2026年中考数学重难点一轮复习：专题31 菱形

专题31 菱形   一、选择题（共8小题） 1．（2025•雁塔区校级一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为（　　） A．3 B．3.5 C．2 D．2.5 2．（2025•马鞍山模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长是（　　） A．2 B． C．3 D． 3．（2025•湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 4．（2025•大渡口区模拟）如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（　　） A．4 B．4 C．2 D．5 5．（2025•大理州二模）菱形的两条对角线长分别为，，设其面积为Scm2，则S在哪两个连续整数之间（　　） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 6．（2025•碑林区校级一模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD＝30°，过点O作OE⊥BC于点E，若CE＝2，则OE的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 7．（2025•河南一模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC⊥BD D．AC＝BD 8．（2025•淅川县二模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC'D'，如果∠DAD'＝30°，那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是（　　） A． B． C． D．1 二、填空题（共8小题） 9．（2025•鹤岗校级模拟）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件　 　 ，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 10．（2025•蓬江区校级二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，点M，N分别在AB，AD上，且AM＝DN，连接DM，BN交于点E，则∠BED的度数为　 　 ；连接AE，则AE的最小值为　 　 ． 11．（2025•东光县二模）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG，当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是 　 　 ． 12．（2025•宁远县二模）如图，直线MN∥PQ，菱形ABCD的两个顶点A，C分别在直线MN，PQ上，若∠ABC＝150°，∠NAD＝130°，则∠DCQ＝　 　 ． 13．（2025•蒸湘区校级二模）如图，在菱形ABCD中，E为CD的中点，，则菱形ABCD的面积为 　 　 ． 14．（2025•宝安区模拟）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，在AB、AD上分别有一点E、F，连接CE、BF交于点G，若2AE＝BE，∠EGF＝60°，则的值为 　 　 ． 15．（2025•辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为　 　 ． 16．（2025•西宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD＝6，OE，则菱形ABCD的面积是　 　 ． 三、解答题（共5小题） 17．（2025•昌江区二模）追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH． 方法应用 （2）如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，若AF＝3，FC＝5，求DE的长． 18．（2025•永寿县二模）在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、AF． 求证：AE＝AF． 19．（2025•东莞市校级一模）如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF，OC，OD． （1）求证：四边形ABFE是菱形； （2）若∠ABC＝90°，如图2所示：求证：∠ADO＝∠BCO． 20．（2025•怀化模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，连接BE，BF，DF，DE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当平行四边形ABCD是菱形时，判断是四边形BEDF的形状． 21．（2025•湖北模拟）如图，在等边△ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）．当t何值时，四边形ACFE是菱形？ 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】D 【分析】由三角形中位线定理得AC＝2MN＝6，再由菱形的性质和勾股定理求出CD＝5，然后由三角形中位线定理即可得出结论． 【解答】解：∵点M，N分别是边AD，CD的中点， ∴MN是△ACD的中位线， ∴AC＝2MN＝2×3＝6， ∵四边形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24， ∴OA＝OCAC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，AC•BD＝24， 即6×BD＝24， ∴BD＝8， ∴ODBD＝4， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD5， ∵点M是AD的中点，OA＝OC， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD＝2.5， 故选：D． 2．【答案】D 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理，求得OA的长，继而可求得AC的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长． 【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC，BO＝DOBD＝4，AC⊥BD， ∵AB＝5， ∴OA3， ∴AC＝2OA＝6， ∵DE⊥BA， ∴S菱形ABCD＝AB•DEAC•BD， ∴DE， 故选：D． 3．【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理得到四边形ABCD为菱形，再根据菱形的性质计算即可． 【解答】解：∵对角线AC与BD互相垂直平分， ∴四边形ABCD为菱形， ∵AB＝3， ∴四边形ABCD的周长为：3×4＝12， 故选：C． 4．【答案】C 【分析】先证明△BCD是等边三角形，可求出BM的长，MF的长，由勾股定理可求解． 【解答】解：设CD与EF的交点为H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠CDB， ∵点E是AD中点， ∴AE＝DEAD， 在△DEM和△DHM中， ， ∴△DEM≌△DHM（ASA）， ∴DE＝DH， ∴DH＝CH， ∵AD∥BC， ∴△DEH∽△CFH， ∴1， ∴DE＝CF＝2， ∴AD＝4＝CD＝BC， ∴BF＝6， ∵BD＝4， ∴BC＝CD＝BD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠DBC＝60°， ∴∠BFM＝30°， ∴BMBF＝3，MFBM＝3， ∴DM＝1， ∴DF2， 故选：C． 5．【答案】C 【分析】先计算出菱形的面积S，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【解答】解：由菱形的面积公式可知，， ∵， 即3＜S＜4． 故选：C． 6．【答案】C 【分析】根据菱形的性质得∠BOD＝90°，根据∠CBD＝30°，OE⊥BC，得∠COE＝30°，得OC＝4，即得． 【解答】解：∵菱形ABCD中，AC⊥BD， ∴∠BOD＝90°， ∵∠CBD＝30°， ∴∠BCO＝90°﹣∠CBD＝60°， ∵OE⊥BC， ∴∠CEO＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠BCO＝30°， ∵CE＝2， ∴OC＝2CE＝4， ∴． 故选：C． 7．【答案】C 【分析】由菱形的判定定理即可得出答案． 【解答】解：如图，四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 故A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，且∠B＝∠C=90° ∴四边形ABCD为矩形， 故B不符合题意； ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形． 故C符合题意； 又∵AC＝BD， ∴四边形ABCD为矩形， 故D不符合题意； 故选：C． 8．【答案】A 【分析】过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积＝AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AMAD'，D'MAMAD'，然后求出菱形ABC′D′的面积＝AB×D'MAB2，即可求解． 【解答】解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示： 则∠D'MA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积＝AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵∠DAD′＝30°， ∴∠D'AM＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AD'M＝30°， ∴AMAD'，D'MAMAD'， ∵四边形ABC′D′是菱形， ∴AB＝AD'＝AD，菱形ABC′D′的面积＝AB×D'MAB2， ∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比， 故选：A． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】AC⊥BD（答案不唯一）． 【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出答案． 【解答】解：添加条件是AC⊥BD， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， 故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． 10．【答案】120°，． 【分析】根据菱形的性质得到AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C＝60°，如图所示，连接BD，可证△ADM≌△DBN（SAS），∠ADM＝∠DBN，由三角形外角的性质可得∠BEM＝60°，即可得到∠BED＝120°，根据题意得到点B，C，D，E四点共圆，设圆心为O，连接AE，OB，OD，如图所示，可证△ABO≌△ADO（SSS），得，△CBO≌△CDO（SSS），得，在Rt△ABO中，由，得，当点A，E，O三点共线时，AE＝AO﹣OE，此时AE的值最小，由此即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C＝60°， 连接BD， ∴△ABD是等边三角形，AB＝BD＝AD，∠A＝∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵AD＝DB，∠A＝∠ADB＝60°，AM＝DN， ∴△ADM≌△DBN（SAS）， ∴∠ADM＝∠DBN， ∵∠ADM+∠BDM＝∠ADB＝60°， ∴∠DBN+∠BDM＝60°＝∠BEM， ∴∠BED＝180°﹣∠BEM＝120°， ∵∠BED+∠C＝120°+60°＝180°， ∴点B，C，D，E四点共圆，设圆心为O，连接AE，OB，OD， 在△ABO和△ADO中， ， ∴△ABO≌△ADO（SSS）， ∴， 同理，△CBO≌△CDO（SSS）， ∴， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠ABO＝∠ABC﹣∠OBC＝120°﹣30°＝90°， ∴在Rt△ABO中，， ∴， ∴， 当点A，E，O三点共线时，，此时AE的值最小， 故答案为：120°；． 