精品解析：贵州省毕节市2025-2026学年高二第一学期高中期末质量监测数学试题

贵州省毕节市2025-2026学年高二第一学期高中期末质量监测数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3.本卷命题范围：人教版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方程易得斜率，进而可得倾斜角． 【详解】由题意可得直线的斜率， 即，因为， 故， 故选：B． 2. 在等比数列中，，则（ ） A. -4 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项公式计算. 【详解】等比数列，满足， 即，解得. 故选：C 3. 平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义进行求解. 【详解】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则， 方程为：. 故选：D 4. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的公式计算. 【详解】由投影向量的公式，在上的投影向量为. 故选：A 5. 过原点且与圆相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分直线斜率是否存在，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】圆的圆心是，半径为. 直线过原点，且斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离是，此时直线和圆不相切，故直线斜率不存在时无法成立； 当斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离为，解得， 即，即. 故选：C 6. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2278 D. 2279 【答案】D 【解析】 【分析】根据计算和观察可知新数列的周期为8，计算得结果. 【详解】写出该数列被除后的余数构成的数列：， 所以是以为周期的周期数列，周期内的余数为，且和为， 在前项中，有个完整周期余项， 所以的前项的和为. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以原点为圆心，为半径作圆，与双曲线在第一、三象限分别交于A、B两点.若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆的半径为确定点坐标满足的方程，再结合双曲线方程求出点纵坐标，最后通过四边形面积公式建立与的关系，从而求得离心率. 【详解】已知双曲线的焦距为，则圆的方程为. 联立双曲线方程与圆的方程，消去得： 又因为，所以，故点纵坐标为. 四边形为平行四边形，面积为. 由题意，即. 又，故离心率. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等差数列中，，记公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 当时，最大 【答案】AD 【解析】 【分析】借助与的关系及等差数列性质计算可得A；计算出数列的公差后利用即可判断B；利用等差数列基本量的运算判断C；分析可得当时，；当时，，进而判断D. 【详解】对A：， 所以，又，所以，故A正确； 对B：因为，所以，故B错误； 对C：由B可知， ，所以，故C错误； 对D：因为，， 所以当时，；当时，， 所以当时，最大，故D正确. 故选：AD 10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算判断AB；建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解判断C；利用空间向量法求出点面距判断D. 【详解】对于A，因为E，F分别为棱的中点，所以， 所以，A正确； 对于B，，B正确； 正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系： 则， 对于C， 因为， 所以，故，C错误； 对于D，，，设平面的法向量为， 则，令，故可得， 又，因此点到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点为F，P为上的一动点，且的最小值为1.过点作直线，交抛物线于A，B两点（点在第一象限），为的准线，，垂足为，为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 准线的方程为 B. 若，则 C. 若线段AB中点的纵坐标为2，则直线的方程为 D. 若，则直线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由最小值为1，得，然后求准线.选项B，由求坐标，联立得弦长. 选项C，设直线，联立得，代入中点纵坐标，得. 选项D，由 得，坐标的关系，结合韦达定理求. 【详解】抛物线的焦点为，准线， 由抛物线定义，，当时，最小，最小值为， 已知最小值为1，故，即. 因此，抛物线方程为，焦点，准线. 选项A，准线的方程为，选项A正确. 选项B，设，，，， ，，， 代入抛物线方程：，解得，即， 直线斜率，方程为， 联立，得，即， 解得，. 由抛物线焦点弦公式，，选项B错误. 选项C，设直线方程为(斜率不为0时)，联立，得， 设，，则， 中点纵坐标为2，故，即，解得， 直线方程为，即，选项C正确. 选项D，由，得，即， 由选项C知，，， 由，得，代入，得， 解得， 因在第一象限，所以，， 则， 解得， 直线方程为，即，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据截距的概念和两直线平行的性质，设出直线方程，根据截距求出参数，求出结果即可. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 在轴上的截距为5，即当时，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 13. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图所示，两条平行于轴的入射光线分别经抛物线上的P，Q两点反射后，两条反射光线又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线之间的距离为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意先求出点的坐标，然后求出直线的方程，然后分别与抛物线联立，求出点的坐标，进而得到两条反射光线的方程，从而求得结果. 【详解】分别联立直线与抛物线方程可得，和. 所以，因为抛物线焦点坐标为. 所以直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 所以根据抛物线的对称性可得. 联立直线的方程与抛物线方程得，解得或. 所以，因为两条反射光线沿平行于轴的方向射出， 所以直线的方程为，直线的方程为， 所以两条反射光线之间的距离为2. 故答案为：2. 14. 已知在正四棱锥中，在底面ABCD内，底面ABCD，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出内切球球心位置以及半径，取中点，由极化恒等式，则当共线且按此顺序排列时，取得最小值，即可求出的最小值. 【详解】如图，由可得，则， 取中点分别为，则，， 则，同理， 则三角形为正三角形， 由对称性，正三角形的内切圆绕转一圈即可得到正四棱锥的内切球， 设正三角形中心为，可得， 取中点，则， 由余弦定理可得， ， 当共线且按此顺序排列时，， 则的最小值为. 故答案为; . 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆有两个交点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，进而求出圆心和半径即可； （2）根据圆心距和半径的关系计算. 【小问1详解】 两点的中点为，所在直线的斜率为， 则线段的中垂线的方程为，即， 联立，得，则圆心为，半径为， 则圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意可知，圆和圆相交， 因为，所以，得， 故的取值范围为. 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长为4，Q为双曲线上任意一点. （1）求双曲线的方程； （2）求证：点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值. 【答案】（1） （2） 证明：因为由（1）知，双曲线的方程为， 所以两条渐近线方程为 和，即和. 由于Q为双曲线上任意一点，所以设， 则点到两条渐近线和的距离分别为. 所以，因为满足， 即，所以. 所以点到两条渐近线的距离之积为定值，定值为. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和虚轴长求出，进而得到双曲线的方程. （2）先列出双曲线渐近线方程，然后根据点到直线距离公式分别求出，然后将两者相乘并化简，进而可证明结论. 【小问1详解】 因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，所以，因为其虚轴长为4，即解得. 所以，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值. 【答案】（1） 由题知，平面平面， 又平面平面，平面，又， 根据面面垂直的性质定理，平面， 又平面，则， 又，平面，， 根据线面垂直的判定定理，平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质先推知平面，从而，结合题干可得证明； （2）根据二面角的定义用几何法作出来，然后求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取中点，连接， 由中位线性质可知，，又，则； 由于平面，平面，则， 又，且点是边的中点， 则分别为直角三角形斜边上的中线， 则， 又，则， 则是平面与平面夹角. 又， 可求得，， 由中位线可知，则，则， 故二面角的正弦值为 18. 已知数列的前项和为，且，正项等比数列满足，且. （1）求数列和的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，证明：； （3）已知，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2） ， 则. （3） 【解析】 【分析】（1）降次作差得，再验证即可得到，再利用等比数列性质得到，从而得到其通项公式； （2）变形得，再裂项求和即可证明； （3）写出，再利用错位相减法即可得到答案. 【小问1详解】 当时，， 当时，，适合上式，则. 设正项等比数列的公比为，因为， 则，解得，又因为，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设数列的前项和为， 则， 则， 作差得 则. 19. 法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； （3）若A，B是椭圆上的两动点（A，B两点不关于轴对称），为坐标原点，OA，OB的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）由题干所给蒙日圆，结合椭圆离心率，建立方程求解即可； （2）设椭圆上两点关于直线对称，中点为 ，点差法求出，由在椭圆内部，求出的范围即可； （3）设，表示出直线，到的距离，则可表示出，平方之后代入，以及椭圆方程，化简为，要使得与无关，则可得分子分母对应系数成比例，求得以及定值. 【小问1详解】 由题意，解得， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆上两点关于直线对称，中点为 ， 则斜率为， 由点差法：两式相减得， 代入，得, 由于在上，故， 联立得， 在椭圆内部，代入椭圆不等式：， 解得. 【小问3详解】 设，满足，即， 联立得，， 由于直线：，则到的距离， 则 平方得， 代入以及， 整理得 ， 要使得与无关，则，得， 代入得，则. 所以存在使得时，的面积为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省毕节市2025-2026学年高二第一学期高中期末质量监测数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3.本卷命题范围：人教版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，则（ ） A. -4 B. 4 C. D. 3. 平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 过原点且与圆相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2278 D. 2279 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以原点为圆心，为半径作圆，与双曲线在第一、三象限分别交于A、B两点.若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等差数列中，，记公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 当时，最大 10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 点到平面的距离为 11. 已知抛物线的焦点为F，P为上的一动点，且的最小值为1.过点作直线，交抛物线于A，B两点（点在第一象限），为的准线，，垂足为，为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 准线的方程为 B. 若，则 C. 若线段AB中点的纵坐标为2，则直线的方程为 D. 若，则直线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 13. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图所示，两条平行于轴的入射光线分别经抛物线上的P，Q两点反射后，两条反射光线又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线之间的距离为__________． 14. 已知在正四棱锥中，在底面ABCD内，底面ABCD，点是该正四棱锥内切球球面上的动点，若，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若圆与圆有两个交点，求的取值范围. 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长为4，Q为双曲线上任意一点. （1）求双曲线的方程； （2）求证：点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值. 18. 已知数列的前项和为，且，正项等比数列满足，且. （1）求数列和的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，证明：； （3）已知，求数列的前项和. 19. 法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上有两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； （3）若A，B是椭圆上的两动点（A，B两点不关于轴对称），为坐标原点，OA，OB的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $