精品解析：山东省德州市部分校2026-2027学年高三上学期9月联考数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角恒等变换． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则的极值点为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一盏路灯（视为一个质点）安装在高为米的杆子顶端，地面上某点的光照强度（且为常数），其中是路灯到地面该点的距离，是路灯照射到该点的光线与水平面的夹角．现有一个距离杆子底部水平距离为2米的点，若要使点的光照最强，则路灯杆子的高度应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. 有极大值，且极大值大于 C. 的单调递增区间为 D. 不等式的解集为 11. 已知函数满足，，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最小值为________． 13. 函数的值域为_______． 14. 如图，已知，，，，分别为曲线：，：，：，：上的点．若满足题意的正方形有且仅有一个，则正方形的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围． 17. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边经过点．线段绕着坐标原点逆时针旋转角后得到线段，设点，其中． （1）当时，求的值； （2）若点与点关于直线对称，试用表示，并求的值； （3）求的最大值． 18. 已知函数的图象关于点对称． （1）求的值； （2）若函数在上单调，求的取值范围． （3）若函数，试问是否存在，使得在上的值域为？ 19. 若函数对定义域内的任意，满足恒成立，则称是上确界为1的原导积函数．若函数对定义域内的任意，满足恒成立，则称是下确界为1的原导积函数． （1）试问函数是否是上确界为1的原导积函数？请说明理由． （2）若定义在上的函数是下确界为1的原导积函数，求正数的取值范围． （3）已知单调递增函数既是上确界为1的原导积函数，又是下确界为1的原导积函数． 设函数，且． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）对任意，不等式（且）恒成立，其中求的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角恒等变换． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，， 则，所以. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则，不能推出； 若，则，所以； 所以“”是“”的必要不充分条件. 4. 已知函数，则的极值点为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求确定，再令得可能极值点，最后由单调性确定极值点. 【详解】 对函数求导得：， 则，化简可得：， 求解得：，所以， 因为定义域为，所以令，解得， 当 ，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以是函数的极值点. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】利用对数公式：， 对数相等，底数相同，则真数相等：， 而，所以， ， 即. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】设函数和. 函数的零点个数就是函数和的交点个数. 在同一坐标系内作出函数和的图象，如图， 可知两函数的图象有4个交点，故函数有4个零点. 7. 已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知不等式的解集是，结合二次不等式的恒成立问题以及二次方程的根分析求解即可. 【详解】对于不等式，即， 且，可得，等价于， 由题意可知：不等式的解集是， 若，则， 当时，二次函数开口向下，而函数开口向上，结合图象可知不等式解集不可能为， 则， 当时，则不等式为，当时，不等式不成立，故解集不可能为，不合题意； 当时，因为时，则符合题意的有下列两种情况： ①在上恒成立，则， 即，解得或（舍去）； ②有且仅有1个实数根，且实数根在上， 则，解得或（舍去）； 此时方程的根为，符合题意； 综上所述：的取值范围是. 8. 一盏路灯（视为一个质点）安装在高为米的杆子顶端，地面上某点的光照强度（且为常数），其中是路灯到地面该点的距离，是路灯照射到该点的光线与水平面的夹角．现有一个距离杆子底部水平距离为2米的点，若要使点的光照最强，则路灯杆子的高度应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形边角关系，将光照强度转化为关于杆高的函数；对目标函数求导，通过导数符号判断函数单调性，找到函数取得最大值对应的值，即为所求路灯杆的高度. 【详解】如图所示：由题意得，由勾股定理得，则其中， 根据商的导数运算法则，令，，则，， 所以，令得（舍去）或. 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 因此，当时，取得最大值，即点光照最强. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】A选项：由得，则，故选项A正确； B选项：当，时，，，此时，故选项B错误； C选项：由得，则，即，故选项C错误； D选项：由得，则，即，故选项D正确. 10. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. 有极大值，且极大值大于 C. 的单调递增区间为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据极值处的导函数值等于0可得，并代入判断单调性和极值，即可判断ABC；可证，当且仅当时，等号成立，分类讨论解不等式即可判断D. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 因为函数在处取得极值，则， 若，则，， 令，解得；令，解得或； 可知函数在内单调递增，在，内单调递减， 则函数在处取得极小值，在处取得极大值， 即符合题意，故A错误，BC正确； 对于选项D：令，则， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则，当且仅当时，等号成立， 不等式即为， 若，则，可知，不合题意； 若，则，可得，则； 综上所述：不等式的解集为，故D正确. 11. 已知函数满足，，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AB 【解析】 【分析】分别令和，可求函数的解析式，再利用函数解析式，对各选项逐一判断即可. 【详解】令，可得， 即①， 再令，可得， 即②. 由①②得：，即. 因为上式对恒成立，所以. 对A，，，所以，故A正确； 对B，易知函数为偶函数，故，故B正确； 对C，对，，故C错误； 对D，若，，则是以为周期的周期函数，而的图象是开口向上的抛物线，不具有周期性，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当，即时等号成立， 此时取最小值为. 13. 函数的值域为_______． 【答案】 【解析】 【详解】， 令，， 即，， 变形得：， 在增大时，增大，减小，单调递增， 当时，， 当时，， 故的取值范围为：. 14. 如图，已知，，，，分别为曲线：，：，：，：上的点．若满足题意的正方形有且仅有一个，则正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，根据正方形的性质及图中曲线的对称性，表示出的坐标，并可得，由正方形的唯一性，可得方程有唯一解，即与的图象有唯一交点，即是的切线，从而得到的值，并求得正方形的面积. 【详解】设点， 由曲线及正方形的对称性知均平行于轴，均平行于轴. 且. 由，得， 即. 因为满足题意的正方形有且仅有一个，所以方程有唯一解. 即与的图象有唯一交点， 即是的切线，且切点为. 所以，即， 所以，， 所以正方形的面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将k值代入原式中，然后分别求出集合A和集合B中的不等式再取交集； （2）对集合B是否为空集进行分类讨论分别求出k的范围再取并集. 【小问1详解】 由，解得或，所以． 若，则， 所以． 【小问2详解】 当时，，解得，符合题意． 当时，若，即，则，符合题意； 若，即，则，则且，解得，符合题意． 综上，的取值范围为． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求导判断的单调性，求出的最大值，令，求出答案. 【小问1详解】 由题意得，则． 由， 得所求切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，且最大值为， 因为恒成立，所以恒成立． 因为，所以恒成立，则，即. 故的取值范围为. 17. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边经过点．线段绕着坐标原点逆时针旋转角后得到线段，设点，其中． （1）当时，求的值； （2）若点与点关于直线对称，试用表示，并求的值； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【小问1详解】 由题意得，，， 则，， . 【小问2详解】 根据题意可得，所以． 由（1）可得，，， ， ， 所以， ． 【小问3详解】 由题意得，， 所以， 其中，， 当时，取得最大值. 18. 已知函数的图象关于点对称． （1）求的值； （2）若函数在上单调，求的取值范围． （3）若函数，试问是否存在，使得在上的值域为？ 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据对称性的定义得出，结合对数的运算可得出的值，检验即可； （2）使用对数型复合函数单调性的性质求解； （3）假设存在，使得在上的值域为，因为在上单调递增，所以，将问题转化为一元二次方程根求解． 【小问1详解】 因为的图象关于点对称，所以， 即，即，即， 所以，解得， 当时，，此时函数的定义域为，不符合题意. 经检验，符合题意. 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）得． 由可得或，即函数的定义域为， 因为函数在和上单调递增，在上单调递增， 所以在和上单调递增． 若在上单调递增，则或， 解得或或； 若在上单调递减，则或， 解得． 故的取值范围为． 【小问3详解】 假设存在，使得在上的值域为． 因为在上单调递增，所以，即， 所以， 即、是关于的方程的两个不相等的实数根． 由，，，得，，所以， 所以关于的方程有两个大于的不等实根， 所以，解得． 故存在符合题意的，且的取值范围为． 19. 若函数对定义域内的任意，满足恒成立，则称是上确界为1的原导积函数．若函数对定义域内的任意，满足恒成立，则称是下确界为1的原导积函数． （1）试问函数是否是上确界为1的原导积函数？请说明理由． （2）若定义在上的函数是下确界为1的原导积函数，求正数的取值范围． （3）已知单调递增函数既是上确界为1的原导积函数，又是下确界为1的原导积函数． 设函数，且． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）对任意，不等式（且）恒成立，其中求的取值集合． 【答案】（1）由题意得．设，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以，所以是上确界为1的原导积函数． （2） （3）（ⅰ）（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用导数分析的单调性求解； （2）令，通过导数分析的单调性求解； （3）（ⅰ）通过上确界函数与下确界函数的定义分析的取值求解； （ⅱ）由（ⅰ）得，则，，两边取对数，将问题转化为在上恒成立，构造函数，对分类讨论，使用导数求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则． 设，则． 因为，所以，所以在上单调递增，则． 因为是下确界为1的原导积函数，所以， 解得或．因为，所以正数的取值范围为． 【小问3详解】 （ⅰ）因为既是上确界为1的原导积函数，又是下确界为1的原导积函数， 所以且，得， 则，所以为常数函数．因为，所以， 所以． 因为是单调递增函数，所以． （ⅱ）由（ⅰ）得．当时，；当时，．所以，． 两边取对数，得，即在上恒成立． 设，，则． 当时，，则在上单调递减． 因为，所以不符合题意． 当时，设，，则在上单调递减． 因为，且函数在上的值域为，所以，． 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减．所以． 因为，所以，所以． 令，则，． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以． 又因为，所以． 此时，解得，所以的取值集合为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $