专题03幂的运算寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题03幂的运算寒假预习讲义 预习目标 吃透4类幂的运算法则，做到见题就会用，不混淆、不丢步骤； 能快速判断幂的运算题型，精准选法则，口算基础题，笔算复杂题： ● 掌握法则逆用技巧，轻松破解幂的变形、求值题，解锁解题新思路； 规避符号、指数运算等常见坑，做到基础题零失误，进阶题能突破。 预习内容概览 1.同底数幂的乘法 2.幂的乘方 必备知识 3.积的乘方 4.同底数幂的除法 点梳理 5.零指数幂与负整数指数幂 6.高频易错点汇总 1.同底数幂的乘法运算 2.同底数幂乘法的逆用技巧 3.科学记数法的乘法运算 4.幂的乘方运算 5.幂的乘方的逆用技巧 6.积的乘方运算 常考题型 7.积的乘方的逆用技巧 8.零指数幂的性质与运算 精讲精炼 9.负整数指数幂的性质与运算 10.同底数幂的除法运算 11.同底数幂除法的逆用技巧 12.幂的混合运算 13.科学记数法表示小于1的数 14.科学记数法表示的小数还原 强化巩固 (解答题7题) 3 知识点梳理 【知识点01.同底数幂的乘法】 1.核心法则：底数不变，指数相加 试卷第1页，共3页 字母表示：am,an=amtn(拓展：am,an.aP=am+ntp) 2.关键注意 (1)仅适用于底数相同的幂相乘，底数不同不可直接用： (2)底数可为数、字母、多项式，如(xy)P.(xy)-(xy)5: (3)底数为相反数时，先转化为同底数，如(-a)2.a3=a2.a3-a5。 【知识点02.幂的乘方】 1.核心法则：底数不变， 指数相乘 2.字母表示： (a)n=amn(拓展：[(a)n]P=amnp) 3.关键注意 (1)区别于同底数幂乘法：指数是相乘而非相加，切勿混淆(a2)3=a6和a2.a3=a5; (2)幂的乘方仅对指数运算，底数保持不变。 【知识点03.积的乘方】 1.核心法则： 积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 2.字母表示： (ab)n=abn(拓展：(abc)n=abcn) 3.关键注意 因式全部要乘方，切勿漏乘，如(2a)3≠2a3,正确为23.a3-8a3; 法则可逆用：a6-(ab严（简便计算常用，如210×510-(2×5）10-1010)。 【知识点04.同底数幂的除法】 1.核心法则：底数不变，指数相减 2.字母表示：am÷a=am-n(a≠0，m>n,m、n为正整数) 3.关键注意 底数不能为0,0不能作除数； 仅适用于同底数幂相除，指数需满足m>m(msn的情况由零指数、负整数指数 幂补充)。 【知识点05.零指数幂与负整数指数幂】 零指数幂（除法法则拓展） 数学规定： a0-1(核心条件：a≠0) 关键注意 试卷第1页，共3页 底数为0时，0无意义，切勿忽略条件； 举例：(-3)0=1，(2a)0-1(a≠0)。 负整数指数幂（除法法则拓展） 数学规定： a=是（核心条件：a≠0，p为正整数） 关键注意 法则可逆用：亭=ap 所有正用的法则均可逆用，核心用于凑整、简化计算，高频逆用公式： (1)am+=am.an（如a5-a2.a3) (2)am=(am)yn=(am（如a6=(a2)3-(a3)2)） (3)ab=(ab)严（凑整核心，如45×0.255-(4×0.25）5-1) (4)am-=am÷an(a≠0，m>n) 【知识点O6.高频易错点汇总】 1.混淆运算规则：如(a3)2=a5(错)，正确为a;a3+a3=a6(错)，正确为2a3(加 2.法为合并同类项，非幂的运算)。 2.积的乘方漏乘因式：如(3ab)2-=3a22(错)，正确为9a2b2。 3.忽略零指数、负指数的底数条件：如02-1（错），0的负指数幂无意义。 4.底数为相反数时直接运算： 如(-a)3.a2-a5（错)，正确为-a3.a2=-a5。 常考题型精讲精练 【题型1.同底数幂的乘法运算】 【典例】计算a6.a2= 【跟踪专练1】下列各式计算结果正确的是() A.(x2)6=x8 B.-(x3)4=x2 C.-(x4)3=-x2 D.x5.x6=x30 【跟踪专练2】计算： (1)己知10=5，则100的值是 (2)若3x+y=2,则8.2'= 【题型2.同底数幂乘法的逆用技巧】 【典例】若3=4,32y=7,则3+2w的值是() 试卷第1页，共3页 A.28 B.11 7 D. 4 【跟踪专练1】若x”=3,x”=2,则x2m+3m=_ 【跟踪专练2】己知2”=x,5”=y,20”=z,则x,y,z之间满足的等量关系式为() A.x+y=z B.xy=z C.xy2=z D.x'y=z 【题型3.科学记数法的乘法运算】 【典例】某卫星绕地球飞行的速度是3.1×103米/秒，该卫星飞行5×102秒所行的路程是 米.（结果用科学记数法表示） 【跟踪专练1】经过近60年的发展，我国己建成目前世界上技术手段最为完备的国家授时 系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提 高了7个数量级，处于世界领先水平.已知1秒=1000毫秒，1毫秒=10°皮秒，则10秒等 于() A.102皮秒 B.10皮秒 C.104皮秒 D.105皮秒 【跟踪专练2】雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行.假设某时刻雷达向飞机发 射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了5×10秒.已知电磁波 的传播速度为3.0×10米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为米.（结果用科学记数 法表示) 【题型4.幂的乘方运算】 【典例】计算[(-10门的结果是() A.10 B.-107 C.102 D.-102 【跟踪专练1】若3=2,3=5，则32-y= 【跟踪专练2】己知a=24,b=273,c=97,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.b>c>a C.a<b<c D.b<c<a 【题型5.幂的乘方的逆用技巧】 【典例】比较大小：322_23.（填“>=”或“<”） 【跟踪专练1】若3=4,3贸=6，则32”的值是() 试卷第1页，共3页 1 A.3 B.9 c. D. 【跟踪专练2】己知3”=4,32m-"=2,则9的值为 【题型6.积的乘方运算】 【典例】计算(-a2b°的结果是() A.ab B.ab C.-a'b6 D.ab 【跟踪专练1】计算：(-b2(-b)3(-b)=一 【跟踪专练2】下列关系式中，正确的是() A.a3.a2=a6 B.a7÷a4=a3 C.(-3ab)2=-6ab2 D.as+as=alo 【题型7.积的乘方的逆用技巧】 2021 【典例】计算： ×32022 【跟踪专练1】已知23.3x3=36-2,则x的值为（) A.5 B.6 C.7 D.8 【跟踪专练2】已知P=66 6两，那么P0。(填>或<或=”) 116 6,0 【题型8.零指数幂的性质与运算】 【典例】 的值是() A.0 B.1 c. D.4 【跟踪专练1】（学”+(2-(3）2=一 【鼠踪专然2】若a=-0,b=”,c-(-(则() A.a<b<d<c B.a<b<c<d C.b<a<d<c D.a<c<b<d 【题型9.负整数指数幂的性质与运算】 【典例】计算：2= 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】若x-2+(y+3)2=0,则x的值为() A.8 B. C.-8 D8 【跟踪专练2】已知2a-b-3c=3，则4÷2× 的值是 【题型10.同底数幂的除法运算】 【典例】计算a5÷a2的结果是() A.a B.a C.a D.a3 【跟踪专练1】若x=2,x=3,则x3-的值为 【跟踪专练2】计算(ab)÷(-a)的结果是() A.ab2 B.ab C.ab D.abs 【题型11.同底数幂除法的逆用技巧】 【典例】若2m=3,2”=4,则2m-= 【跟踪专练1】已知3“=10,9=5，则3-2b的值为() A.5 B. c. D.2 【跟踪专练2】已知实数a,b,c满足2=5,2=10,2=80，则2024a-4049b+2025c的值 为一 【题型12.幂的混合运算】 【典例】下列计算正确的是() A.a+a2=as B.a.a2=as c.(3)}=a D.a8÷a2=a4 【跟踪专练1】计算：（-a)'÷a=_ (（3×10)÷3x10)2=_ 【跟踪专练2】己知a,b,C为自然数，且满足2×3×6°=288，则a+b+c可取的值有( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【题型13.用科学记数法表示小于1的数】 【典例】己知某细胞的直径约为0.0000000012m,用科学记数法表示为1.2×10"m,则n等 于 【跟踪专练1】在神舟十三号飞船搭载实验项目中，四川省农科院生物技术研究所提供的水 试卷第1页，共3页 稻种子参与航天搭载诱变选育，每粒种子质量大约为0.0000325千克，将数字0.0000325用 科学记数法表示为() A.3.25×104B.3.25×105 C.3.25×106 D.32.5×106 【跟踪专练2】华为Pura70Pro手机搭载的是华为自主研发的麒麟9010芯片，该款芯片达到 了7纳米工艺水平，1纳米=0.000000001米，7纳米用科学记数法表示为： 米. 【题型14.科学记数法表示的小数还原】 【典例】将数1.68×105写成小数的形式为一 【跟踪专练1】“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”.己知某种梅花的花粉直径是 2.8×105m,这个用科学记数法表示的数据还原为小数是() A.0.000028mB.0.0000028m C.0.00028m D.0.00000028m 【跟踪专练2】一粒大米的质量约为2.1×10kg,用小数表示为kg. 强化巩固通关 1.用小数表示下列各数： (1)2.4×103； (2)-6.23×105. 2.计算： (2)[(xm)4.x2]÷[(xm+2)3÷(x2)] =2 -(π-3.14)° 4.某种缨小蜂体长约为0.021cm,质量只有约0.000005g. (1)用科学记数法表示上述两个数据： (2)一个鸡蛋的质量大约是50g,相当于多少只该种缨小峰的质量（答案用科学记数法表示）？ 5.(1)己知2x+3y+3=0,求9.27的值 (2)已知n为正整数，且x2”=4,求(x2)-2x"的值. 6.在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 试卷第1页，共3页 趣味闯关 关卡一：己知3”=2,3=18,3°=4，求a+b-c的值； 关卡二：己知a”=6,b2m=8,求(ab)2"-a2b4)的值. 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得. 7.定义一种幂的新运算：x“⊕x=xb+x+b.如：3©32=32+3+2=32+33=9+27=36，请 利用这种运算规则解决下列问题： (1)求22⊕2的值. (2)若2P=3,2=4,39=9,求2P⊕29的值. 试卷第1页，共3页 专题03幂的运算寒假预习讲义 · 吃透 4 类幂的运算法则，做到见题就会用，不混淆、不丢步骤； · 能快速判断幂的运算题型，精准选法则，口算基础题，笔算复杂题； · 掌握法则逆用技巧，轻松破解幂的变形、求值题，解锁解题新思路； · 规避符号、指数运算等常见坑，做到基础题零失误，进阶题能突破。 必备知识点梳理 1.同底数幂的乘法 2.幂的乘方 3.积的乘方 4.同底数幂的除法 5.零指数幂与负整数指数幂 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.同底数幂的乘法运算 2.同底数幂乘法的逆用技巧 3.科学记数法的乘法运算 4.幂的乘方运算 5.幂的乘方的逆用技巧 6.积的乘方运算 7.积的乘方的逆用技巧 8.零指数幂的性质与运算 9.负整数指数幂的性质与运算 10.同底数幂的除法运算 11.同底数幂除法的逆用技巧 12.幂的混合运算 13.科学记数法表示小于1的数 14.科学记数法表示的小数还原 强化巩固 (解答题7题) 【知识点01.同底数幂的乘法】 1.核心法则：底数不变，指数相加 字母表示：aman=am+n（拓展：amanap=am+n+p） 2.关键注意 (1)仅适用于底数相同的幂相乘，底数不同不可直接用； (2)底数可为数、字母、多项式，如(x−y)2(x−y)3=(x−y)5； (3)底数为相反数时，先转化为同底数，如(−a)2a3=a2a3=a5。 【知识点02.幂的乘方】 1.核心法则：底数不变，指数相乘 2.字母表示：(am)n=amn（拓展：[(am)n]p=amnp） 3.关键注意 (1)区别于同底数幂乘法：指数是相乘而非相加，切勿混淆(a2)3=a6和a2a3=a5； (2)幂的乘方仅对指数运算，底数保持不变。 【知识点03.积的乘方】 1.核心法则：积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 2.字母表示：(ab)n=anbn（拓展：(abc)n=anbncn） 3.关键注意 因式全部要乘方，切勿漏乘，如(2a)32a3，正确为23a3=8a3； 法则可逆用：anbn=(ab)n（简便计算常用，如210×510=(2×5)10=1010）。 【知识点04.同底数幂的除法】 1.核心法则：底数不变，指数相减 2.字母表示：am÷an=am−n（a0，m>n，m、n为正整数） 3.关键注意 底数不能为 0，0 不能作除数； 仅适用于同底数幂相除，指数需满足m>n（m≤n的情况由零指数、负整数指数幂补充）。 【知识点05.零指数幂与负整数指数幂】 零指数幂（除法法则拓展） 数学规定：a0=1（核心条件：a0） 关键注意 底数为 0 时，00无意义，切勿忽略条件； 举例：(−3)0=1，(2a)0=1（a0）。 负整数指数幂（除法法则拓展） 数学规定：a−p=（核心条件：a0，p为正整数） 关键注意 法则可逆用：=a−p 核心拓展：幂的运算法则逆用（简便计算必考） 所有正用的法则均可逆用，核心用于凑整、简化计算，高频逆用公式： (1)am+n=aman（如a5=a2a3） (2)amn=(am)n=(an)m（如a6=(a2)3=(a3)2） (3)anbn=(ab)n（凑整核心，如45×0.255=(4×0.25)5=1） (4)am−n=am÷an（a0，m>n） 【知识点06.高频易错点汇总】 1.混淆运算规则：如(a3)2=a5（错），正确为a6；a3+a3=a6（错），正确为2a3（加2.法为合并同类项，非幂的运算）。 2.积的乘方漏乘因式：如(3ab)2=3a2b2（错），正确为9a2b2。 3.忽略零指数、负指数的底数条件：如0−2=1（错），0 的负指数幂无意义。 4.底数为相反数时直接运算：如(−a)3a2=a5（错），正确为−a3a2=−a5。 【题型1.同底数幂的乘法运算】 【典例】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，解题关键是掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，易错点是混淆幂的运算规则，解题思路为：直接应用同底数幂的乘法法则计算指数和． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，，所以 ； 故答案为 ． 【跟踪专练1】下列各式计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘；同底数幂相乘：底数不变、指数相加，是解题的关键． 本题需根据规则逐一计算并判断选项正误． 【详解】解：幂的乘方法则：，同底数幂相乘法则：． A、，不符合题意； B、，且负号在外， ，不符合题意； C、， ，与选项一致，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】计算： （1）已知，则的值是________． （2）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法法则，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入求值是解题的关键． （1）利用指数运算性质，将表示为的平方，再求值； （2）将化为的立方，利用同底数幂相乘的法则，结合已知条件求值． 【详解】解：（1）， ， ，即． 故答案为：． （2）， ， ， ，即． 故答案为：． 【题型2.同底数幂乘法的逆用技巧】 【典例】若，，则的值是（   ） A．28 B．11 C． D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂相乘的运算法则，把转化为与相乘的形式，再代入已知值计算．本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的运算法则是解题的关键． 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，、为整数）， ∴． 又，， ． 故选： ． 【跟踪专练1】若，，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则． 先根据已知条件，将所求表达式分解为已知指数的乘积形式，再代入数值计算． 【详解】解：，， ，， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，关键是将分解质因数后利用幂的乘方和积的乘方进行变形． 利用指数运算法则，将 分解为 ，再结合已知条件代入． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 且，， ∴． 故选：D． 【题型3.科学记数法的乘法运算】 【典例】某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是 米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，此题根据路程速度时间列出算式，计算即可解答． 【详解】解：（米）， 故答案为：． 【跟踪专练1】经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此求解即可； 【详解】解：1秒毫秒，1毫秒皮秒， 秒皮秒， 秒皮秒， 故选：B． 【跟踪专练2】雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为 米．(结果用科学记数法表示) 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是明确同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据距离等于速度乘以时间计算即可． 【详解】解：（m）， 故答案为：． 【题型4.幂的乘方运算】 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方法则，即 ． 根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【跟踪专练1】若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方． 逆用同底数幂的除法和幂的乘方计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系． 【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14 ∴ ，即 ∵ 底数均为3，指数， ∴ ，即， ∴ 故选：. 【题型5.幂的乘方的逆用技巧】 【典例】比较大小： ．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【分析】由幂的乘方可得，，继而求得答案． 此题考查了幂的乘方．此题难度不大，注意掌握公式的逆用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：＞． 【跟踪专练1】若，， 则的值是（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理，再把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D 【跟踪专练2】已知，，则的值为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，先根据同底数幂的除法法则得出，结合已知条件即可求出的值，再将变形为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64． 【题型6.积的乘方运算】 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方，等于把每个因式分别乘方求解即可． 【详解】解：． 故选：A 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则计算，再根据积的乘方即可得出结果． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，合并同类项的运算法则进行求解判断即可 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：B 【题型7.积的乘方的逆用技巧】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的运算性质，综合运用了同底数幂与同指数幂的乘法法则，根据法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察式子，整理，再得出，最后解得x的值，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故 ∴ 解得 故选：C． 【跟踪专练2】已知，，那么P Q ．（填“”或“”或“”　） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，同底数幂的乘法，积的乘方逆运算，掌握运算法则是解题的关键．利用作差法得到，再根据积的乘方逆运算化简计算． 【详解】解： ， ∴ 故答案为：． 【题型8.零指数幂的性质与运算】 【典例】的值是（  ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了零指数幂，底数不为0的零指数幂的结果为1，据此可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 【跟踪专练1】 ． 【答案】0 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，有理数的四则运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据零指数幂，负整数指数幂进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：0． 【跟踪专练2】若，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘方，负整数指数次幂和零指数次幂，有理数的比较大小，先根据乘方，负整数指数次幂和零指数次幂的运算法则计算，然后比较大小解答即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故选：C． 【题型9.负整数指数幂的性质与运算】 【典例】计算： ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查负整数指数幂的运算规则，掌握负整数指数幂的转化方法是解题关键． 根据负整数指数幂的运算规则，（其中），直接代入计算． 【详解】解：由负整数指数幂的定义，． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则的值为（  ） A．8 B． C．−8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂相除，同底数幂相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则化简原式，将已知条件整体代入，计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【题型10.同底数幂的除法运算】 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可；本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握“同底数幂相除，底数不变，指数相减”是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练1】若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．利用幂的运算法则，将 转化为 ，再分别计算和的值即可求解． 【详解】解：已知 ，， 则 ， ， 所以 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法运算法则，解题的关键是熟练掌握各法则并将乘方与除法运算整合连贯计算． 直接根据积的乘方、幂的乘方先计算原式中的乘方部分，再结合同底数幂的除法（）完成整体运算，最终匹配选项． 【详解】解：； 对比选项，结果为，对应选项D． 故选：D． 【题型11.同底数幂除法的逆用技巧】 【典例】若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用． 直接逆用同底数幂的除法计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，，则的值为（   ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，逆用法则是解决本题的关键． 直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解：， ， 则 ． 故选：D． 【跟踪专练2】已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，得到，代入化简解答即可． 本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4051． 【题型12.幂的混合运算】 【典例】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，所以选项A错误，不符合题意； B、，所以选项B正确，符合题意； C、，所以选项C错误，不符合题意； D、，所以选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】计算： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，正确理解幂的运算性质，分清指数之间的变化是关键．根据运算顺序分别计算即可得到答案． 【详解】解：， ． 故答案为：， 【跟踪专练2】已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 【题型13.用科学记数法表示小于1的数】 【典例】已知某细胞的直径约为，用科学记数法表示为，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较小的数，把一个小于1的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据科学记数法的定义表示出来该数据，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， 则：， 故答案为：． 【跟踪专练1】在神舟十三号飞船搭载实验项目中，四川省农科院生物技术研究所提供的水稻种子参与航天搭载诱变选育，每粒种子质量大约为0.0000325千克，将数字0.0000325用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为整数）． 根据科学记数法的定义，确定和的值来求解． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中为整数． 对于数字0.0000325，将小数点向右移动5位得到3.25，所以． 因此． 故选：B． 【跟踪专练2】华为手机搭载的是华为自主研发的麒麟9010芯片，该款芯片达到了7纳米工艺水平，1纳米米，7纳米用科学记数法表示为： 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将7纳米米写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型14.科学记数法表示的小数还原】 【典例】将数写成小数的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法表示的数还原为原数的运用，科学记数法的表示形式为，值的取值方法是：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解： 故答案为： ． 【跟踪专练1】“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个用科学记数法表示的数据还原为小数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法还原为小数的方法，科学记数法表示为时，当为负数，需将的小数点向左移动位，不足时补零，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将还原为小数是， 故选：A． 【跟踪专练2】一粒大米的质量约为，用小数表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，熟记科学记数法的定义是解题关键．根据科学记数法中的指数的绝对值可得将小数中的小数点向左移动5位即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 1．用小数表示下列各数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，解题的关键是正确理解科学记数法表示的数中还原成小数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． （）把小数点向左移动位即可得出答案， （）把小数点向左移动位即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法和幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先化简负指数幂和零指数幂，然后计算乘除，最后算加法即可； （2）先算括号内幂的乘方，再算括号内同底数幂的乘法和除法，最后算同底数幂的除法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，包括乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，灵活应用相关运算法则是解题的关键．先计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 4．某种缨小蜂体长约为，质量只有约． (1)用科学记数法表示上述两个数据； (2)一个鸡蛋的质量大约是，相当于多少只该种缨小蜂的质量（答案用科学记数法表示）？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数、一元一次方程的应用，解题的关键是能够正确的用科学记数法表示较小的数和根据题意列出方程． （1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定； （2）设x只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据“缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等”列方程求解即可． 【详解】（1）解：用科学记数法表示为， 用科学记数法表示为； （2）解：设x只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得 ， 解得， 答：只缨小蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等． 5．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 6．在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 【答案】关卡一：；关卡二：， 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，幂的除法逆运算，积的乘方以及逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．关卡一，利用，得出答案；关卡二，将转化成，然后计算出答案即可． 【详解】解：关卡一： ，，， ， ． 关卡二： ，， ， ． 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 7．定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $