精品解析：广东省深圳市2026届高三上学期1月数学阶段性训练题

2026年1月份高三年级阶段性训练题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知复数，则（ ） A. 的实部大于的实部 B. 为纯虚数 C. 的虚部小于的虚部 D. 3. 展开式中的系数是（ ） A. -8 B. 24 C. -24 D. 16 4. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（ ） A. B. 直线与相切 C. 的准线方程为 D. 7. 已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（ ） A. B. 是直角三角形 C. D. 是钝角三角形 8. 函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标记作，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 的极小值点为1 D. 的极大值点为 10. 已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（ ） A. 正三棱锥与圆柱的体积的比值为 B. 正三棱锥与圆柱的侧面积的比值小于 C. 正三棱锥外接球的体积与圆柱外接球的体积相等 D. 正三棱锥的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，是上三点，且的重心为，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 到的两条渐近线的距离之积为 C. 若直线的斜率之积为，则关于原点对称 D. 若直线过点，且在轴两侧，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________． 13. 某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从名教师中选若干人在天假期值班（每天只需人值班），同一人不能连续值班天，则可能的安排方法有___________种． 14. 数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若为上的偶函数，求的值； （3）将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有最小值，无最大值，求的取值范围. 16. 已知函数（，a为常数） （1）若，求的单调区间； （2）若是的极大值点，求a的取值范围 17. 经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表： 组名 A B C D E 年龄 人数 20 120 100 40 20 （1）用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为，E组的人数为.设，求的分布列和期望； （2）年龄在上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？ 18. 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在棱上是否存在一点，使得二面角正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点. （ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. （ⅱ）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月份高三年级阶段性训练题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，再根据集合交集及子集个数公式求解即可. 【详解】由题知， 所以，所以的子集个数有个. 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. 的实部大于的实部 B. 为纯虚数 C. 的虚部小于的虚部 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念、复数的乘法运算一一判定即可. 【详解】对于A选项：的实部2小于的实部3，A错误； 对于B选项：，不是纯虚数，B错误； 对于C选项：的虚部大于的虚部，C错误； 对于D选项：，D正确. 故选：D. 3. 展开式中的系数是（ ） A. -8 B. 24 C. -24 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理结合多项式乘多项式的法则即可求解. 【详解】展开式中的系数为，的系数为， 所以展开式中的系数是. 故选：D 4. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解. 【详解】因为， 所以， 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 则，所以+148. 故答案为：A 5. 已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出函数周期为4，根据的解析式，结合对数恒等式即可求解． 【详解】因为为偶函数，所以，所以， 又是奇函数，则，所以. 所以是周期为4的周期函数，又因为 所以. 故选：A. 6. 已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（ ） A. B. 直线与相切 C. 的准线方程为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，在直线上得到，，再应用弦长公式计算判断A，C；利用抛物线的定义求出判断D，；联立方程组应用判别式判断B. 【详解】直线方程为，设， 由得，，， 因为，所以或，又因为，所以，A不正确； 的准线方程为，C选项不正确； ，， ，故D正确； 直线方程为， 由得， 因为，所以，所以直线与不相切，B不正确； 故选：D． 7. 已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（ ） A. B. 是直角三角形 C. D. 是钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简得，又由三角恒等变换得，即可判断A，进而得，结合即可判断BD， 再由余弦定理即可判断C. 【详解】由题意有：， 所以， 所以，即，故A正确； 由，所以或，而，即， 由，又， 又因为，所以，即，所以是钝角三角形，故D正确，B错误； 又，所以，故C正确； 故选：B. 8. 函数的图像与函数（）的图像所有交点的横坐标记作，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图像，利用函数的图像的对称性求得所有交点的横坐标之和. 【详解】，与函数都关于点对称， 在同一个直角坐标系中分别画出它们的图像的示意图， ，，所以， 又，，，， 又函数，与函数为连续函数， 结合函数图像可知在上函数与函数有2个交点， 由图像可知在上函数与函数有两个交点， 所以函数与函数在上有4个交点， 结合两函数关于点对称，可得在上两函数共有8个交点，则 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 的极小值点为1 D. 的极大值点为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出，结合即可求出可判断AB，通过导数求出函数的单调性，结合极值点的定义可判断CD. 【详解】因为，切线斜率为，所以， 由题意得，切点在切线上，故， 则， 联立，解得，故A正确，B错误； ， 当时，，在单调递减， 当或时，，在单调递增， 所以的极小值点为1，极大值点为，故CD均正确， 故选：ACD. 10. 已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（ ） A. 正三棱锥与圆柱的体积的比值为 B. 正三棱锥与圆柱的侧面积的比值小于 C. 正三棱锥外接球的体积与圆柱外接球的体积相等 D. 正三棱锥的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于 【答案】BC 【解析】 【分析】分别计算正三棱锥和圆柱的体积、侧面积，求解判断A、B；分别计算正三棱锥和圆柱的外接球、内切球的体积和半径，求解判断C、D. 【详解】如图，设点在底面ABC内的射影为点，连接CH，则， 则. 正三棱锥的侧面积为. 设正三棱锥的外接球的球心为，外接球的半径为，则在直线SH上， 由，得.设正三棱锥内切球的半径为，则. 对于A：圆柱的体积为，A错误； 对于B：圆柱的侧面积为，B正确； 对于C：圆柱外接球的半径，C正确； 对于D：圆柱内切球的半径，D错误. 故选：BC. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，是上三点，且的重心为，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 到的两条渐近线的距离之积为 C. 若直线的斜率之积为，则关于原点对称 D. 若直线过点，且在轴两侧，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由焦距和渐近线斜率求出可得双曲线方程判断选项A；由点到直线距离公式结合双曲线方程判断选项B；选项C，设关于原点的对称点为，证明，的斜率之积为3，得重合；设直线的方程为，代入双曲线方程，结合韦达定理和重心坐标公式，由的取值范围， 建立不等式求的取值范围判断选项D. 【详解】由题意，得，，解得，， 所以的方程为，故A正确； 的两条渐近线的方程为，即， 设，则， 所以到的两条渐近线的距离之积为，故B错误； 设，，则关于原点的对称点也在上， 又，的斜率之积为， 又在上， 有，，所以 ， 即，的斜率之积为3， 又直线，的斜率之积为3，都在上，所以重合， 即关于原点对称， 故C正确； 因为，直线过点，设，，， 直线的方程为，由，得， ，所以 ， ， ， 因为在轴两侧，则其横坐标异号， 即， 由可知，所以 ， 因为的重心为，所以，， 又在上， 所以 ， 化简得，所以，即 ， 所以 或 ，即的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设可知为等腰直角三角形，结合点到直线的距离公式建立等式后即可求解. 【详解】 依题意，圆心为，半径为； 因为，所以为等腰直角三角形，所以，圆心到直线的距离为； 又圆心到直线的距离为； 所以，解得. 故答案为：. 13. 某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从名教师中选若干人在天假期值班（每天只需人值班），同一人不能连续值班天，则可能的安排方法有___________种． 【答案】 【解析】 【分析】分为值班人数为人和人两种情况，结合排列组合即可求解. 【详解】由题意可得，值班的人数为人或者人， 若值班人数为人，则需要一个人值班首尾两天，另外一人值班中间一天，故， 若值班人数为人，则每人值班一天，故， 所以可能的安排方法有种. 故答案为：. 14. 数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为__________． 【答案】##0.32 【解析】 【分析】先分别求出，的通项公式，进而求出的通项公式，结合的性质，讨论的单调性，进而求出的最小项． 【详解】数列的前项和为， 当时，， 当时，， ，， ，记为， 当时，， 当时，，即， ， ， ， ， 当时，，故， 当时，，故， 当时，， 在时递减，在时递增，最小值出现在处，， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若为上的偶函数，求的值； （3）将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有最小值，无最大值，求的取值范围. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的最小正周期公式求结论； （2）方法一：由条件结合函数是偶函数推出函数为偶函数，结合三角函数性质求； 方法二：由条件结合偶函数性质可得，化简可得，故，化简求即可； （3）根据三角函数图象变换结论求，由条件结合正弦函数性质列不等式求的范围. 【小问1详解】 由正弦型函数的最小正周期公式可得， 函数.的最小正周期. 【小问2详解】 方法一：因为函数是偶函数， 且函数为上的偶函数，所以函数为偶函数， 所以 因为，所以. 方法二：因为为上的偶函数，所以， 所以，即， 则，则， 所以对恒成立，则， 因为，所以. 【小问3详解】 依题意可得. 当时，. 因为，所以， 又在上有最小值，无最大值，所以， 解得，即的取值范围为. 16. 已知函数（，a为常数） （1）若，求的单调区间； （2）若是的极大值点，求a的取值范围 【答案】（1）单减区间为，单增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并因式分解，结合的条件判断导数的符号，进而确定函数的单调区间. （2）对导数的根进行分类讨论，分析不同取值下导数的符号变化，确定为极大值点时的取值范围. 【小问1详解】 ， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以的单减区间为，单增区间为. 【小问2详解】 ， 当时，由（1）知是的极小值点，不符合题意； 当时，，在上单调递减，没有极值点，不合题意； 当时，，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，不合题意； 当时，，当时，当，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减. 所以是的极大值点，符合题意， 综上知的取值范围为. 17. 经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表： 组名 A B C D E 年龄 人数 20 120 100 40 20 （1）用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为，E组的人数为.设，求的分布列和期望； （2）年龄在上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？ 【答案】（1） 0 1 2 3 4 . （2）15 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样特点求出，的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出的所有可能取值的概率，进而得到分布列和期望； （2）根据题意设抽取到的乡村旅游者年龄在内的人数为，则，判断的单调性，求出的最大值，从而求得. 【小问1详解】 由题意得，这15人中，年龄在C组内的有（人）， 年龄在E组内的有（人）， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以，， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 【小问2详解】 样本中“主流客群”的频率为. 从所有“目标客群”中随机抽取20人， 设“主流客群”中被抽到的人数为，则 所以. 由于， 故当时，， 则. 当时，， 则. 所以当时，最大， 即从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能抽到15人. 18. 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在棱上是否存在一点，使得二面角正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：如图，连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点．连接OE， 因为是的中点，所以 ， 又平面，平面， 所以平面， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）连接AC，交BD于点O，可得，由线面平行的判定定理可证结论； （2）利用，且三棱锥与三棱锥同底面积，三棱锥的高是三棱锥的高的二倍 （3）以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz．求出平面与平面的法向量，由向量夹角的余弦值求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，且三棱锥与三棱锥底面积相同， 三棱锥的高是三棱锥的高的二倍， 【小问3详解】 存在点F，使得二面角的正弦值为． 因为底面是菱形，底面，与平面， 所以，，， 故以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，，， 故，，， 设，， 则，． 设平面的法向量为， 则，， 则，令，则，故， 设平面BDF的法向量为， 则，即， 则，令得，故， 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为， 令， 化简得，解得或． 因为，所以或． 19. 已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点. （ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）直线MN过的定点为.（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）设直线为，直线为，联立方程组，分别求得和，得出直线MN的方程，进而得到MN过的定点. （ⅱ）由MN过的定点为，求得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为椭圆的离心率，且过点， 可得且，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：（ⅰ）由（1）知，椭圆，可得， 设直线的方程为，的方程为，且，， 联立方程组，整理得， 所以，， 因为为的中点，所以，， 即，同理可得， 直线MN的方程为，即， 所以直线MN过的定点为. （ⅱ）由MN过的定点为， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的面积最大值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $