2026年中考数学重难点一轮复习：专题26 直角三角形

专题26 直角三角形 一、选择题（共8小题） 1．（2025•珠海校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则cosA的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•银川校级一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝24，则S2的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．6 3．（2025•池州三模）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D点，AC＝4，AB＝5，则BD的长度为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•织金县三模）在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝8，AB＝10，则BC的长是（　　） A．7 B．6 C．5 D．2 5．（2024•海南）设直角三角形中一个锐角为x度（0＜x＜90），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝180+x B．y＝180﹣x C．y＝90+x D．y＝90﹣x 6．（2025•五华区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝2，则BC的长是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 7．（2025•未央区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，若BC＝12，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（2025•黔南州一模）将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 二、填空题（共8小题） 9．（2025•十堰校级模拟）如图1，跷跷板是常见的一种游戏．跷跷板一端着地时如图2，支柱OM⊥地面MN，OA＝OB，PC为握把，且PC⊥AB于C，AC＝40cm，OM＝70cm．跷跷板可以绕点O转动，如图3是跷跷板水平时即EF∥MN，此时点A、C、D、B对应点分别为点E、G、H、F，恰有AE＝AG．则跷跷板AB的长为 　 　 cm． 10．（2025•河南）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 　 　 ． 11．（2025•韩城市一模）如图，“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．它是由四个全等直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．若中间的小正方形EFGH的周长为4，AE＝1，则大正方形ABCD的周长为　 　 ． 12．（2025•花溪区校级一模）如图，在△ABC中，AC＝11，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD⊥BE交BE的延长线于点D，若BD＝8，则BC的长为　 　 ． 13．（2025•新宾县校级模拟）如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为 　 　 ． 14．（2025•扬州二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　 　 ． 15．（2025•渭源县模拟）如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为　 　 ． 16．（2025•大渡口区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相交于点F．若BD＝4cm，AF＝3cm，则EC的长为 　 　 cm． 三、解答题（共4小题） 17．（2025秋•北京期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，DA⊥AC，交BC于点D． （1）求∠BAD的度数； （2）若AD＝4，求BC的长． 18．（2025•南海区校级模拟）综合与实践 主题：检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB． 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边AD，边BC和底边AB的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB． 解决问题： （1）通过测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，BD的长是100厘米，边AD垂直于边AB吗？为什么？ （2）如果你随身只有一个长度为30cm的刻度尺，你能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 19．（2025•泉州校级模拟）某校八年级数学兴趣小组开展“测量旗杆高度”数学活动． 如图1，甲组利用含30°角的直角三角尺（即Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°）进行测量，小文同学将三角尺水平放置于眼前，使直角边BC垂直于地面l，行走到点P处时，视线透过AB边刚好经过旗杆顶部M．经测得，小文的眼睛离地面AP＝1.6m，点P离旗杆底部距离PN＝6m． 如图2，乙组发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面后多出一段DN，该绳子长度未知． （1）根据甲组的方案，求旗杆MN的长（结果保留整数，其中1.73）； （2）请利用卷尺，运用所学知识帮助乙组设计一个测量方案，并写出具体的求解旗杆MN长度的过程．（注：卷尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，卷尺测量得到的长度用a、b、c…表示，方案的相关图示在图2中标注出来，旗杆与绳子间距离忽略不计） 20．（2025秋•太谷区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．若AD＝1，CD＝2，BC＝2，判断△ABC的形状，并说明理由． 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得AC＝8，再依据余弦函数的定义求解可得． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6， 由勾股定理得：AC8， ∴cosA， 故选：A． 2．【答案】B 【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝24， ∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝12，故3x+12y＝24， x+4y＝8， 所以S2＝x+4y＝8． 故选：B． 3．【答案】C 【分析】过D作DE⊥AB交于点E，由角平分线的性质得CD＝DE，进一步利用得出，即可结合勾股定理得出答案． 【解答】解：过D作DE⊥AB交于点E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∴， ∴， ∵AC＝4，AB＝5， ∴， ∴BC， ∴． 故选：C． 4．【答案】B 【分析】直接利用勾股定理计算即可． 【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴根据勾股定理得到：BC10， 故选：B． 5．【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质得到x+y＝90，根据题意列出不等式，解不等式求出x的范围． 【解答】解：在Rt△ABC中，已知其中一个锐角为y°，另一个锐角为x°， 则x+y＝90， ∴y＝90﹣x， 由题意得：90﹣x≥x， 解得：x≤45， ∴y＝90﹣x（0＜x≤45）， 故选：D． 6．【答案】D 【分析】AD⊥AB得Rt△ABD，∠B＝30°，AD＝2，可得BD＝2AD＝2×2＝4，由AB＝AC，∠B＝30°，可知等腰三角形ABC，∠B＝∠C＝30°，∠CAD＝120°﹣90°＝30°，△ACD是等腰三角形，即AD＝CD＝2，由此即可求解． 【解答】解：根据题意得，AD⊥AB得Rt△ABD，∠B＝30°，AD＝2， ∴BD＝2AD＝2×2＝4， ∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴等腰三角形ABC，∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∵AD⊥AB，即∠BAD＝90°， ∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°， ∴△ACD是等腰三角形，即AD＝CD＝2， ∴BC＝BD+DC＝4+2＝6． 故选：D． 7．【答案】A 【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得AB＝4，BC＝8，再利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DC＝4，从而可得DE＝4，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， ∴BCAB，AC＝2AB， ∵BC＝12， ∴AB＝4，BC＝8， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DC＝DA＝4，DE⊥AC， ∵∠C＝30°， ∴DCDE＝4， ∴DE＝4， 故选：A． 8．【答案】C 【分析】根据题意，∠1＝∠BED＝40°，△BDE中，∠BDE＝90°﹣40°＝50°，根据对顶角相等即可求解． 【解答】解：如图所示，∠B＝90°， 根据题意，∠1＝∠BED＝40°（对顶角相等）， 在△BDE中，∠BDE＝90°﹣∠BED＝90°﹣40°＝50°， ∴∠2＝∠BDE＝50°， 所以∠2的度数是50°， 故选：C． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】265． 【分析】由题意得，EG＝AC＝40cm，OE＝OA，过A作AP⊥EG于P，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：由题意得，EG＝AC＝40cm，OE＝OA， 过A作AP⊥EG于P， ∵AE＝AG， ∴PE＝PGEG＝20（cm）， ∵EF∥MN， ∴AP＝OM＝70cm， 在Rt△APO中，AP2+PO2＝AO2， ∴702+（AO﹣20）2＝AO2， ∴AO（cm）， ∴AB＝2OA＝265（cm）， 故答案为：265． 10．【答案】或 【分析】分情况讨论：①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作 AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质得到BD＝CD＝4，证明△ADB∽△PAB，得到，即可求出BP 的长； ②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，由等角对等边得到AM＝PM，再证明△CMP∽△CAD，设CP＝x，进而得出，CMx，根据AC＝AM+CM＝PM+CM，求出x的值，即可求出BP的长； ③当∠CAP＝∠C+90°时，利用锐角三角函数，得出∠C＞30°，∠BAC＜120°，即此种情况不存在； ④当∠CAP＝∠APC+90°时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【解答】解：∵AB＝AC＝5， ∴∠B＝∠C， ∵∠APC＝∠B+∠BAP， ∴∠APC＞∠B， ∴∠APC＞∠C， 若△APC为“反直角三角形”， ①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴， ∴， ∵∠B＝∠C， ∴∠APC﹣∠B＝∠BAP＝90°， ∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°， ∴△ADB∽△PAB， ∴， ∴， ∴； ②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M， ∴∠APC﹣∠APM＝∠CPM＝90°， ∴∠CAP＝∠APM， ∴AM＝PM， ∵PM⊥BC，AD⊥BC， ∴PM∥AD， ∴△CMP∽△CAD， ∴， 设CP＝x，则BP＝8﹣x， ∴， ∴，CM， ∴AC＝AM+CM＝PM+CM， ∴x， ∴BP； ③当∠CAP＝∠C+90°时，如图，在CB上截取CE＝AE，连接AE，过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AC于F， 则∠EAC＝∠C，∠ADE＝∠PAE＝90°， 又∵∠AED＝∠PEA， ∴△AED∽△PEA， ∴， ∵CE＝AE，EF⊥AC， ∴AF＝CFAC， ∵∠ADC＝∠EFC＝90°，∠C＝∠C， ∴△CEF∽△CAD， ∴，即， ∴CEAE， ∴DE＝CD﹣CE， 同理可得：△AED∽△PEA， ∴，即， ∴PE， 又∵BE＝BC﹣CE，， ∴PE＞BE，即点P在CB的延长线上，不符合题意； ④当∠CAP＝∠APC+90°时， ∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC＝∠B＞30°， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，BP的长为或， 故答案为：或． 11．【答案】． 【分析】由四个全等的直角三角形可知 AE＝BF＝CG＝DH＝1，EF＝FG＝GH＝GE＝1，利用勾股定理可求得大正方形ABCD的边长，由此即可求解． 【解答】解：∵中间的小正方形EFGH的周长为4， ∴EF＝FG＝GH＝GE＝1， ∵AE＝1， ∴AE＝BF＝CG＝DH＝1， 根据题意得，在Rt△ABF中，AF＝1+1＝2，BF＝1， ∴， ∴大正方形ABCD的周长为， 故答案是：． 12．【答案】． 【分析】过点C作CG∥AB，交BD的延长线于点G，延长DG到点F，使得GC＝GF，可得出AC＝BG＝BD+DG，得到DG＝3；根据等边对等角，得到∠GCF＝∠GFC，从而得到∠A＝∠ECG＝∠EGC＝2∠GFC＝2∠CBE，得到∠GFC＝∠CBE，从而得到CB＝CF，根据等腰三角形的三线合一性质，得到BF＝2BD＝16，继而得到GC＝GF＝BF﹣BG＝BF﹣AC＝5，根据勾股定理，得DC＝4，再次运用勾股定理计算BC即可． 【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，交BD的延长线于点G，延长DG到点F，使得GC＝GF，连接CF， ∴∠A＝∠ECG，∠ABE＝∠EGC． ∵EA＝EB， ∴∠A＝∠ABE， ∴∠ECG＝∠EGC， ∴EC＝EG， ∴AE+EC＝EB+EG，即AC＝BG＝BD+DG， ∴DG＝AC﹣BD＝11﹣8＝3； ∵GC＝GF， ∴∠GCF＝∠GFC， ∴∠A＝∠ECG＝∠EGC＝2∠GFC＝2∠CBE， ∴∠GFC＝∠CBE， ∴CB＝CF， ∴BF＝2BD＝16， ∴GC＝GF＝BF﹣BG＝BF﹣AC＝5， 在直角三角形CDG中，由勾股定理得：， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：． 故答案为：． 13．【答案】50° 【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠， ∴∠CDE＝∠C′DE， ∵∠1＝70°， ∴∠CDE＝∠C′DE＝110°， ∴∠C′DA′＝40°， ∵∠C′＝∠C＝90°， ∴∠2＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50°． 14．【答案】50°． 【分析】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝40°，然后根据平角的性质可得∠3+∠2+90°＝180°即可求得∠2． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝40°， ∵∠3+∠2+90°＝180°， ∴∠2＝50°． 故答案为：50°． 15．【答案】6米． 【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质可以得到AC的长，然后即可计算出AB+AC的值，从而可以得到这棵树在折断前的高度． 【解答】解：∵AB＝2米，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°， ∴AC＝4米， ∴这棵树在折断前的高度为AC+AB＝4+2＝6（米）． 故答案为：6米． 16．【答案】5 【分析】由等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，由含30度角的直角三角形的性质得BEBD＝2cm，由等角对等边得AD＝AF＝3cm，所以BC＝AB＝AD+BD＝7cm，据此即可求解． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝∠CEF＝90°， ∴∠BDE＝∠F＝30°， ∵BD＝4cm， ∴BEBD＝2cm， ∵∠ADF＝∠BDE＝30°， ∴∠ADF＝∠F， ∴AD＝AF＝3cm， ∴BC＝AB＝AD+BD＝7cm， ∴EC＝BC﹣BE＝5（cm）． 故答案为：5． 三、解答题（共4小题） 17．【答案】（1）30°． （2）12． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，∠CAD＝90°；易证得∠DAB＝∠B＝30°； （2）由∠DAB＝∠B得BD＝AD＝4，Rt△ACD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得CD＝2AD＝8；由此可求得BC的长． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°． ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝120°﹣90°＝30°． （2）∵∠B＝∠BAD＝30°， ∴BD＝AD＝4． Rt△DAC中，∠DAC＝90°，∠C＝30°， ∴DC＝2AD＝8， ∴BC＝BD+DC＝12． 18．【答案】（1）AD⊥AB，理由见解析； （2）能，证明见解析． 【分析】（1）根据勾股定理进行检验即可； （2）在AD上取点AE＝3厘米，在线段AB上取AF＝4厘米，连接EF，测量出EF的长即可得出结论． 【解答】解：（1）AD⊥AB，理由： ∵AD＝60厘米，AB＝80厘米，BD＝100厘米，602+802＝1002， ∴AD2+AB2＝BD2， ∴△ABD是直角三角形， ∴AD⊥AB； （2）能，在AD上取点AE＝3厘米，在线段AB上取AF＝4厘米，连接EF，测量出EF＝5厘米，则AD⊥AB， 证明：如图， ∵AE＝3厘米，AF＝4厘米，EF＝5厘米，32+42＝52， ∴AE2+AF2＝EF2， ∴△AEF是直角三角形， ∴AD⊥AB． 19．【答案】（1）旗杆MN的长约为12m； （2）见解答． 【分析】（1）先求出∠AMQ＝30°，在Rt△MCN中利用三角函数即可求出MQ，进而求出MN的长； （2）（方案不唯一）可利用绳子、旗杆、地面构造直角三角形设计方案，再利用勾股定理写出求解过程即可． 【解答】解：（1）∵旗杆MN和BC垂直于地面l， ∴∠AMQ＝∠ABC＝30°， 由题意，知APNQ是矩形， ∴AQ＝PN＝6m，QN＝AP＝1.6m， ∴MQ（cm）， ∴MN＝MQ+QN1.6≈12（cm）， 答：旗杆MN的长约为12m； （2）（方案不唯一）先测出绳子多出的部分DN长度为am，再将绳子拉直，使绳子末端贴在地面C处（如图），测出绳子末端C到旗杆底部N的距离bm，即可利用所学知识就能求出旗杆的长． 由测量方案可知，CM＝（MN+a）m，CN＝bm， 由勾股定理，得CM2＝MN2+CN2，即（MN+a）2＝MN2+b2， 解得MN（m）， 答：旗杆MN长度为 m． 20．【答案】△ABC是直角三角形． 理由： ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： ， 在Rt△BCD中，由勾股定理得： ， ∴AB＝AD+BD＝5， 在△ABC中， ， AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 【分析】先根据勾股定理分别求出，BD＝4，进而求出AB＝5，然后根据勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】解：△ABC是直角三角形． 理由： ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： ， 在Rt△BCD中，由勾股定理得： ， ∴AB＝AD+BD＝5， 在△ABC中， ， AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 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