11．【答案】2． 【分析】E作EM⊥BC，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AP＝MH，因为AG≥GF，所以求出MH的值即可得解． 【解答】如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AP⊥GM于点P， ∵∠EMF+∠EGF＝180°， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴∠EMG＝∠EFG＝30°， ∵∠B＝60°， ∴∠BEM＝30°＝∠EMG， ∴MG∥AB， ∴四边形MHAP是矩形， ∴MH＝AP， ∵BE＝8， ∴EM＝BE•cos30°＝4， ∴MHEM＝2AP， ∴AG≥AP＝2， ∴AG最小值是2． 故答案为：2． 12．【答案】20°． 【分析】过点D作DE∥PQ，则DE∥PQ∥MN，得∠ADE＝∠NAD＝130°，由菱形的性质可知∠ADC＝∠ABC＝150°，则∠ECD＝∠ADC﹣∠ADE＝20°，进而可知∠DCQ＝∠ECD＝20°． 【解答】解：过点D作DE∥PQ， ∵MN∥PQ， ∴DE∥PQ∥MN， ∴∠ADE＝∠NAD＝130°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC＝∠ABC＝150°， ∴∠ECD＝∠ADC﹣∠ADE＝150°﹣130°＝20°， ∵DE∥PQ， ∴∠DCQ＝∠ECD＝20°， 故答案为：20°． 13．【答案】24． 【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2OC＝6，BD＝2OD，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出CD＝2OE＝5，进而根据勾股定理求得OD＝4，然后根据菱形的性质求得其面积，即可． 【解答】解：由条件可知AC⊥BD，AC＝2OC＝6，BD＝2OD， ∵， ∴CD＝2OE＝5， 在Rt△OCD中，， ∴BD＝2OD＝8， ∴菱形ABCD的面积为， 故答案为：24． 14．【答案】 【分析】连接BD交CE于点K，过点K作KH⊥BC于点H，设AE＝a，则BE＝2a，AB＝3a，根据菱形性质得△ABD和△CBD都是等边三角形，AB∥CD，BD＝AB＝CD＝3a，证明△CDK和△EBK相似得，由此得BK，BHBK，KH，则CH，CK，EK，则CE＝CK+EK，证明△BCK和△ABF全等得CK＝BF，由此可得的值． 【解答】解：连接BD交CE于点K，过点K作KH⊥BC于点H，如图所示： 设AE＝a， ∵2AE＝BE， ∴BE＝2a， ∴AB＝AE+BE＝3a， ∴四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∠ADB＝∠CDB∠ADC＝60°，∠ABC＝∠ADC＝120°， AB∥CD， ∴△ABD和△CBD都是等边三角形， ∴∠CBK＝∠A＝60°，BD＝AB＝3a， ∵AB∥CD， ∴△CDK∽△EBK， ∴， 设DK＝3x，BK＝2x， ∴BD＝BK+DK＝5x＝3a， ∴x， ∴BK＝2x， ∵KH⊥BC， ∴在Rt△BKH中，∠BKH＝90°﹣∠CBK＝30°， ∴BHBK， 由勾股定理得：KH， ∴CH＝BC﹣BH， 在Rt△CKH中，由勾股定理得：CK， 由，得：EKCK， ∴CE＝CK+EK， 在△BCE中，∠BEC+∠BCK＝180°﹣∠ABC＝60°， ∵∠EGF＝60°，且∠EGF是△GBE的外角， ∴∠EGF＝∠BEC+∠ABF＝60°， ∴∠BCK＝∠ABF， 在△BCK和△ABF中， ， ∴△BCK≌△ABF（ASA）， ∴CK＝BF， ∴． 15．【答案】． 【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得，AC⊥BD，取OE中点H，连接GH，则，GH∥OB，再用勾股定理解Rt△GHF即可． 【解答】解：方法一：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12， ∴，AC⊥BD， ∵AE＝2， ∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2， 如图，取OE中点H，连接GH， ∵点G为BE的中点，点H为OE的中点， ∴GH是三角形EBO的中位线， ∴，GH∥OB， ∴∠GHE＝∠BOA＝90°， ∵OF＝1， ∴， 在直角三角形GFH中，由勾股定理得：； 方法二：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，AE＝2，OF＝1， ∴OB＝6，OC＝4， ∴CE＝8﹣2＝6，CF＝OC﹣OF＝4﹣1＝3， ∴F为CE的中点， 又∵点G为BE的中点， ∴GF为△BCE的中位线， ∵BC2， ∴FG． 故答案为：． 16．【答案】6 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC，由AE⊥BC，垂足为E，得∠AEC＝90°，则OE＝OA＝OCAC，因为OE，所以AC＝2OE＝2，而BD＝6，则S菱形ABCDAC•BD＝6，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC， ∵AE⊥BC，垂足为E，OE， ∴∠AEC＝90°， ∴OE＝OA＝OCAC， ∴AC＝2OE＝2， ∵BD＝6， ∴S菱形ABCDAC•BD26＝6， 故答案为：6． 三、解答题（共5小题） 17．【答案】（1）9.6； （2）． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB的值，根据等面积法列方程求解即可； （2）根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，AO＝CO，证明△CDF∽△COD，得到CD2＝CO•CF，进而求出，根据勾股定理求出DO＝2，根据等面积法即可得出答案． 【解答】解：（1）由菱形的性质可得，AO＝8，BO＝6，∠AOB＝90°， ∴， ∵， ∴， 解得：DH＝9.6； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，AO＝CO， ∴∠AED＝∠CDE， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∴∠CDF＝∠COD＝90°， 又∵∠DCF＝∠OCD， ∴△CDF∽△COD， ∴， 即CD2＝CO•CF， ∵AF＝3，FC＝5， ∴AC＝AF+CF＝3+5＝8， ∴AO＝CO＝4， ∴OF＝AO﹣AF＝4﹣3＝1， ∴CF＝5， ∴CD2＝4×5＝20， ∴， 即， ∴， ∴DB＝4， ∵， ∴， 解得：． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】根据菱形的性质可以得出AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，进而就可以得出△ABE≌△ADF，从而得出AE＝AF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D， ∴BCCD． ∵E、F分别是BC、CD的中点， ∴BEBC，DFCD， ∴BE＝DF． 在△ABE和△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF． 19．【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）先证明四边形ABFE是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线定义证明∠ABE＝∠AEB，进而得AB＝AE，据此可得出结论 （2）先证明四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是正方形，四边形EFCD是矩形，则DE＝CF，再根据等腰直角三角形的性质得OE＝OF，∠OFE＝∠BEF＝45°，则∠OED＝∠OFC＝135°，由此可依据“SAS”判定△OED和△OFC全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∵AD∥BC， ∴∠FBE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴平行四边形ABFE是菱形； （2）证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， 由（1）可知：四边形ABFE是菱形， 又∵∠ABC＝90°， ∴菱形ABFE是正方形， ∴∠BFE＝∠EFC＝90°，BF＝EF，∠BEF＝45°， ∴∠EFC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∴四边形EFCD是矩形， ∴DE＝CF，∠FED＝90°， ∵BF＝EF，∠BEF＝45°， ∴△BFE是等腰直角三角形， ∵点O是BE的中点， ∴OF＝OE＝OBBE， ∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠OFE＝∠BEF＝45°， ∴∠OED＝∠BEF+∠FED＝45°+90°＝135°，∠OFC＝∠OFE+∠EFC＝45°+90°＝135°， ∴∠OED＝∠OFC＝135°， 在△OED和△OFC中， ， ∴△OED≌△OFC（SAS）， ∴∠ADO＝∠BCO． 20．【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）四边形BEDF是菱形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵AE＝CF，OE＝OA﹣AE，OF＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∴OB＝OD，OE＝OF，EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． 【分析】（1）先由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，进而得∠BAE＝∠DCF，即可通过SAS证明△ABE≌△CDF； （2）根据菱形的性质的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再根据AE＝CF得OE＝OF，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：四边形BEDF是菱形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵AE＝CF，OE＝OA﹣AE，OF＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∴OB＝OD，OE＝OF，EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． 21．【答案】当t＝6s时，四边形ACFE是菱形． 【分析】首先由等边三角形的性质得到AC＝BC＝6cm，然后得到AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，然后根据菱形的判定得到t＝6，进而验证求解即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BC＝6cm， ∴BC＝AC＝6cm， ∵点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动， ∴AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm， ∵AG∥BC， ∴当AC＝CF＝AE时，四边形AECF是菱形， ∴t＝6， 此时CF＝2t﹣6＝6，符合题意． ∴当t＝6s时，四边形ACFE是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $