学目标、教学重难点 教学目标 理解向量加减法的运算法则及运算律，掌握平行四边形法则与三角形法则 教学重点 平行四边形法则与三角形法则 教学难点 向量加减法的应用。 知识清单 知识点01向量的加法 1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则. atb a AB+B元=AG 0A+0B=0C 2.向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+d 结合律：a+b+)=(a+b+c 3.多边形法则： 般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即A42十A4A3十AA4十..十Am-4n=A4, 特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量。 【即学即练1-1】(24-25高一下甘肃定西·月考)如图，在平行四边形ABCD中，AB+AD=() B A.BD B.CD C.BC D.AC 第1页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练1-2】(24-25高一下·四川眉山·期中)已知平面四边形ABCD,则AB+BC+CD=() A.AD B.BD C.AC D.0 知识点02向量的减法 1.相反向量： 与长度相等，方向相反的向量叫做d的相反向量.记作-a. 2.向量减法的定义： a-i=a+(-) 3.向量减法的法则：三角形法则. a A a-b 0A-OB=BA 2.-例≤a+≤同+回（当且仅当与方向方向相同时等号成立）， 【即学即练2-1】(24-25高一下.四川成都月考)AB+BC-DC=() A.AB B.DA C.AD D.BA 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下广东东莞·月考)下列四式可以化简为PQ的是()】 A.AB+(PA+BQ) B.(AB +PC)+BA-QC) C.QC+C0-OP D.PA+AB-BQ 题型精讲 题型01平行四边形法则 凰典例1-1】(24-25高一下.广东揭阳月考)对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为BC的有() A.BA+AD+DC B.BD+DA+AC C.AB+BD+DC D.DC+BA+AD 【典例1-21(24-25高一上辽宁.期末)如图，在平行四边形ABCD中，0为对角线的交点，则A0+0B+AD=() D A.AC B.AD C.BD D.0 第2页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1-3】（多选）22-23高一下，广东佛山·月考)若平行四边形MNPQ的对角线MP与NQ相交于点O,则下列 结论正确的是() A.MN=PO B.MP=-20M C.MP-MN+MQ D.QN -MN-MQ 【典例1-4】(23-24高一下广东广州期中)已知正方形ABCD的边长为2，则AE+AD为一· 【变式1-1】(24-25高一下.全国课后作业)若在△ABC中，AB-a,BC=万，且==1，反+=√2， 则△ABC的形状是() A.正三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形 【变式1-2】(22-23高一下.陕西西安月考)若点O是△ABC的外心，且0A+0B+C0=0,则△ABC的内角 C等于() A.120° B.90° C.60° D.45° 【变式1-32024高一下.全国专题练习)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则0P+00=() E A.OE B.OF C.OG D.OH 《变式1-4】(23-24高一下·甘肃定西·月考)在正六边形ABCDEF中，若AB=2,则AB+AF+CD=() A.2V3 B.2 C.4v3 D.4 【变式1-5】（多选）(24-25高一下·全国.课后作业)下列说法错误的有() A.如果非零向量与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与或b的方向相同 B.若向量a,方向相反，且a>>0,则向量石+b的方向与向量的方向相反 C.若AB+BC+CA=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点 D.若d,均为非零向量，则a+=+ 【变式1-6】(24-25高一下.全国课后作业)如图，在正六边形AB-CDEF中，0是其中心.则： 第3页共10页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①AB+CD= ②AB+AF+BC= ③0元+0D+EF= 题型02向量加法的三角形法则 凰典例2-1】(24-25高一下，北京朝阳期末)在平面四边形ABCD中，AB+BC=() A.CA B.DB C.BD D.AC 【典例2-2】(25-26高一上北京昌平期末)如图，点0为正六边形ABCDEF的中心，则OA+B0=() A.OC B.OD C.OE D.OF 【典例2-3】（多选）22-23高一下甘肃·月考)下列四个等式中，正确的是() A.a+b=b+a B.-(-a)=a C.AB+BC+CA=0 D.a+(-)=0 【典例2-4】(23-24高一下.上海嘉定·期末)AB+BA=_ 【变式2-1】(24-25高一下福建三明期末)化简A正+EB+BC等于() A.AB B.CE C.AC D.BE 〖变式2-2】(24-25高一下·贵州贵阳·月考)向量AB+B0+OM+MB+BC=() A.AC B.AB C.BC D.AM 【变式2-3】(22-23高一下·河南·月考)如图，在正六边形ABCDEF中，AC=() A.AB-2AF B.AB+2AF C.2AB+AF D.2AB+2AF 【变式2-4】(22-23高一下广东东莞·月考)化简0p+P了+SQ的结果等于() A.QP B.00 C.SP D.30 第4页共10页 丽学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【变式2-5】（多选）21-22高一下江苏盐城期中)给出下列四个结论，其中正确的结论是() A.若线段AC=AB+BC,则向量AC=AB+BC B.若向量AC=AB+BC,则线段AC=AB+BC C.若向量AB与BC共线，则线段AC=AB+BC D.若向量AB与BC反向共线，则AB+CB引=AB+BC 凰变式2-6】(20-21高一下·云南保山期末)如图，在重100N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别 为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为 题型03向量加法的运算律 【典例3-1】(24-25高一下江苏·月考)AB+B0+0M等于() A.BC B.AB C.AC D.AM 【典例3-2】(23-24高一下·湖南邵阳期中)在正六边形ABCDEF中，AF+ED+FE=() A.AC B.AF C.AE D.AD 《典例3-3（多选）24-25高一下.山东潍坊·开学考试)对任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为BC的是() A.BA+AD+DC B.BD+DA+AC C.AB+BD+DC D.DC+BA+AD 【典例34】(23-24高一下.上海期末)如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线MN的中点， 0为对角线AC与BD的交点，用OA,OB,OC,OD的线性组合表示向量0C为：OC=, 】 4 G B 【变式31】(24-25高一下.广东.期中)AB+CA+BC=() A.0 B.可 C.2CA D.2BC 【变式32】(23-24高一下河南周口·月考)已知正方形ABCD的边长为2，则1AB+BC+AC1=() A.V2 B.2W2 C.3V2 D.4V2 第5页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式33】(23-24高一上河北石家庄·期末)向量AB+(OM+B0)+MB=() A.B元B.ABC.ACD.AM 凰变式3-4】(22-23高一下，辽宁抚顺期中)在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则BE=() A.BA+BC B.3BA+BC C.BA+BC D.BA+BC 【变式35】（多选22-23高一下河南南阳·月考）下列等式中成立的有() A.AB+BA=0: B.AC=DC+AB+BD; C.0A+AC-A0+CO=0 D.AB+CA+BD+DC=0 【变式36】(22-23高一下.上海浦东新·月考)化简A正+EB+BC=一 题型04向量的减法 【典例41】(24-25高一下湖北月考)AB-AD+BC-DC=(） A.2BD B.0 C.BD D.0 【典例42】(2025高一全国.专题练习)化简：AB+CB+B0+0C=;AD-AB-BC+DC= 【典例43】（多选）24-25高一下四川德阳·月考)下列关于向量的加、减运算的结果为0的是() A.OA-OD+AD B.AB-AC+BD-CD C.AB-(BC-AC) D.NO-PO+MN-MP 【典例44】(25-26高一全国假期作业)化简： (1)AB-B0）+B0+0M= :(2)NQ+QP+MN+PM= 《变式41】(24-25高一下·天津滨海新期末)化简0P+P-0Q的结果等于() A.SP B.QP C.SQ D.QS 【变式42】(24-25高一下陕西渭南期末)下列命题中一定正确的是() A.OA-OB=AB B.AB+BA=0 C.0-AB=0 D.AB+BC+CA=可 I变式43】(24-25高一下贵州遵义月考)已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，则AB-AD=() A.1 B.2 c.3 D.2 第6页共10页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式44】(23-24高一下四川绵阳·月考)化简AB-MC+(MA+B=() A.0 B.CN C.BM D.AC 【变式45】（多选）24-25高一下河北承德·月考)如图，在正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是() A.BF+BC=BF-BC B.AF FE=CB-CD C.AB+AF=CB D.向量AB+AF与向量AD是平行向量 D I变式46】(23-24高一下.上海奉贤期中)四边形ABCD为菱形，其中LABC=120°，AB=1,则 BC-DC 强化训练 一、单选题 1.(24-25高一下，贵州贵阳·月考)设M是正六边形ABCDEF中AD,BE,CF的交点，O为正六边形ABCDEF所在 平面内任意一点，则0A+0B+0C+0D+0E+0F=() A.30M B.40M c.50M D.60M 2.(2024高一下·全国·专题练习)己知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是() A.AB+BC=CA B.AB+AC=BC C.AC+BA=AD D.AC+AD=DC 3.(24-25高一下宁夏固原·期末)在口ABCD中，AB=d,AD=万，用d,b表示向量AC,DB正确的一组是() A.AC=d+B,DB=a-b B.AC=a-b,DB=a+b C.AC=b-a,DB=a+b D.AC=d+b,DB=b-a 4.(24-25高一下·江西上饶·月考)如图，在正六边形ABCDEF中，AC=() A.2AB+AF B.AB-2AF C.2AB+2AF D.AB+2AF 第7页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(22-23高一下.湖北减宁.期末)如图，已知平面向量0A0B0C满足10A=10=10C,(OA,0B)= 120°，0B10C,则) A.20A+0B+V30C=0 B.0A+20B+V30元=可 C.20A+30B+0元=可 D.V30A+20B+0元=d B 0 6.(23-24高一下山东枣庄·月考)设单位向量a,万，c,若节=a+b+元，则列的取值范围为)） A.[0,3] B.[0,2] c.[0,1] D.[1,2] 7.(2023高一·全国课后作业)已知向量a,b,c,满足同=b1=a-b1=a+b-=1,记的最大值为M, 最小值为m,则M+m=() A.2V3 B.2 C.3 D.1 8.(23-24高一下湖北月考修改)平面内向量a,b,c满足=d=2=2,a1b,则后-+2b-的最小 值是() A.2 B.2√5 C.2v5 D.26 二、多选题 9.(23-24高一下·重庆·月考)如图，在四边形ABCD中，若AB=DC,则图中相等的向量是() A.AD与BC B.OB与OD C.AC与BD D.A0与0C 10.(22-23高一下·江苏扬州期末)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是CD边上的两个三等分点，则下列 选项正确的有(). A.EF-AB B.BE=CB-CE C.AC=AB+AD D.AF=Ad+号AC 11.(21-22高三上江苏苏州·月考)己知a,2,b1,b2,,b(k∈N)是平面内两两不相等的向量，满足|-2= 1,且|a-万∈{1,2其中i=1,2,j=1,2,,k),则实数k的值可能为) A.2 B.4 C.6 D.8 第8页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、填空题 12.(24-25高一下.贵州六盘水期末)已知四边形ABCD是边长为1的菱形，LA=,则B万+BC=一· 13.(23-24高一下·湖南长沙.开学考试)已知边长为2W3的正三角形ABC的中心为0，正方形MNPQ的边长为V2, 且线段MP与NQ相交于点O,则BM+C|=一· 14.(23-24高一下.上海·期中)平面内互不重合的点A1、A2、A3、B1、B2、B3、B4,若A1B:+A2B:+A3B=i, i=1,2,3,4,则B1B2+|B2B3|+|B3B4的最大值与最小值之和为 四、解答题 15.(24-25高一下·全国·课后作业)一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2km 到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2km才到达B 地， (1)在如图所示的坐标系中画出AD,DC,CB,AB;(2)求B地相对于A地的位移， 北个 西 东 南 16.(22-23高一全国，单元测试)如图所示，P,Q是△ABC的边BC上两点，且BP+C0=0 求证：AP+AQ=AB+AC. 第9页共10页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 17.(23-24高一下辽宁抚顺开学考试)已知0A=a,0B=b,1同==2，∠A0B=60°，求a-与△0BC 的面积. B 6 六6 18.(23-24高一·上海·课堂例题)已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量0A=a,0E=b,0C=c, OD=d,且d+=b+d.求证：ABCD是平行四边形. 19.(24-25高一上·上海课后作业)对于非零实数a、b,有这样的结论：当ab>0时，1a+bl=|a+1b成立； 当ab<0时，Ia+b=川ad-bl成立.那么对于非零向量a、b,向量a+b的模a+b与a+、a-b刚 有类似的结论吗？请说明理由. 第10页共10页