四川成都市双流区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（一诊）

2025-2026学年四川省成都市双流区九年级（上）期末数学试卷（一诊） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，D为AB中点，且，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是(    ) 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同. A. 1 B. C. 1或 D. 3.如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是(    ) A. B. C. D. 4.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为，是指(    ) A. 连续抛掷2次必有1次正面朝上 B. 连续抛掷5次不可能正面都朝上 C. 大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次 D. 抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于 5.如图，▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD变为菱形的是(    ) A. B. C. D. 6.反比例函数的图象经过(    ) A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 7.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，D是AC上的一点，的平分线交AC于点E，且，则下列结论中不一定正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.方程的解是          . 10.如图，和是以点O为位似中心的位似图形.若OB：：5，的面积为4，则的面积为        . 11.若点和在反比例函数图象上，则      填“>”“<”或“=” 12.正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长6cm，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为        13.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，分别以点D，O为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，作射线若，，则      . 14.若，则        . 15.一只不透明的盒子中装有8支黑笔和若干支蓝笔，这些笔除颜色外都相同，搅匀后每次随机从盒子中摸出一支笔，记下颜色后放回盒子中.通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在，则估计盒子中蓝笔的数量为        支. 16.已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为        . 17.如图，四边形ABCD为正方形，，E为BC延长线上一点，以DE为边向左侧作等边三角形DEF，连接CF，当CF取最小值时，CE的长为        . 18.如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第一象限，过点A的直线交反比例函数图象于点C，交x轴正半轴于点D，AP为的平分线，过点B作AP的垂线，垂足为E，连接CE，若，的面积为7，则k的值为        . 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 计算：； 解方程： 20.本小题8分 一只不透明袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同. 随机从袋子中找出一个小球.则摸到白球的概率是______； 学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个.他们决定由小明从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课，请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率. 21.本小题8分 某数学兴趣小组开展综合实践活动.如图，他们发现一间房屋前有一堵围墙AB，同学们想测量围墙AB的高度，进行了如下操作：在某一时刻，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在点E时，测得米；过了一会，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点D处射进房间地面落在点F时，测得米.此外，还测得窗高米，窗户距地面的高度米，AB垂直于BE，DP垂直于请根据以上信息求出围墙AB的高. 22.本小题10分 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线的交点为，在D的左边，且C，D恰好是线段AB的三等分点. 求a，k的值； 将直线l向下平移n个单位，平移后直线与x轴相交于点E，连接若DE与x轴所形成的锐角为，求n的值. 23.本小题10分 已知四边形ABCD是菱形，，点E是边BC上一点，以AE为腰向右侧作等腰三角形AEF，EF，AF分别交CD于点G，H，且，，连接 求证：； 若点E为BC中点，求的面积； 连接EH，若，求BE的长. 24.本小题8分 某公司研制出一种新产品，每件产品成本1000元，销售单价定为1200元.为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过10件，每件按1200元销售；若一次购买该产品超过10件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低5元，但销售单价均不低于1050元. 设一次购买该产品的数量为x件，销售单价为y元，请写出y与x的函数关系式； 公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利3125元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由. 25.本小题10分 如图，在中，点D在AB边上，点E在AC边上，连接BE，CD，两线相交于点F，已知 求证：； 若，，求的度数； 在的条件下，若，的周长等于15，求BF的长. 26.本小题12分 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接OM， 当时，求的面积； 如图，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，两线相交于点P，若将沿MN翻折后，点P恰好落在x轴上，求b的值和反比例函数的表达式； 在的条件下，若点Q是平面内一点，且它的纵坐标为，连接MQ，PQ，求的最大值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：在中，，D为AB中点， 则， ， ， 为等边三角形， ， 故选： 根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，进而得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质解答即可． 本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定和性质，熟记在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：设这个数为x，则， ， ， 所以 故选： 根据题意建立方程，再利用因式分解法对所得方程进行求解即可． 本题主要考查了有理数的乘方，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：它的左视图是： 故选： 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案， 本题考查了简单组合体的三视图，正确理解简单组合体的三视图是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：抛掷硬币，“正面朝上”的概率为， “正面朝上”的概率为，是指抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于， 故选： 利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”即可求解． 本题考查的是利用频率估计概率，概率的意义，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， 当▱ABCD的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使▱ABCD变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D能使▱ABCD变为菱形，符合对角线相互垂直，A、B、C均不能使▱ABCD变为菱形，不符合题意． 故选： 根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：， 图象经过第二、四象限． 故选： 根据反比例函数图象的性质即可解答． 本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：方程有两个不相等的实数根， 根的判别式， ， ， ， 故选： 由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围． 本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 8.【答案】C  【解析】解：平分， ， ， ， ， ， ， ∽， ，故选项A正确， ， ， ， ，故选项D正确， 如图，过点E作于点M，于点 平分， ， ，故选项B正确， 故选： 证明∽，可以推出选项A，D正确，如图，过点E作于点M，于点则，利用面积法可以证明选项B正确． 本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 9.【答案】，  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解． 先移项得到，再把方程左边进行因式分解得到，方程转化为两个一元一次方程：或，即可得到原方程的解为， 【解答】 解： ， ， 或， ， 故答案为， 10.【答案】9  【解析】解：：：5， ：：3， 和是以点O为位似中心的位似图形， ∽，， ∽， ：：：3， ：：9， 的面积为4， 的面积为9， 故答案为： 根据位似图形的概念得到∽，，证明∽，根据相似三角形的性质求出AB：DE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 11.【答案】>  【解析】解：反比例函数中，， 该函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 点和都在第一象限，且， 故答案为： 根据反比例函数的解析式得到该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 本题考查反比例函数的增减性，掌握其相关性质是解题的关键． 12.【答案】10  【解析】解：设正方形Ⅰ的边长为a cm，正方形Ⅱ的边长为b cm， 由题意得：，， ，， 解得：， 这两个正方形的边长之和为10cm， 故答案为： 设正方形Ⅰ的边长为a cm，正方形Ⅱ的边长为bcm，根据题意可得：，，然后进行计算即可解答． 本题考查了一元一次方程的应用、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ，， 由作图过程和可知：AE是DO的垂直平分线， ， ， ， 故答案为： 由作图过程可得AE是DO的垂直平分线，得，进而可以解决问题． 本题考查了矩形的性质、作图-基本作图、垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 14.【答案】  【解析】解：设，， 故答案为： 设，，代入即可求值． 本题考查比例的性质，关键是设， 15.【答案】12  【解析】解：通过大量重复试验后发现，摸到黑笔的频率稳定在， 随机从盒子中摸出一支笔，摸到黑笔的概率为， 盒子中共有支， 估计盒子中蓝笔的数量为支 故答案为： 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据概率公式计算即可求解． 此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 16.【答案】15  【解析】解：，b是一元二次方程的两个实数根， ，，， ， 故答案为： 由a，b是一元二次方程的两个实数根，可得，，，将所求式子变形后再代入可算得答案． 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义和根与系数的关系． 17.【答案】  【解析】解：如图，将DC逆时针旋转得到DG，作直线GF交BC于点M， 则，， 为等边三角形， ，， ， ≌， ， 在四边形DCMG中，， 点F在直线GM上运动， 当时，CF最小，如图， 在中，，， ，， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， ； 故答案为： 将DC逆时针旋转得到DG，作直线GF交BC于点M，易证≌，可得，进而可得点F的运动轨迹，据此求解即可． 本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、含有直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：连接OE、OC， 在中，， ， ， 平分， ， ， ， ， 设， 如图，在中，过A作于点G，过C作于点H， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 故答案为： 连接OE、OC易证，则，，然后设A坐标，利用相似比表示出点C坐标、点D坐标，进而求解即可． 本题主要考查反比例函数点的坐标特征、平行线的判定、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19.【答案】  ，  【解析】解： ； ， ，，， ， ， ， 先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的乘法法则计算，再合并即可； 利用求根公式解一元二次方程即可． 本题考查了解一元二次方程-公式法，实数的运算，正确计算是解题的关键． 20.【答案】   【解析】解：由于袋子中有3个球白1红，摸到每个球的可能性是均等的， 所以随机从袋子中找出一个小球．则摸到白球的概率是， 故答案为：； 从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，所有等可能出现的结果如下： 共有9种等可能出现的结果，其中两球都是白色的有4种， 所以两次摸到的球都是白色的概率为， 即小明上烹饪课的概率为 根据概率的定义进行解答即可； 用树状图表示从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 本题考查列表法或树状图法，列举出从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，所有等可能出现的结果是正确解答的关键． 21.【答案】围墙AB的高为米．  【解析】解：，， ， ，， ∽，∽， ，， ，， 解得：，， 解得：， 解得：， 米， 围墙AB的高为米． 根据垂直定义可得，然后证明∽，∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22.【答案】；  或  【解析】解：如图1， 作于M， ， ∽， ， ，D恰好是线段AB的三等分点， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ； 由知，点D坐标为，直线l：， 将直线l向下平移n个单位后的解析式为， 令，则， ， 与x轴所形成的锐角为， 或， 解得：或 作于M，可求得∽，从而得出，再根据C，D恰好是线段AB的三等分点，求出点C，D坐标即a，k的值； 先求出点E坐标，再根据DE与x轴所形成的锐角为列出等式，然后求出n的值． 本题考查了求反比例函数和一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是求出C，D坐标． 23.【答案】， ，       【解析】证明：， ， ； 解：在AB上截取AN，使，连接则， ，， ， ≌ ，， ， ， ， ，， ，，， ， 过点F作交CD于M，则， ，， ∽， ：：：：1， ，同理可得， ， 的面积； 解：，， ：：FE， ， ∽ 连结BD交AC于O，过F作BC的平行线交CD于 菱形ABCD中，，， ， AC，BD互相垂直平分， ， 则， ∽， ：：AF， ， ， ∽， ：：：， ， ， ， ， ， ， ， 则， ， ， ， 设BE：，FH：， 则， 而， 则， ∽， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ：：2， ， ， ：， ， 根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论； 在AB上截取AN，使，连接证明≌得出，，证出，求出GH即可得出答案； 当为等腰三角形时有两种可能，①，②，可求x的两个值． 本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质等知识，能够综合运用这些性质是解题关键． 24.【答案】  公司能恰好获利3125元，此时该产品的销售单价为1125元  【解析】解：由题意，设一次购买数量为x件为正整数，销售单价为y元， ①当时，购买数量不超过10件，按原价销售， ； 销售单价最低为1050元， 令，解得 当购买数量超过10件、且不超过40件时，单价随购买数量增加而降低； ②当时，每多买1件，单价降低5元， ，即； ③当时，单价已降至最低1050元，不再继续降价， 综上，函数关系式为：； ①当时，销售单价，单件利润， ， ，不在的范围内，故此情况不成立； ②当时，销售单价，单件利润为， ，符合题意， 此时销售单价：元； ③当时，销售单价，单件利润， 购买数量必须为正整数， 此情况不成立． 综上，公司能恰好获利3125元，此时该产品的销售单价为1125元． 依据题意，设一次购买数量为x件为正整数，销售单价为y元，进而分①当时②当时③当时，三种情形分析计算可以得解； 依据题意，结合分三种情况分析可以得解． 本题主要考查了一元二次方程的应用、一次函数的性质、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 25.【答案】证明：，， ， ， ，       【解析】证明：，， ， ， ， ； 解：在AC上截，连接DH， ，，， ， 由知， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 是等边三角形， ； 作于点P， 由知，是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， 设，则， ， ∽， ， ，， 的周长等于15， ， 解得：， 是等边三角形，， 中，，， ， 中，， 即， 解得：舍去，， 易证，即可得解； 在AC上截，连接DH，证≌，可得是等边三角形，即可得解； 作于点P，先证是等边三角形，设，则，证∽，，，根据周长建立方程表示出BC，在中利用勾股定理建立方程求出x值，即可得解． 本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含有的直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 26.【答案】3 ；反比例函数的表达式为   【解析】解：当时，直线， 则，， 的坐标为，N的坐标为， 分别过M，N作x轴的垂线，垂足分别为A，B， 则，，，， ； 设翻折后点P落在x轴上点C处，延长PM交y轴于点D， 轴，轴， ，M，D共线，P，N，B共线，且点P的坐标为， ，在反比例函数图象上， ， 的坐标为， 由题意，，，， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， 解得， ， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， ； 点Q的纵坐标为， 点Q在直线上， 如图，过点M作直线的垂线，垂足为H， 的坐标为，P的坐标为 ，， ， 作， 则∽， ， ， 又， ，， ∽， ， 取MH中点F，则， ， ，即， ， 的最大值是当时取得， 此时 当，易得，，进而利用割补法求的面积； 翻折后点P落在x轴上点C处，延长PM交y轴于点D，易得N的坐标为，所以，，，证∽，求出m的值，可得反比例函数解析式，进而求出b值； 过点M作直线的垂线，垂足为H，易得，作，易证∽，取MH中点F，易求，根据三边关系求解即可， 本题主要考查了反比例函数解析式、一次函数解析式、坐标与图形性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $