第07讲 整式乘法-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

第07讲 整式乘法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)； 知识点 1 单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 注意：(1)积的系数等于各系数的积，应先确定积的 符号，再计算积的绝对值. (2)相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算. (3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里. (4)单项式乘单项式的结果仍然是单项式. (5)对于三个以上的单项式相乘法则同样适用. 知识点 2单项式与多项式相乘的法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即 。 注意：(1)单项式与多项式相乘，结采是一个多项式其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项. (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. (3)对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项时，必须合并，从而得到最简结果. 知识点 3 多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即 注意：(1)运用多项式乘法法则时，要按一定的顺序进行，防止“漏项”。 (2)多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。 (3)多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意确定积中各项的符号。 知识点 4 单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：(1)运算中单项式的系数包括它前面的符号。 (2)不要遗漏只在被除式里含有的字母。 (3)单项式除以单项式的站果仍是单项式。 知识点 5 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 注意：(1)多项式除以单项式可以简化为单项式除以单项式、在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号。 (2)多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项、不要漏项。 (3)多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用共进行检验。 考点01：计算单项式乘以单项式 例题1．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】计算： 【变式1-3】计算：． 考点02：利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题2．若，则的值为 ． 【变式2-1】已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【变式2-2】已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【变式2-3】先化简，后求值：，其中，． 考点03：单项式乘以多项式 例题3.（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）先化简，再求值：，其中 【变式3-1】把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律 【变式3-2】化简： 【变式3-3】计算： 考点04：单项式乘多项式的应用 例题4.小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含，的整式表示盒子的外表面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？ 【变式4-1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图， 已知正方形的边长为a， 长方形的边长为， 边长为b． 则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是 ．（用含有a、b和的代数式表示） 【变式4-3】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 考点05：多项式乘以多项式 例题5.已知，则 ； ． 【变式5-1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）若和是的因式，则p为（   ） A． B． C．8 D．2 【变式5-2】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】计算： ． 考点06：已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题6.一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值． 【变式6-1】已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 【变式6-2】（24-25七年级上·重庆·期中）要使多项式中不含项和项，则 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·甘肃金昌·期中）若代数式不含x的一次项，求的值． 考点07：多项式乘多项式的化简求值 例题7．（23-24七年级下·江苏常州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式7-1】已知，，那么的值为 ． 【变式7-2】．（2024·广东深圳·三模）已知，则的值为 ． 【变式7-3】．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为 ． 考点08：多项式乘法中的规律问题 例题8.观察下列式子： (1)根据以上式子，请直接写出　　； (2)根据以上式子，请直接写出的结果　　　　　　　为正整数）； (3)计算：． 【变式8-1】通过计算寻找规律： (1)计算： ___________． ___________． ___________． (2)猜想： ___________． (3)根据猜想结论，写出下列结果： ___________． ___________． 【变式8-2】观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 【变式8-3】（23-24七年级下·广东清远·期中）观察以下等式： …… (1)按以上等式的规律，填空： ①________． ②________． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简：． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若则代数式的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）设，，则A与B的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）若运算结果中不含关于x的一次项，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若，则 ． 6．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）要使的展开式中不含项，则m的值为 ． 三、解答题 7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 9．（22-23七年级下·安徽六安·期末）观察下列各式： ； ； ； ； (1)根据上面各式的规律可得：________． (2)根据上面各式的规律可得：________． (3)若，求的值． 10．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察下列多项式的乘法计算． ①； ②； ③； ④． (1)计算：_______，________． (2)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 整式乘法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)； 知识点 1 单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 注意：(1)积的系数等于各系数的积，应先确定积的 符号，再计算积的绝对值. (2)相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算. (3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里. (4)单项式乘单项式的结果仍然是单项式. (5)对于三个以上的单项式相乘法则同样适用. 知识点 2单项式与多项式相乘的法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即 。 注意：(1)单项式与多项式相乘，结采是一个多项式其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项. (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. (3)对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项时，必须合并，从而得到最简结果. 知识点 3 多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即 注意：(1)运用多项式乘法法则时，要按一定的顺序进行，防止“漏项”。 (2)多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。 (3)多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意确定积中各项的符号。 知识点 4 单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：(1)运算中单项式的系数包括它前面的符号。 (2)不要遗漏只在被除式里含有的字母。 (3)单项式除以单项式的站果仍是单项式。 知识点 5 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 注意：(1)多项式除以单项式可以简化为单项式除以单项式、在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号。 (2)多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项、不要漏项。 (3)多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用共进行检验。 考点01：计算单项式乘以单项式 例题1．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【解析】解： ． 【变式1-1】计算： ． 【答案】 【解析】解：，故答案为：． 【变式1-2】计算： 【答案】 【解析】解：原式 ． 【变式1-3】计算：． 【答案】 【解析】解：原式 ． 考点02：利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题2．若，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【解析】， ， ，， ． 故选：C． 【变式2-2】已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-3】先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【解析】解： 当，时， 原式 ． 考点03：单项式乘以多项式 例题3.（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】解： ， 当时，原式． 【变式3-1】把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律 【答案】C 【解析】解：把代数式变形为所运用的根据是分配律，故选：C． 【变式3-2】化简： 【答案】 【解析】解： ． 【变式3-3】计算： 【答案】 【解析】解： 考点04：单项式乘多项式的应用 例题4.小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含，的整式表示盒子的外表面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？ 【答案】(1)（平方分米） (2)360元 【解析】（1）解：根据题意得： （平方分米） ∴盒子的外表面积为平方分米； （2）解：当，时， （平方分米） 则喷漆的费用为（元）． 答：喷漆共需要360元． 【变式4-1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解： ， 即图2中零件的面积为． 故选：A 【变式4-2】如图， 已知正方形的边长为a， 长方形的边长为， 边长为b． 则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是 ．（用含有a、b和的代数式表示） 【答案】 【解析】解：由题意得， ， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 【答案】(1)，； (2)420平方米，930平方米； (3)88500元 【解析】（1）解：（平方米） （平方米） （2）当米，米时 （平方米） （平方米） （3）（元） 考点05：多项式乘以多项式 例题5.已知，则 ； ． 【答案】 【解析】解： ， ，， 故答案为：， 【变式5-1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）若和是的因式，则p为（   ） A． B． C．8 D．2 【答案】D 【解析】解： 即 故选：D 【变式5-2】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-3】计算： ． 【答案】 【解析】解： ， 故答案为：． 考点06：已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题6.一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值． 【答案】 【解析】解： ∵不出现一次项，且三次项系数为1， ∴， 解得： 【变式6-1】已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 【答案】 【解析】解： ∵已知的计算结果中不含的项， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级上·重庆·期中）要使多项式中不含项和项，则 ． 【答案】1 【解析】解： ， ∵不含项和项， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：1 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·甘肃金昌·期中）若代数式不含x的一次项，求的值． 【答案】9 【解析】解：因为代数式不含x的一次项， 所以， 解得：， ∴． 考点07：多项式乘多项式的化简求值 例题7．（23-24七年级下·江苏常州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】解：原式 ． 当时，原式． 【变式7-1】已知，，那么的值为 ． 【答案】9 【解析】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． 【变式7-2】．（2024·广东深圳·三模）已知，则的值为 ． 【答案】2025 【解析】解：， ， ， 故答案为：2025． 【变式7-3】．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 考点08：多项式乘法中的规律问题 例题8.观察下列式子： (1)根据以上式子，请直接写出　　； (2)根据以上式子，请直接写出的结果　　　　　　　为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：由题意得，． 故答案为：． （2）解：观察题干中各等式，得到如下规律：被除式和除式都是二项式，除式都是，商的次数比被除式的次数小1，项数与被除式的次数相等，按x进行降幂排列，各项系数为1， ． 故答案为：． （3）解：由题意得， ． 【变式8-1】通过计算寻找规律： (1)计算： ___________． ___________． ___________． (2)猜想： ___________． (3)根据猜想结论，写出下列结果： ___________． ___________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【解析】（1）解：； ； ； （2）解：由； ； ； …… ； （3）解： ； ． 【变式8-2】观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 【答案】(1)； (2) (3) 【解析】（1）解：根据材料提示， ①． ②． 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 【变式8-3】（23-24七年级下·广东清远·期中）观察以下等式： …… (1)按以上等式的规律，填空： ①________． ②________． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简：． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【解析】（1）解：① ②， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意， 故选：C． 2．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若则代数式的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】解：， ， 故选：B． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）设，，则A与B的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】解：， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）若运算结果中不含关于x的一次项，则k的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】解： ∵计算的结果中不含关于字母的一次项 ∴ ∴ 故选：A． 二、填空题 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若，则 ． 【答案】 【解析】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 6．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）要使的展开式中不含项，则m的值为 ． 【答案】 【解析】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0(2)3x 【解析】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 9．（22-23七年级下·安徽六安·期末）观察下列各式： ； ； ； ； (1)根据上面各式的规律可得：________． (2)根据上面各式的规律可得：________． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【解析】（1）解：． 故答案为：． （2）解：； 故答案为：． （3）解：∵， 又∵， ∴， ∴． 10．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察下列多项式的乘法计算． ①； ②； ③； ④． (1)计算：_______，________． (2)若，求的值． 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）解：由①②③④运算情况可知， ； ； 故答案为：，． （2）解：，， ，， 解得， 将代入中，有， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$