2026年中考数学重难点一轮复习：专题28 相似与位似

专题28 相似与位似 一、选择题（共10小题） 1．（2026•固镇县一模）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2026•固镇县一模）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（　　） A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1） 3．（2025•射洪市校级二模）如图，DE∥BC，BD，CE相交于O，，AE＝4，则线段BE的长为（　　） A．6 B．10 C．8 D．7 4．（2025•红塔区校级三模）如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB＝1，CD＝2，则△ABO与△DCO的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 5．（2025•无锡校级模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝7，M是BC上一点，且BM＝2CM，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD交AC于F，则FC＝（　　） A．3 B． C．4 D． 6．（2025•广州二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（　　） A．30cm B． C．20cm D． 7．（2025•江北区校级一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若AO：OD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9 8．（2025•江阳区校级模拟）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　） A． B． C． D．1 9．（2025秋•武侯区校级期中）如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025•深圳模拟）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm 二、填空题（共10小题） 11．（2024•二道区校级模拟）一些木工师傅利用平行四边形的不稳定性制作了一种放缩尺，可将图形进行缩放．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，OD＝AD＝1，AB＝A'B＝2，以点O为轴心，在A处和A′处安装制图笔，当A处制图笔所画图形的面积为3时，则A'处制图笔所画图形的面积是 　 　 ． 12．（2026•西安校级一模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣4），B（﹣6，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是 　 　 ． 13．（2026•泸县校级一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△DOE与△BOC的面积之比为　 　 ． 14．（2026•固镇县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，点F为CB延长线上一点，EF∥BD交AB于点G，若，则 　 　 ． 15．（2025•宁海县二模）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，点F是AE的中点，连结DE，BF交于点G，若EG＝5，则DG＝ 　 　 ． 16．（2025•吐鲁番市二模）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度AB为1.6cm时，所成的像A′B′的高度为 　 　 cm． 17．（2025•柯桥区二模）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　 　 ． 18．（2025•深圳模拟）若2x＝3y，则　 　 ． 19．（2025•射阳县一模）如图，DE∥BC，且AD＝4，DB＝2，DE＝3.5，则BC的长度为 　 　 ． 20．（2025•绵阳）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为　 　 m． 三、解答题（共6小题） 21．（2025•长沙模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE与AC交于点F，∠CDE＝∠ADB． （1）求证：△CDE∽△CBD； （2）已知AB＝2，BC＝4，求△CEF的面积． 22．（2025•河北模拟）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 23．（2025•广州二模）如图，已知点E，F在线段BD上，AE∥FC，AE＝2FC，BE＝2DF，求证：AB＝2CD． 24．（2025•江岸区校级模拟）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度． 25．（2025•淮安校级模拟）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 26．（2025•大渡口区模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E． （1）求证：△ABO∽△BEO； （2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长． 参考答案 一、选择题（共10小题） 1．【答案】D 【分析】利用比例的性质进行计算即可解答． 【解答】解：∵， ∴， 故选：D． 2．【答案】D 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【解答】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）． 故选：D． 3．【答案】A 【分析】首先由DE∥BC证得△DOE∽△BOC，应用相似三角形对应边的比相等得，再由DE∥BC证得△AED∽△ABC，得到，求得AB的长，进而求得BE的长度． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△DOE∽△BOC， ∴， ∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴， 又∵，AE＝4， ∴， 解得AB＝10， ∵AE+BE＝AB， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣4＝6， 故选：A． 4．【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△AOB∽△DOC， ∵， ∴， 故选：B． 5．【答案】C 【分析】可通过作辅助线，即延长FM到N，使MN＝2MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 【解答】解：如图，延长FM到N，使MN＝2MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E， ∵BM＝2CM， ∵∠BMN＝∠CMF， ∴△BMN∽△CMF， ∴BN＝2CF，∠N＝∠MFC， 又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD， ∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N， ∴AE＝AF，BN＝BE， ∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝3FC， ∴FC（AB+AC）＝4． 故选：C． 6．【答案】B 【分析】证明△COD∽△BOA，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【解答】解：根据题意得CD∥AB， ∴△COD∽△BOA， ∴， ∵AB＝50cm， ∴， 故选：B． 7．【答案】D 【分析】根据两个位似三角形的相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可得出结果． 【解答】解：由题意可得： ∴△ABC与△DEF的相似比为2：3， ∴△ABC与△DEF的面积比为4：9． 故选：D． 8．【答案】D 【分析】根据H是AB的黄金分割点求出AH2＝BH⋅AB，求出，S2＝BH⋅BC＝BH⋅AB，再得出答案即可． 【解答】解：∵H是AB的黄金分割点， ∴AH2＝BH⋅AB， ∵，S2＝BH⋅BC＝BH⋅AB， ∴S1＝S2，即， 故选：D． 9．【答案】C 【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE＝BF，BD＝EF； ∵DE∥BC， ∴， ， ∵EF∥AB， ∴，， ∴， 故选：C． 10．【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比，且AB＝10cm， 所以AC≈0.618AB＝6.18（cm）． 故选：C． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】27． 【分析】根据相似三角形的性质得出A'处制图笔所画图形的面积与A处制图笔所画图形的面积之间的关系即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC＝AD＝1，BC∥AD， ∴A′C＝2+1＝3． 连接OA′，由题知点A在OA′上， ∵BC∥AD， ∴△ADO∽△ACO． 又∵， ∴A'处制图笔所画图形的面积与A处制图笔所画图形的面积的比值为9， 又∵A处制图笔所画图形的面积为3， ∴A'处制图笔所画图形的面积是27． 故答案为：27． 12．【答案】（﹣3，1）或（3，﹣1）． 【分析】由以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，直接利用位似图形的性质求解即可求得答案． 【解答】解：∵B（﹣6，2），以原点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABO缩小， ∴点B的对应点B′的坐标是：（﹣3，1）或（3，﹣1）． 故答案为：（﹣3，1）或（3，﹣1）． 13．【答案】1：9． 【分析】先求出，再证明△ADE∽△ABC得到，接着证明△DOE∽△COB，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【解答】解：∵AE+EC＝AC，， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴△DOE∽△COB， ∴， 故答案为：1：9． 14．【答案】． 【分析】根据平行四边形的性质可得△AEG≌△BFG，得出AE＝BF，再由EF∥BD可得△BFG∽△CBD，利用相似比即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠A＝∠FBG，∠AEG＝∠F，∠FBG＝∠C， ∵点E为AD的中点， ∴AG＝BGABDC， ∴△AEG≌△BFG， ∴AE＝BF， ∵EF∥BD， ∴∠F＝∠CBD， ∴△BFG∽△CBD， ∴， ∴BC＝2BF，CF＝3BF， ∵， ∴， ∴BG＝αBF， ∴， 故答案为：． 15．【答案】2.5 【分析】根据三角形中位线定理得DE∥BC，DEBC，根据相似三角形的判定和性质得△EFG∽△CFB，可得，则BC＝15，DE＝7.5，根据线段的和差计算即可． 【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点， ∴DE∥BC，DEBC，AE＝CE， ∵点F是AE的中点， ∴AE＝CE＝2FE， ∴FC＝3FE， ∵DE∥BC， ∴△EFG∽△CFB， ∴， ∵EG＝5， ∴BC＝15， ∴DE＝7.5， ∴DG＝DE﹣EG＝7.5﹣5＝2.5， 故答案为：2.5． 16．【答案】3.2． 【分析】设AA′与BB′相交于点O，过点O作OB⊥AB，垂足为C，延长CO交A′B′于点D，根据题意可得：OCOD，AB∥A′B′，从而可得∠OAB＝∠OA′B′，∠OBA＝∠OB′A′，然后证明8字模型相似△OAB∽△OA′B′，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：设AA′与BB′相交于点O，过点O作OB⊥AB，垂足为C，延长CO交A′B′于点D， 由题意得：OCOD，AB∥A′B′， ∴∠OAB＝∠OA′B′，∠OBA＝∠OB′A′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴， ∴， 解得：A′B′＝3.2， ∴所成的像A′B′的高度为3.2cm， 故答案为：3.2． 