2026年中考数学重难点一轮复习：专题23 三角形的概念与性质

专题23 三角形的概念与性质 一、选择题（共8小题） 1．（2025•信都区二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是（　　） A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 2．（2025•许昌一模）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE交于点G．若BG＝6，则EG＝（　　） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 3．（2025•酒泉校级一模）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠EDF的度数为（　　） A．15° B．35° C．60° D．70° 4．（2025•琼山区校级二模）若某三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（　　） A．2 B．7 C．8 D．9 5．（2025•海淀区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l经过点C，则下列结论中一定正确的是（　　） A．∠1＞∠2 B．∠3＝∠4 C．∠A+∠B＝90° D．∠2＝∠3 6．（2025•开福区校级三模）在下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．1、6、6 B．2、3、5 C．2、6、9 D．5、3、10 7．（2025•宁波三模）一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．无法比较α和β的大小 8．（2025•汕尾一模）将一副三角板按照如图方式摆放，点B、C、D共线，∠CDF＝18°，则∠AFE 的度数为（　　） A．89° B．83° C．93° D．103° 二、填空题（共8小题） 9．（2025•长清区校级二模）将一副直角三角板如图放置，已知∠B＝60°，∠F＝45°，EF∥AB，则∠CGD＝　 　 ． 10．（2025•思明区校级模拟）已知△ABC的边长两边长为2和4，第三边偶数，则第三边的值为 　 　 ． 11．（2025•淮北校级自主招生）如图，平面直角坐标系中，已知点A（1，3），点B（4，0），则△AOB的重心坐标为　 　 ． 12．（2025•温州模拟）如图，Rt△ABC，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，点E为△ABC的重心，则AE的长是 　 　 ． 13．（2025•衢州三模）若a、b、c是△ABC的三边长，则代数式（a﹣b）2﹣c2的值　 　 0（填“＞”、“＝”或“＜”）． 14．（2025•四平一模）周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图），他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是 　 　 ． 15．（2025•临平区校级二模）如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，则∠1+∠2+∠3的度数是　 　 ． 16．（2025•朝阳区校级一模）如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，则∠EAC＝　 　 ． 三、解答题（共5小题） 17．（2025•青岛模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠ACB＝80°，∠B＝24°， （1）∠BAC的度数为　 　 ； （2）求∠P的度数． 18．（2024•佛山二模）如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC，DE∥BC，∠ADC＝∠B＝96°，求∠A的度数． 19．（2024•鹤山市一模）【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两直角边分别与ON、OM交于点D和点B． （1）活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：∠OBC+∠ODC＝　 　 ． （2）活动2：如图2，连结BD，若BD平分∠OBC，那么DB平分∠ODC吗？请直接写出你的结论，不需写理由． （3）活动3：如图3，若DE平分∠ODC，BF平分∠MBC，他们发现DE与BF具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 20．（2023•太原二模）如图，在凹四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝55°，∠D＝20°，求∠BCD的度数． 下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法： 方法一：作射线AC； 方法二：延长BC交AD于点E； 方法三：连接BD． 请选择上述一种方法，求∠BCD的度数． 21．（2024春•宿豫区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC．EF平分∠AED，交AB于点F． （1）若∠A＝52°，∠B＝60°，求∠AED的度数； （2）在（1）的条件下，判断EF与AB是否垂直，并说明理由； （3）直接写出当∠A与∠B满足怎样的数量关系时，EF⊥AB． 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】B 【分析】通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【解答】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为a，剪成两段长度分别为m、n，甲小棒长度为b． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即a＞b， ∴m+n＞b， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和大于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙，所以只有选项B正确，符合题意． 故选：B． 2．【答案】D 【分析】直接根据三角形重心的性质解决问题． 【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE交于点G． ∴G点为△ABC的重心， ∴GEBG6＝3． 故选：D． 3．【答案】A 【分析】根据平行线的性质，得到∠DFC＝∠BCA＝60°，三角形的外角求出∠EDF的度数即可． 【解答】解：由题意和图可知：∠DEC＝45°，∠ACB＝60°，DF∥BC， ∴∠DFC＝∠BCA＝60°， ∵∠DFC＝∠DEC+∠EDF， ∴∠EDF＝∠DFC﹣∠DEC＝15°； 故选：A． 4．【答案】B 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到2＜m＜8，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜m＜5+3， ∴2＜m＜8， ∴m的值可以是7． 故选：B． 5．【答案】C 【分析】根据对顶角相等、直角三角形的性质、三角形的外角性质判断即可． 【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角， ∴∠1＝∠2，故本选项结论不正确，不符合题意； B、∠3+∠4＝90°，∠3与∠4不一定相等，故本选项结论不正确，不符合题意； C、∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，故本选项结论正确，符合题意； D、由三角形的外角性质可知：∠2＞∠3，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 6．【答案】A 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断 【解答】解：A、1+6＞6，能组成三角形，故A符合题意； B、2+3＝5，不能组成三角形，故B不符合题意； C、2+6＜9，不能组成三角形，故C不符合题意； D、3+5＜10，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：A． 7．【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理可得，即可求解． 【解答】解：∵∠B+∠C＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°﹣∠A， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， 即α＝β， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 8．【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质求出∠DFC，再根据平角的定义求出∠AFE． 【解答】解：∵∠ACB是△FCD的外角， ∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC， ∴∠DFC＝∠ACB﹣∠CDF＝45°﹣18°＝27°， ∴∠AFE＝180°﹣60°﹣27°＝93°， 故选：C． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】75°． 【分析】由直角三角形的性质得出∠A＝30°，由平行线的性质得出∠FDA＝∠F＝45°，再由三角形外角性质即可求出∠CGD的度数． 【解答】解：∵将一副直角三角板如图放置，∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝30°， ∵EF∥AB，∠F＝45°， ∴∠CGD＝∠A+∠FDA＝45°+30°＝75°． 故答案为：75°． 10．【答案】4 【分析】根据三角形的三边关系定理可得第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．再根据范围确定x的值． 【解答】解：设第三边的值为x， 根据三角形的三边关系可得4﹣2＜x＜4+2， 即：2＜x＜6， ∵第三边是偶数， ∴第三边的长为4， 故答案为：4． 11．【答案】（）． 【分析】分别求出三角形的边OA和OB上中线所在直线的解析式，据此进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵点A（1，3），点B（4，0）， ∴OA的中点M的坐标为（），OB的中点N的坐标为（2，0）． 令直线AN的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线AN的函数解析式为y＝﹣3x+6． 同理可得，直线BM的函数解析式为． 由﹣3x+6得， x， 则y＝﹣36＝1， ∴△AOB的重心坐标为（）． 故答案为：（）． 12．【答案】 【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再结合重心的定义及性质即可解决问题． 【解答】解：∵AC＝6，AB＝8，∠BAC＝90°， ∴BC． ∵点E为△ABC的重心， ∴AD， 故答案为：． 13．【答案】＜ 【分析】利用平方差公式和三角形三边关系进行解答． 【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴a+c＞b，b+c＞a 则a+c﹣b＞0．a﹣b﹣c＜0 ∴（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＝（a+c﹣b）（a﹣b﹣c）＜0． 故答案为：＜． 14．【答案】三角形具有稳定性． 【分析】根据三角形具有稳定性即可求解． 【解答】解：儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 15．【答案】360°． 【分析】根据平角的性质和三角形内角和进行计算． 【解答】解：∵∠1+∠BAC＝180°，∠2+∠ABC＝180°，∠3+∠ACB＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°， 故答案为：360°． 16．【答案】70°． 【分析】根据三角形的外角性质得到∠EAC＝∠B+∠ACD，求出∠EAC的度数，根据角平分线的定义求出即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠DAC＝20°， ∴∠BAC＝2∠DAC＝40°， ∴∠B+∠ACD＝140°， ∴∠EAC∠FAC（∠B+∠ACD）＝70°． 故答案为：70°． 三、解答题（共5小题） 17．【答案】（1）76°； （2）28°． 【分析】（1）利用三角形内角和定理求∠BAC的度数即可； （2）利用角平分线的定义得∠BAD的度数，利用外角的性质得∠BDP的度数，利用三角形内角和定理求得∠P的度数． 【解答】解：（1）由三角形内角和定理得： ∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣24°﹣80°＝76°． 故答案为：76°； （2）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC76°＝38°， ∵∠BDP＝∠B+∠BAD， ∴∠BDP＝24°+38°＝62°， ∵PE⊥BC于E， ∴∠PED＝90°， ∴∠P＝90°﹣∠BDP＝90°﹣62°＝28°． 即∠P的度数为28°． 18．【答案】36°． 【分析】根据角平分线的定义求出∠CDE的度数，再根据平行线的性质即可求出∠C的度数，再根据四边形内角和的度数即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE， ∵∠ADC＝96°， ∴∠CDE＝48°， ∵DE∥BC， ∴∠C+∠CDE＝180°， ∴∠C＝132°， 在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠ADC＝（4﹣2）×180°＝360°， ∵∠ADC＝∠B＝96°， ∴∠A＝360°﹣96°﹣96°﹣132°＝36°． 19．【答案】（1）180°； （2）DB平分∠ODC，理由见解答过程； （3）DE⊥BF，证明见解答过程． 【分析】（1）依题意得∠BOD＝∠C＝90°，再根据四边形内角和等于360°可得∠OBC+∠ODC的度数； （2）先根据BD平分∠OBC得∠ODB＝∠CDB，再根据∠ODB+∠OBD＝90°，∠CDB+∠CBD＝90°得∠OBD＝∠CBD，据此可得出结论； （3）先证∠ODC＝∠MBC，根据角平分线定义的∠CDE＝∠CBF，再根据∠C为直角得∠CDE+∠CED＝90°，然后根据∠CED＝∠BEG可得∠CBF+∠BEG＝90°，据此可得出DE与BF的位置关系． 【解答】解：（1）∵OM⊥ON，∠C为直角， ∴∠BOD＝∠C＝90°， 根据四边形内角和等于360°得： ∠OBC+∠ODC+∠BOD+∠C＝360°， ∴∠OBC+∠ODC＝180°， 故答案为：180°． （2）DB平分∠ODC，理由如下： ∵BD平分∠OBC， ∴∠ODB＝∠CDB， ∵OM⊥ON，∠C为直角， ∴∠ODB+∠OBD＝90°，∠CDB+∠CBD＝90°， ∴∠OBD＝∠CBD， ∴DB平分∠ODC； （3）DE与BF的位置关系是：DE⊥BF，证明如下： 由（1）可知：∠OBC+∠ODC＝180°， 又∵∠OBC+∠MBC＝180°， ∴∠ODC＝∠MBC， ∵DE平分∠ODC，BF平分∠MBC， ∠CDE∠ODC，∠CBF∠MBC， ∴∠CDE＝∠CBF， ∵∠C为直角， ∴∠CDE+∠CED＝90°， ∴∠CBF+∠CED＝90°， 又∵∠CED＝∠BEG， ∴∠CBF+∠BEG＝90°， ∴∠BGE＝90°， 即DE⊥BF． 20．【答案】∠BCD的度数是120°． 【分析】通过延长BC交AD于点E，运用三角形的外角等于和它不相邻两内角的和进行求解． 【解答】解：延长BC交AD于点E， ∴∠CED＝∠A+∠B，∠BCD＝∠CED+∠D， ∴∠BCD＝∠A+∠B+∠D ＝45°+55°+20° ＝120°， 即∠BCD的度数是120°． 21．【答案】（1）68°； （2）EF与AB不垂直，理由见解答过程； （3）当∠A＝∠B时，EF⊥AB，理由见解答过程． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝68°，再根据DE∥BC，可得出∠AED的度数； （2）依题意得∠AED＝68°，根据EF平分∠AED得∠AEF＝1/2∠AED＝34°，进而得∠AFE＝180°﹣（∠A+∠AEF）＝94°，由此可判断EF与AB是否垂直 （3）当∠A＝∠B时，则∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣2∠A，根据DE∥BC得∠AED＝∠C＝180°﹣2∠A，再根据EF平分∠AED得∠AEF∠AED＝90°﹣∠A，则∠A+∠AEF＝90°，由此可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠A＝52°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（52°+60°）＝68°， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C＝68°； （2）EF与AB不垂直，理由如下： 依题意得：∠AED＝68°， ∵EF平分∠AED， ∴∠AEF∠AED＝34°， ∴∠AFE＝180°﹣（∠A+∠AEF）＝180°﹣（52°+34°）＝94°， ∴EF与AB不垂直． （3）当∠A＝∠B时，EF⊥AB，理由如下： ∵∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣2∠A， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C＝180°﹣2∠A， ∵EF平分∠AED， ∴∠AEF∠AED＝90°﹣∠A， 在△AEF中，∠A+∠AEF＝∠A+90°﹣∠A＝90°， ∴∠AFE＝180°﹣（∠A+∠AEF）＝90°， ∴EF⊥AB． 学科网（北京）股份有限公司 $