2026年中考数学重难点一轮复习：专题27 锐角三角函数及应用

专题27 锐角三角函数及应用 一、选择题（共8小题） 1．（2026•固镇县一模）如图，AB是河堤横断面的迎水坡．坡高AC＝1，水平距离BC，则斜坡AB的坡度为（　　） A． B． C．30° D．60° 2．（2025•雨花区校级二模）在△ABC中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（　　） A．∠A＝30° B．∠B＝30° C．△ABC是等边三角形 D．△ABC是直角三角形 3．（2025•崂山区一模）如图，已知∠B＝90°，∠DAB＝55°，∠CAB＝45°，AB＝a，则CD的长是（　　） A．a•tan55°﹣a B．a•sin55°﹣a C．a•cos55°﹣a D． 4．（2025•衢州一模）如图，△ABC的三个顶点都在3×1的正方形网格的格点上，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2025•浙江一模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 6．（2025•南关区校级四模）如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰△ABC，AB＝AC，其中斜坡AB与水平地面BC所成夹角∠ABC＝25°，当BC＝4米时，土堆顶端A到地面的距离AD为（　　） A．4tan25°米 B．米 C．2tan25°米 D．2sin25°米 7．（2025•宽城区校级二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔P为10海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向B处，那么海轮航行的距离AB的长是（　　） A．10海里 B．10sin50°海里 C．10cos50°海里 D．10tan50°海里 8．（2025•雷州市三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共8小题） 9．（2025•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD，AB＝26，则点B到AD的距离为 　 　 ． 10．（2025•辽宁模拟）sin60°的值为　 　 ． 11．（2025•嘉峪关校级三模）如图，一名滑雪运动员沿着坡比为的滑道，从A滑行至B，已知AB＝300米，则这名滑雪运动员的高度下降了　 　 米． 12．（2025•辽宁模拟）在三角形ABC中，余切通常指的是直角三角形中一锐角的邻边与对边的比，通常用cot表示，若Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝1，cotA＝2，则三角形ABC的周长为 　 　 ． 13．（2025•赣榆区模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为　 　 ． 14．（2025•韶关模拟）在锐角三角形ABC中，若∠A，∠B满足，则∠C＝　 　 ． 15．（2025•翔安区二模）计算：sin45°﹣cos45°＝　 　 ． 16．（2025•绥化一模）在△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝3，tanA，那么AC＝　 　 ． 三、解答题（共5小题） 17．（2025•四川校级模拟）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上． （1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； （2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 18．（2025•新余校级一模）绿色出行，健康出行，“你我同行”．某地为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是共享单车放在水平场地的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，∠1＝58°，∠BCD＝58°，已知车轮的半径为20cm，BC＝90cm．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） （1）求证：AM∥BC； （2）求横杆AB到地面的距离（结果精确到1cm）． 19．（2025•铁西区二模）如图，一艘轮船航行到海上点A处时，观察到岸边灯塔B在南偏西35°方向的海里处，岸边另一座灯塔C在北偏西70度方向，且直线BC与直线AB的夹角∠B＝45°，求两座灯塔B，C之间的距离．（精确到1海里，参考数据：） 20．（2025•兴隆台区二模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝2m，折臂底座高CD＝1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m． （1）求下折臂DE的长； （2）求路灯AB的高． （结果精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93， 21．（2025•资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）． （1）求平台BN的高度； （2）求建筑物的高度（即CD的长）． 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】A 【分析】根据坡度的定义直接求解即可． 【解答】解：∵坡高AC＝1，水平距离BC， ∴斜坡AB的坡度为tanB， 故选：A． 2．【答案】C 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形的内角和定理求出∠C的值，进而判断出三角形的形状． 【解答】解：∵sinA， ∴∠A＝60°； 又∵tanB， ∴∠B＝60°． ∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°． 故选：C． 3．【答案】A 【分析】根据正切的定义，表示出BD和BC的长，进一步表示出CD的长即可． 【解答】解：在Rt△ABD中， tan∠DAB， 所以BD＝a•tan55°． 又因为∠ACB＝45°， 所以△ABC是等腰直角三角形， 所以BC＝AB＝a， 所以CD＝BD﹣BC＝a•tan55°﹣a． 故选：A． 4．【答案】A 【分析】根据题意，在Rt△ABM中结合正切的定义即可解决问题． 【解答】解：如图所示， 令小正方形的边长为a， 在Rt△ABM中， tanB． 故选：A． 5．【答案】C 【分析】过点B作AC边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为M， 根据勾股定理得， BM， CM， 在Rt△BCM中， tan∠ACB． 故选：C． 6．【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出BD，再根据正切的定义计算，得到答案． 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DCBC＝2米， 在Rt△ADB中，∠ABC＝25°， ∵tan∠ABC， ∴AD＝BD•tan∠ABC＝2tan25°（米）， 故选：C． 7．【答案】C 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA＝50°，AP＝10海里，∠ABP＝90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A＝∠NPA＝50°．然后解Rt△ABP，得出AB＝AP•cos∠A＝10cos50°海里． 【解答】解：如图，由题意可知∠NPA＝50°，AP＝10海里，∠ABP＝90°． ∵AB∥NP， ∴∠A＝∠NPA＝50°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝50°，AP＝10海里， ∴AB＝AP•cos∠A＝10cos50°海里． 故选：C． 8．【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴sinA， 故选：C． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】10． 【分析】过点D作DH⊥AB于点H．可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k，证明DH＝CD＝5k，利用面积法求解． 【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H． ∵∠C＝90°，cos∠CAD， ∴可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k， ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DH＝DC＝5k， 设点B到AD的距离为h，则有13k×h26×5k， 解得h＝10． 故答案为：10． 10．【答案】 【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解答】解：sin60°． 故答案为：． 11．【答案】150． 【分析】根据坡比的定义，得到AC和BC的关系，利用勾股定理求出AB和AC的关系，从而求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，坡比为的滑道，AB＝300米， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴（米）， 故答案为：150． 12．【答案】1． 【分析】解直角三角形求出AC，BC可得结论． 【解答】解：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°， ∴cotA2， 设BC＝x，则AC＝2x， ∵AB＝1， ∴x2+（2x）2＝1， ∴x（负根已经舍去）， ∴BC，AC， ∴△ABC的周长＝BC+AC+AB1． 故答案为：1． 13．【答案】 【分析】借助于格点，连接BM，AM，得出BM∥DC，进而得出∠ABM＝∠APC，最后在Rt△ABM中根据正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：连接BM，AM， 则BM∥DC，∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝∠APC． 令正方形网格的边长为a， 则AM， AB． 在Rt△ABM中， sin∠ABM， ∴sin∠APC＝sin∠ABM． 故答案为：． 14．【答案】75°． 【分析】先根据非负数的性质得，，再利用特殊角的三角函数值得到∠A和∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数． 【解答】解：由条件可知，， 即，， ∴∠A＝60°，∠B＝45°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣60°-45°＝75°． 故答案为：75°． 15．【答案】0． 【分析】根据sin45°＝cos45°代入进行计算即可． 【解答】解：原式0． 故答案为：0． 16．【答案】 【分析】根据tanA，于是得到，即可求出AC． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3， ∵tanA， ∴AC， 故答案为：． 三、解答题（共5小题） 17．【答案】（1）3.8m； （2）66°，能安全使用． 【分析】（1）根据α的取值范围得出，当α＝72°时，AO取得最大值，利用三角函数求出此时的AO值即可； （2）根据得出函数值，判断出∠ABO的度数，再根据角度得出结论即可． 【解答】解：（1）∵53°≤α≤72°， ∴当α＝72°时，AO取最大值， 在Rt△AOB中，， ∴AO＝AB•sin∠ABO＝4×sin72°≈4×0.95＝3.8（m）， ∴梯子顶端A与地面的距离的最大值约为3.8m； （2）在Rt△AOB中，cosABO0.41， ∵cos66°≈0.41， ∴∠ABO＝66°， ∵53°≤α≤72°， ∴人能安全使用这架梯子． 18．【答案】（1）由题意可知，AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝58°， ∴∠ABC＝∠1， ∴AM∥BC． （2）97cm． 【分析】（1）根据AB，CD都与地面平行，得AB∥CD，结合∠BCD＝58°，得到∠ABC＝∠BCD＝58°，结合∠1＝58°，得到∠ABC＝∠1，于是可证AM∥BC． （2）过点C作CE⊥AB于点E，交地面于点F，过点D作DG⊥FG交地面于点G，则四边形CDGF是矩形，根据正弦函数解答即可． 【解答】（1）证明：由题意可知，AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝58°， ∴∠ABC＝∠1， ∴AM∥BC． （2）解：过点C作CE⊥AB于点E，交地面于点F，过点D作DG⊥FG交地面于点G， 则四边形CDGF是矩形， ∴CF＝DG， ∵车轮的半径为20cm， ∴CF＝DG＝20cm， ∵BC＝90cm，∠ABC＝58°， ∴CE＝BCsin∠ABC≈76.5cm， ∴EF＝CE+CF＝96.5cm≈97（cm）， 答：横杆AB到地面的距离约为97cm． 19．【答案】两座灯塔B，C之间离约为71海里． 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据题意求出∠CAH＝30°，分别解直角三角形ACH，ABH，求出BH，CH，即可解答． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H， 由条件可知∠BAH＝90°﹣∠B＝45°， ∴∠CAH＝75°﹣∠BAH＝30°， 在Rt△ABH中，海里， ∴BH＝AB•cosB＝45海里，AH＝AB•sinB＝45海里， 在Rt△ACH中，海里， ∴BC＝CH+BH＝71海里， 答：两座灯塔B，C之间的距离约为71海里． 20．【答案】（1）下折臂DE的长约为4.2m； （2）路灯AB的高约为9.2m． 【分析】（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H，由题意可得四边形HGCD是矩形，则HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°，推出EH＝EG﹣HG＝4.5﹣1.5＝3，因为∠CDE＝135°，则∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°．在Rt△EHD中，； （2）过点E作EK⊥AB，垂足为K．根据EK∥HD，推出∠KED＝∠EDH＝45°．因为∠AED＝88°，则∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°，根据GC＝HD＝3，BC＝2，得出BG＝5，由题意可得四边形EGBK是矩形，所以EK＝5，KB＝4.5，在Rt△AEK中，，则AK＝EK×0.93≈5×0.93＝4.65．得出AB＝KB+AK． 【解答】解：（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H， ∴HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°， ∴EH＝EG﹣HG＝4.5﹣1.5＝3， ∵∠CDE＝135°， ∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°． ∴在Rt△EHD中，， 答：下折臂DE的长约为4.2m． （2）过点E作EK⊥AB，垂足为K． ∵EK∥HD， ∴∠KED＝∠EDH＝45°． ∵∠AED＝88°， ∴∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°， ∵GC＝HD＝3，BC＝2， ∴BG＝5， 由题意可得四边形EGBK是矩形， ∴EK＝5，KB＝4.5， 在Rt△AEK中，， ∴AK＝EK•0.93°≈5×0.93＝4.65． ∴AB＝KB+AK＝4.5+4.65＝9.15≈9.2（m）． 答：路灯AB的高约为9.2m． 21．【答案】（1）10米； （2）（1515）米． 【分析】（1）过点B作BE⊥AM于E，根据坡度的概念得到AE＝3BE，再根据勾股定理求出BE； （2）延长CD交AM于F，设CD＝x米，根据正切的定义用x表示出AF、EF，根据题意列式计算得到答案． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AM于E， ∵斜坡AB的坡度为1：3， ∴， ∴AE＝3BE， 在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即（10）2＝BE2+（3BE）2， 解得：BE＝10， 答：平台BN的高度为10米； （2）如图，延长CD交AM于F， 则CF⊥AM， ∴四边形BEFD为矩形， ∴DF＝BE＝10米，BD＝EF， 设CD＝x米，则CF＝（x+10）米， 在Rt△ACF中，∠CAF＝30°， ∵tan∠CAF， ∴， ∴AF（x+10）米， 在Rt△CBD中，∠CBD＝60°， 则BDx米， 由（1）可知：AE＝3BE＝30米， ∴（x+10）x＝30， 解得：x＝1515， 答：建筑物的高度为（1515）米． 学科网（北京）股份有限公司 $