17．【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则APAB，代入数据即可得出AP的长． 【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点， 且AP是较长线段； 则AP＝21． 18．【答案】 【分析】根据比例的性质直接解答即可． 【解答】解：∵2x＝3y， ∴． 故答案为：． 19．【答案】5.25． 【分析】根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD＝4，DB＝2，DE＝3.5， ∴， ∴BC＝5.25， 故答案为：5.25． 20．【答案】10． 【分析】过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，则BH⊥CD，从而可得∠BGD＝∠BHF＝90°，根据题意可得：AB＝CG＝EH＝1.6m，AC＝BG＝2m，CE＝GH＝10m，从而可得BH＝12m，DG＝1.4m，然后证明△BDG∽△BFH，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，则BH⊥CD， ∴∠BGD＝∠BHF＝90°， 由题意得：AB＝CG＝EH＝1.6m，AC＝BG＝2m，CE＝GH＝10m， ∴BH＝BG+GH＝2+10＝12（m）， ∵CD＝3m， ∴DG＝CD﹣CG＝3﹣1.6＝1.4（m）， ∵∠DBG＝∠FBH， ∴△BDG∽△BFH， ∴， ∴， 解得：FH＝8.4， ∴EF＝FH+EH＝8.4+1.6＝10（m）， ∴大树的高度EF为10m， 故答案为：10． 三、解答题（共6小题） 21．【答案】（1）见解析过程； （2）． 【分析】（1）由平行线的性质可证∠EDC＝∠CBD＝∠ADB，即可得结论； （2）由相似三角形的性质可求EC的长，通过证明△ADF∽△CEF，可得，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，CD＝AB， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠EDC＝∠ADB， ∴∠EDC＝∠CBD， 又∵∠ECD＝∠DCB， ∴△CDE∽△CBD； （2）解：∵△CDE∽△CBD， ∴， ∵AB＝CD＝1，BC＝AD＝4， ∴EC＝1， ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△CEF， ∴， ∵S△ADC4×2＝4， ∴S△DFCS△ADC， ∴S△EFCS△FDC． 22．【答案】（1）BC＝3； （2）灯泡到地面的高度AG为1.2m． 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长． 【解答】解：（1）FC∥DE， 则△BFC∽△BED， 则， 即， ∴BC＝3； （2）∵AC＝5.4m， ∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m）， ∵∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴， ∴， 解得：AG＝1（m）， 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】根据AE∥FC，∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFD+∠EFC＝180°，可证得∠AEB＝∠CFD，进而可证得△ABE∽△CDF． 【解答】解：∵AE∥FC， ∴∠AEF＝∠EFC， 又∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFD+∠EFC＝180°， ∴∠AEB＝∠CFD， ∵AE＝2FC，BE＝2DF， ∴， ∴△ABE∽△CDF， ∴， ∴AB＝2CD． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，得△ADE∽△ACB，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵AD＝3，AB＝8，AE＝4， ∴， ∴AC＝6． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用有两对角相等的两个三角形相似证明即可； （2）由（1）可得，再证明△GDC∽△BAC，所以，进而可证明CG•AB＝CB•DG． 【解答】解： （1）证明：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高， ∴∠BGC＝∠ADC＝90°． 又∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BGC； （2）∵△ADC∽△BGC， ∴． ∴． 又∠D＝∠C， ∴△GDC∽△BAC． ∴． ∴CG•AB＝CB•DG． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）证AB＝CB，得▱ABCD是菱形，再由菱形的性质得AC⊥BD，可得∠AOB＝∠BOE＝90°，再由BE⊥AB，可得∠EBA＝90°，从而得出∠BEO＝∠ABO， 然后证△ABO∽△BEO即可； （2）由勾股定理得OB＝6，由△ABO∽△BEO，得，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB， ∴AB＝CB， ∴▱ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOE＝90°， ∵BE⊥AB， ∴∠EBA＝90°， ∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BEO＝∠ABO， ∴△ABO∽△BEO； （2）解：∵▱ABCD是菱形， ∴，AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOE＝90°， ∴， ∵△BOE∽△AOB， ∴， 即， 解得：， 即OE的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $