精品解析：上海市大同中学2025-2026学年第一学期期末高一年级数学试卷

大同中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 若幂函数的图象经过点，则实数______. 【答案】4 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点，所以， 所以，所以， 故答案为：4. 2. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算集合，结合交集的定义得到结果； 【详解】因为，， 则， 故答案为：. 3. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数性质即可得. 【详解】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 4. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出圆心角，利用弧长公式得到方程，求出答案. 【详解】设圆心角为，则，解得. 故答案为： 5. 函数的零点为_____________. 【答案】和6 【解析】 【分析】分和两种情况计算求解时的解，即可得解. 【详解】当时，令即，解得（舍去）或； 当时，令即. 综上可得函数的零点为和. 故答案为：和6 6. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用和角的正切公式求出的值，再化弦为切，代值计算即可. 【详解】因，则， 则， 故答案为：. 7. 关于的方程的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论计算方程解得解集； 【详解】当时，转化为，解得，不符合题意； 当时，转化为，解得恒成立 当时，转化为，解得，不符合题意 因此方程的解集为 故答案为：. 8. 若，，则角的取值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】先作出正切函数在给定区间上的图象，判断图象与直线的交点个数，利用周期性即可求得方程的解. 【详解】如图作出函数在上的图象，可见该函数与直线在此区间上有2个交点， 一个在上，一个在上，根据正切函数的周期性，可知方程的两个解分别为. 故角的取值集合为 故答案为：. 9. 已知函数 的最小值为，则 _____ 【答案】或3 【解析】 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 10. 已知函数的定义域为，若是偶函数，是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义列出方程组，联立求得，再代值计算即可. 【详解】由是偶函数，可得，即①， 由是奇函数，可得，即②， 由，则，故. 故答案为：1. 11. 已知，且满足等式，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分别求两侧函数的值域后可得的值，故可求的最小值. 【详解】因为，故，而， 且，故且， 故且，故， 故，故， 故的最小值为， 故答案为：. 12. 已知，存在实数，对任意，使得，则的最小值是___ 【答案】 【解析】 【分析】利用单位圆中的终边位置研究，可知，存在正整数,使得，，由此求得的最小值. 【详解】在单位圆中分析，由题意， 的终边要落在图中阴影部分区域 （其中）， 必存在某个正整数，使得终边在OB的下面，而再加上，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内， ∴， ∵对任意要成立，所以必存在某个正整数，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了）， 故存在正整数,使得，即，， 同时， ∴的最小值为, 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的性质，主要思想是在单位圆中利用数形结合思想进行研究分析.得出存在正整数,使得，是关键. 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 已知θ为第二象限角，若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，再对k赋值，根据判断. 【详解】解：因为θ为第二象限角， 所以， 则， 当时，，当时，， 因为， 所以，所以在第三象限， 故选:C 14. 已知函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质、特例法结合充分条件、必要条件判断可得出结论. 【详解】因为函数的定义域为， 若函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 故对任意，都存在且，使得； 若对任意，都存在，使得， 不妨取，则， 即，即函数的图象关于点对称， 即对任意的，存在，使得， 但函数不是奇函数. 因此，“函数的图象关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的充分非必要条件. 故选：A. 15. 定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”.下列关于“相关函数”的描述正确的是（ ） A. 不存在常值函数是“相关函数” B. 是“相关函数” C. “2026相关函数”至少有一个零点 D. “相关函数”至少有一个零点 【答案】C 【解析】 【分析】根据“相关函数”定义可知A错误，假设是“相关函数”得出方程无解，可判断B错误，利用“相关函数”定义并结合零点存在性定理，即可判断C正确，D错误. 【详解】对于A，易知任意常值函数都是“相关函数”， 而对任意都是“相关函数”，故A错误； 对于B，若是“相关函数”，则恒成立， 即恒成立， 此时有，此时无解，故B错误； 对于C，由“2026相关函数”可得， 若，则函数至少有两个零点， 若，则必有， 则函数在上至少有一个零点，故C正确， 对于D，由“相关函数”可得， 若，则必有，零点个数不确定，故D错误； 故选：C 16. 已知函数的图象关于直线对称的图象仍然为某一函数的图象，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图象，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案. 【详解】记对称后的曲线为，设是在点处的切线， 因为曲线与函数的图象关于直线对称， 所以直线关于对称后的直线方程必为，且曲线的图象不超过切点位置，才是满足题意的函数图象， 如图所示，直线与的夹角为，可得直线的倾斜角为， 所以的方程为， 由消去整理得：， 则，解得，所以的取值范围为. 故选：B. 三、解答题（，共48分） 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论，考查集合端点间的大小关系，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由，解得， 所以， 若，则， 所以； 【小问2详解】 当时，，则满足题意， 当时，， 因为，所以，解得， 综上实数的取值范围是. 18. 在中，角、、对应边为、、，其中． （1）若，且，求边长的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角差的正弦公式化简，可求出，即可求出，利用正弦定理即可求得答案； （2）利用正弦定理边化角化简可求出，结合两角和的正弦公式即可求出，继而求出c，利用三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 由，可得，结合， 得，即， 则，可得， 由于，故，则, 故，得； 【小问2详解】 由题意知，故， 由于，故， 结合，可知C为锐角，则， 故，， 故，得； 所以. 19. 2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； （1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ （2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 【答案】（1）245万元 （2）每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元 【解析】 【分析】（1）根据供货价格的固定价格和浮动价格的概念，将单价售价为85元代入求解即可； （2）分类讨论，分别求出当和当时的销售量和供货价，从而可得单价利润，继而利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为元， 故总利润为：万元； 【小问2详解】 当时，销售量为10万件，供货价为60.5元， 则，且， 因而，当时，单价利润， 即单价利润最大为39.5元； 当时，销售量为（万件）， 同时，，解得，且， 此时单价利润为： ， 当且仅当，即时，取等号 因为， 故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元． 20. （1）证明：； （2）设，证明：； （3）证明：是无理数． 【答案】 （1） . （2）， 因为，所以， 则 （3）假设是有理数，设，则为正有理数. 由（1）知，由（2）知 因为，所以， 若是有理数，设（互质且为正整数）， 代入方程，可得， 所以且 所以为的约数，且为的约数，而互质，故，， 故， 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 当时，，故不是方程的根； 综上，无正有理根， 所以是无理数. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦结合两角和的余弦可证该三角恒等式； （2）利用二倍角的余弦公式可证； （3）假设是有理数，设，则方程有有理根，结合整除性可得矛盾，从而可证是无理数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21. 对于定义在上的函数，记集合，． （1）若，直接写出和； （2）若，求的最小值； （3）已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有”． 【答案】（1） （2） （3）证明：必要性：若为偶函数，则， 当，因为，故； 充分性：取正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设，由于任意，令，则， 故最小元素为，中最小元素为， 又 则对任意成立，则 ， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取，， 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数“的充要条件是“对于任意实数，均有”. 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义，分别求函数在和上的值域即得和； （2）根据给定函数，结合新定义函数分类讨论即可求得； （3）根据题意，分充分性和必要性进行推理即可得证. 【小问1详解】 当时，，， 则，. 【小问2详解】 作出函数的图象： 由图知，当时，， 若，则的最小值为0，若，则的最小值为； 当时，， 若时，的最小值为；当时，的最小值为0. 故的最小值为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 若幂函数的图象经过点，则实数______. 2. 已知集合，，则______. 3. 函数的定义域为_______. 4. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______. 5. 函数的零点为_____________. 6. 已知，则______． 7. 关于的方程的解集为______． 8. 若，，则角的取值集合为______． 9. 已知函数 的最小值为，则 _____ 10. 已知函数的定义域为，若是偶函数，是奇函数，则______． 11. 已知，且满足等式，则的最小值为______． 12. 已知，存在实数，对任意，使得，则的最小值是___ 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 已知θ为第二象限角，若，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 已知函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”.下列关于“相关函数”的描述正确的是（ ） A. 不存在常值函数是“相关函数” B. 是“相关函数” C. “2026相关函数”至少有一个零点 D. “相关函数”至少有一个零点 16. 已知函数的图象关于直线对称的图象仍然为某一函数的图象，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（，共48分） 17. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 18. 在中，角、、对应边为、、，其中． （1）若，且，求边长的值； （2）若，求的面积． 19. 2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； （1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ （2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 20. （1）证明：； （2）设，证明：； （3）证明：是无理数． 21. 对于定义在上的函数，记集合，． （1）若，直接写出和； （2）若，求的最小值； （3）已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $