2026年中考数学重难点一轮复习：专题25 等腰三角形

专题25 等腰三角形 一、选择题（共8小题） 1．（2025•西藏）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D是BC延长线上的一点，∠ACD＝110°，则∠A的度数为（　　） A．70° B．55° C．40° D．35° 2．（2025•钟楼区校级模拟）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025•安徽三模）如图，点E是45°直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且AE＝AF，若∠BAE＝30°，则∠FED的度数是（　　） A．15° B．20° C．22.5° D．10° 4．（2025•南开区二模）如图，正三角形ABC的边长为1，D是线段BC上一点，过D作AB边的垂线，垂足为点G．有下列结论： ①当点D在线段BC上时，AG的长可以为； ②当点D为线段BC中点时，△GBD的面积达到最大值，最大值为； ③点D在线段BC上有两个位置满足△GBD的面积为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025•鄂州模拟）如图，直线a∥b，AB＝AC，BD⊥AC于点D，若∠CBD＝20°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．（2025•思明区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠DAC＝37°，则∠B的度数是（　　） A．37° B．30° C．28° D．26° 7．（2025•岳麓区校级三模）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 8．（2024•石门县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 二、填空题（共9小题） 9．（2025•西宁）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为　 　 ． 10．（2025•雁塔区校级四模）如图，在四边形ABCD中，BC＝11，∠B+∠C＝60°，E为BC上一点，且△AED为等边三角形，若BE＝4，则图中阴影部分面积之和为 　 　 ． 11．（2025•洞口县校级模拟）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则底边BC的长为 　 　 ． 12．（2025•建邺区二模）若等腰三角形的一个外角等于80°，则它的底角为　 　 °． 13．（2025•天宁区校级二模）在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，CD是AB边上的高，则∠BCD＝　 　 °． 14．（2025•珠晖区校级二模）如图，在等边三角形ABC中，D为边BC的中点，以点A为圆心，AD为半径画弧，与AC边的交点为E，则∠CDE的度数为　 　 ． 15．（2025•宿迁）若等腰三角形的两边长为2cm和4cm，则该等腰三角形的周长为 　 　 cm． 16．（2025•磁县校级四模）如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC和等边△DEF在l1，l2之间，点A，D分别在l1，l2上，点B，C，E，F在同一直线上．若∠α＝53°，则∠β的度数为 　 　 ． 17．（2025•东营模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　 　 ． 三、解答题（共4小题） 18．（2024•凉州区二模）在等腰△ABC中，三边长分别是a，b，c，并且满足，求△ABC的周长． 19．（2024•泰兴市三模）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝α，点D是边AC上一点（不与点A，C重合），线段AE是由线段AD绕点A逆时针旋转2α得到，连接DE．判断直线DE与BC的位置关系，并说明理由． 20．（2024•姜堰区二模）如图，在等边△ABC中，D是边AC上的一点，点E在边BC的延长线上． （1）若 　 　 ，　 　 ，求证：CD＝CE．（请从信息“①BD＝ED，②D为AC的中点，③BDCE”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明．） （2）过点D作DM⊥BC于点M，在（1）的条件下，当MC＝1，求BE的长． 21．（2025秋•金平区期末）【背景材料】 中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离． 【提出问题】如何证明“反射路径最短”？ 如图①，直线l代表平面镜，点B代表一实物，点A代表眼睛，作实物B关于平面镜l的对称点B'，连接AB'，交平面镜l于点C，连接BC，则BC为入射光线，AC为反射光线． 求证：BC+AC最短． 【解决问题】如图，在平面镜l上另取任意一点C'（与点C不重合），连接AC'；BC'，B'C'． ∵点B与点B′关于直线l对称， ∴直线l是BB'的垂直平分线． ∴CB＝CB′，C′B＝　 　 ， ∴AC+CB＝AC+CB′＝　 　 ． ∵在△AC′B′中，AB'＜AC'+C'B'， ∴AC+CB＜AC'+C'B'，即AC+CB最小． 在证明这个问题的过程中，用到的数学依据是　 　 ． 请你完成上面填空． 【知识应用】如图②，牧马人从P地出发，先到草地边OB某一处牧马，再到河边OA饮马，然后回到P处，请分别在OA和OB上各找一点E，F，使得牧马人走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）． 【知识拓展】若图②中，∠AOB＝70°，当△PEF的周长取最小值时，∠EPF的大小为　 　 度． 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】C 【分析】由邻补角的性质求出∠ACB＝70°，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝70°，由三角形内角和定理即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵∠ACD＝110°， ∴∠ACB＝180°﹣110°＝70°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝70°， ∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故选：C． 2．【答案】B 【分析】分AC＝AB、AC＝BC两种情况，根据三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：当AC＝AB＝3时，△ABC为等腰三角形， 当AC＝BC＝4时，在△ADC中，AC＜AD+CD，即AC＜4，此种情况不成立， 故选：B． 3．【答案】A 【分析】先求得∠EAF＝60°，然后证得△EAF是等边三角形，然后得到∠AFE＝60°，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【解答】解：∵△ABD是含45°直角三角形， ∴∠B＝∠D＝45°，∠BAD＝90°， ∵∠BAE＝30°， ∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣30°＝60°， ∵AE＝AF， ∴△EAF是等边三角形， ∴∠AFE＝∠AEF＝∠EAF＝60°， ∵∠AFE是△DEF的内角， ∴∠FED＝∠AFE﹣∠D＝60°﹣45°＝15°， 即∠FED的度数为15°； 故选：A． 4．【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质的AB＝BC＝1，∠B＝60°， ①若AG的长为，则可求BG、BD、CD和GD的长，进一步求得，结合点D的位置判断AD是否在其范围内即可； ②设BG的长度为x，则BD的长度为2x，，即△GBD的面积，结合二次函数的性质即可知当时，△GBD的面积有最大值为，故②错误； ③若△GBD的面积为，求得x即可． 【解答】解：∵正三角形ABC的边长为1， ∴AB＝BC＝1，∠B＝60°， ①若AG的长为，则BG的长为，BD的长为，CD的长为，GD的长为， 那么，， ∵D是线段BC上一点， ∴， ∵， ∴AG的长可以为，故①正确； ②设BG的长度为x，则BD的长度为2x， ∵DG⊥AB， ∴， ∴△GBD的面积， ∵D是线段BC上一点， ∴0≤x， ∴当时，△GBD的面积有最大值为：，故②错误； ③若△GBD 的面积为，则，解得（负值已舍），故③错误； 故选：B． 5．【答案】C 【分析】先由三角形内角和定理求出∠ACB＝70°，再根据等边对等角求得∠ABC＝∠ACB＝70°，然后根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵∠CBD＝20°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝70°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠ABC＝70°． 故选：C． 6．【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，结合等边对等角即可得出∠B＝∠C＝∠DAC＝37°． 【解答】解：∵在△ABC中，AC的垂直平分线l交BC于点D， ∴AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC＝37°． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝37°， 所以∠B的度数为37°． 故选：A． 7．【答案】C 【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC， ∵DE⊥BC， ∴∠CDE＝30°， ∵EC＝1.5， ∴CD＝2EC＝3， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴AD＝CD＝3， ∴AB＝AC＝AD+CD＝6． 故选：C． 8．【答案】B 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再判断出点M在AD上时，AM+CM最小，由此即可得出结论． 【解答】解：连接AD，AM， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABCBC•AD4×AD＝14，解得AD＝7， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴AM＝CM， 当点M在AD上时，DM+CM最小，最小值为AD， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝ADBC＝74＝7+2＝9． 故选：B． 二、填空题（共9小题） 9．【答案】7 【分析】分两种情况讨论，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长是7，于是得到答案． 【解答】解：当等腰三角形的腰长是3时， 3+3＜7，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的第三边不能是3； 当等腰三角形的腰长是7时， 7+3＞7，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的第三边为7． 故答案为：7． 10．【答案】． 【分析】依题意求出∠BAE+∠EDC＝180°，根据BC＝11，BE＝4得BE＝7，将△BAE绕点E顺时针旋转60°得△FDE，过点F作FH⊥BE于点H，则EF＝BE＝7，S阴影＝S△ABE+S△DCE＝S△DFE+S△DCE＝S△EFC，再根据三角形外角性质得∠FEH＝∠DFE+∠C＝60°，在Rt△EFH中，根据∠EFH＝90°﹣∠FEH＝30°得EHEF＝2， 由勾股定理得EH，由此得S△EFCCE•FH，据此可得出图中阴影部分的面积． 【解答】解：依题意得：∠BAE+∠EDC＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠EAD﹣∠ADE＝180°， ∵BC＝11，BE＝4， ∴BE＝BC﹣BE＝7， 将△BAE绕点E顺时针旋转60°得△FDE，过点F作FH⊥BE于点H，如图所示： ∴△BAE≌△FDE， ∴S△BAE＝S△FDE，EF＝BE＝7， ∴S阴影＝S△ABE+S△DCE＝S△DFE+S△DCE＝S△EFC， ∵∠B+∠C＝60°， ∴∠DFE+∠C＝60°， ∵∠FEH是△EFC的外角， ∴∠FEH＝∠DFE+∠C＝60°， ∵FH⊥BC， ∴在Rt△EFH中，EF＝BE＝4，∠EFH＝90°﹣∠FEH＝30°， ∴EHEF4＝2， 由勾股定理得：EH， ∴S△EFCCE•FH． ∴S阴影＝S△EFC． 故答案为：． 11．【答案】3． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的4倍时， ∵腰长AB＝AC＝6， ∵底边BC的长为12， ∵6+6＝12， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时， ∵腰长AB＝AC＝6， ∴底边BC的长为3； 综上所述：底边BC的长为3， 故答案为：3． 12．【答案】40 【分析】根据三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，等腰三角形的性质：等边对等角求解． 【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为80° ∴相邻角为180°﹣80°＝100°， ∵三角形的底角不能为钝角， ∴100°角为顶角， ∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°． 故答案为：40． 13．【答案】20． 【分析】首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理解得∠B的值，在结合CD是AB边上的高，由∠BCD＝90°﹣∠B求解即可． 【解答】解：∵∠A＝40°，AB＝AC， ∴， ∵CD是AB边上的高，即CD⊥AB， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°， 则∠BCD的度数为20°． 故答案为：20． 14．【答案】15°． 【分析】先根据等边三角形的性质得，∠ADC＝90°，再根据AD＝AE，即可求解． 【解答】解：∵三角形ABC为等边三角形，D为边BC的中点， ∴，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵以点A为圆心，AD为半径画弧，与AC边的交点为E， ∴AD＝AE， ∴， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°， 即∠CDE的度数为15°， 故答案为：15°． 15．【答案】10． 【分析】已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，等腰三角形两边的长为2cm和4cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【解答】解：①当腰是2cm，底边是4cm时，2+2＝4，不能构成三角形， ②当底边是2cm，腰长是4cm时，能构成三角形， 则其周长＝4+4+2＝10（cm）， 所以，这个三角形的周长是10cm． 故答案为：10． 16．【答案】52°． 【分析】延长AC交l2于G，由平行线的性质得到∠AGD+∠α＝180°，求出∠CGD＝127°，由对顶角的性质得到∠FCG＝∠ACB＝45°，由△DEF是等边三角形，得到∠F＝60°，于是∠GDF＝360°﹣60°﹣45°﹣127°＝128°，由邻补角的性质即可求出∠β的度数． 【解答】解：延长AC交l2于G， ∵l1∥l2， ∴∠AGD+∠α＝180°， ∵∠α＝53°， ∴∠CGD＝127°， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°， ∴∠FCG＝∠ACB＝45°， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠F＝60°， ∴∠GDF＝360°﹣60°﹣45°﹣127°＝128°， ∴∠β＝180°﹣∠GDF＝52°． 故答案为：52°． 17．【答案】3． 【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值． 由条件可知M′H＝M′N′， ∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， 由条件可知． ∴BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝3， 故答案为：3． 三、解答题（共4小题） 18．【答案】△ABC的周长是13或11． 【分析】先利用非负数的性质求解a，b的值，再分类讨论，根据三角形的三边关系可得答案． 【解答】解：∵， ∴（a﹣5）2+|b﹣3|＝0， 又∵（a﹣5）2≥0，|b﹣3|≥0， ∴a﹣5＝0，b﹣3＝0， ∴a＝5，b＝3， 又∵a，b，c分别是等腰△ABC的边， ①当a＝c＝5时，5+3＞5，符合三角形的三边关系， ∴△ABC的周长是：a+b+c＝5+3+5＝13， ②当b＝c＝3时，3+3＞5，符合三角形的三边关系， ∴△ABC的周长是：a+b+c＝3+5+3＝11 综上分析可知，△ABC的周长是13或11． 19．【答案】DE⊥BC，理由见解析． 【分析】延长ED交BC于点F，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：DE⊥BC， 理由：如图，延长ED交BC于点F， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠E， ∵∠DAE＝2α， ∴∠ADE＝90°﹣α， ∵∠ADE＝∠CDF， ∴∠CDF＝90°﹣α， ∵∠C＝α， ∴∠CDF+∠C＝90°﹣α+α＝90°， ∴∠CFD＝90°， 即DE⊥BC， 20．【答案】（1）BD＝ED，D为AC的中点； （2）6． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形性质和直角三角形的性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）若BD＝ED，D为AC的中点，求证：CD＝CE， 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°， ∵D为AC的中点， ∴∠DBC∠ABC＝30°， ∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB＝30°， ∵∠ACB＝∠CED+∠CDE， ∴∠CED＝∠CDE＝30°， ∴CD＝CE， 故答案为：BD＝ED，D为AC的中点； （2）∵DM⊥BC， ∴∠DMC＝90°， ∵∠DCM＝60°， ∴CD＝2CM＝2， ∵CE＝CD＝2， ∴EM＝3， ∵BD＝DE， ∴BE＝2ME＝6． 21．【答案】【解决问题】C′B′，AB′，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等和三角形两边之和大于第三边； 【知识应用】 【知识拓展】55． 【分析】【解决问题】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等和三角形两边之和大于第三边得出结果； 【知识应用】分别作点P关于OA和OB的对称点P′，P″，连接P′P″，分别交OA，OB于E和F，则PE+EF+PF最小； 【知识拓展】设PP′交OA于C，PP″交OB于D，可得出∠PCE＝∠PDO＝90°，∠EPF＝∠EPC＝∠FPD，进而得出∠CPD＝110°，进一步得出结果． 【解答】解：【解决问题】答案是：C′B′，AB′，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等和三角形两边之和大于第三边； 【知识应用】 如图， 分别作点P关于OA和OB的对称点P′，P″，连接P′P″，分别交OA，OB于E和F， 则PE+EF+PF最小； 【知识拓展】 设PP′交OA于C，PP″交OB于D， 由题意得：∠PCE＝∠PDO＝90°，∠EPF＝∠EPC＝∠FPD， 在四边形PDOC中， ∠CPD＝360°﹣∠AOB﹣（∠PCE+∠PDO）＝360°﹣70°﹣180°＝110°， ∴∠EPF， 故答案为：55． 学科网（北京）股份有限公司 $