精品解析：陕西渭南市韩城市2025-2026学年第一学期高二期末学业水平调研数学试题

2025-2026学年度第一学期高二期末学业水平调研题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（ ） A. 0.25 B. 0.75 C. 0.35 D. 0.65 4. 若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个随机变量4组成对数据为.由这4组数据可得关于的线性回归方程为，则（ ） A. 2.8 B. 3 C. 3.3 D. 4 6. 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知直线：与圆：交于，两点，则最小值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为上的一点，则（ ） A. 的虚轴长为 B. C. 的焦距为3 D. 的渐近线方程为 10. 已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（ ） A. B. 的对称轴在的对称轴的左边 C D. 的最高点在的最高点的上方 11. 已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（ ） A. 若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B. 若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C. 若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D. 若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某厂有甲、乙两车间生产同一种产品，已知甲、乙车间的产量分别占全厂产量的70%，30%，并且甲、乙车间的次品率分别为2%，1%，现从该厂这批产品中任取一件，则取到次品的概率为_______. 13. 若展开式的二项式系数之和为64，则______，的常数项为_________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，上的点位于第二象限，上的点位于第四象限，，.将沿轴折起，使得二面角的大小为，此时，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某研究小组为探究给禾苗加化肥与禾苗生长情况的关系，将30株禾苗均分为两组：对照组（不加化肥）和实验组（加化肥）.在其他条件均相同的情况下，实验结束后测得这30株禾苗的高度（单位：cm）如下： 对照组 18.5 18.8 19.1 19.5 20.3 22.3 23 23.6 24 24.8 25.5 26.7 27.7 28.5 39.8 实验组 19.7 20.1 22.6 23.5 24.8 25 25.2 25.6 26 27.1 28.3 29.5 29.6 31.4 31.4 当实验结束时，若禾苗的高度不低于25cm，则判断该禾苗生长良好；若禾苗的高度低于25cm，则判断该禾苗生长较差，将这30株禾苗高度的数据进行整理，得到如下列联表： 分组 禾苗的生长情况 生长良好 生长较差 合计 对照组 15 实验组 15 合计 30 （1）请完成列联表； （2）判断是否有90%的把握认为给禾苗加化肥与该禾苗的生长情况有关. 附：，其中. 当时，没有充分的证据判断变量有关联，可以认为变量是没有关联的；当时，有90%的把握判断变量有关联. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，是的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 17. 元旦假期，陕西各地举办丰富多彩、各具特色的活动，相关数据显示，西安入围全国十大热门目的地，西安本地热门景区前六名依次为秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆、西安城墙、大唐不夜城、华清宫、大唐芙蓉园，游客甲计划用六天时间参观这六个景区，每天参观一个景区. （1）求不同的参观顺序的方案数； （2）若甲第一天和第二天均不参观大唐不夜城和大唐芙蓉园，求不同的参观顺序的方案数； （3）若甲参观秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的顺序不相邻，求不同的参观顺序的方案数. 18. 某商场举行抽奖促销活动，顾客购物金额每满200元可抽奖一次（抽奖次数可以叠加），抽奖规则如下：每次抽奖从装有6个白球、3个黄球、1个红球的箱子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，摸出白球无奖励，摸出1个黄球可获得奖金20元，摸出1个红球可获得奖金40元.多次抽奖的奖金可以叠加. （1）求抽奖一次就获得奖金的概率； （2）若甲的购物金额为510元，且参与抽奖，求甲获得的奖金总额为40元的概率； （3）若乙的购物金额为605元，且参与抽奖，在乙每次抽奖都获得奖金的情况下，乙的奖金总额为元，求的分布列与期望. 19. 已知抛物线：的准线方程为. （1）求的方程. （2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二期末学业水平调研题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算进行计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 故选：B. 2. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一般式直线方程判断平行的方法求出答案. 【详解】由题意得，解得， 直线可化为， 此时，直线与直线不重合， 所以. 故选：A. 3. 已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（ ） A 0.25 B. 0.75 C. 0.35 D. 0.65 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点分布的期望公式即可求解. 【详解】因为随机变量服从参数为的两点分布， 所以， 又，所以. 故选：C. 4. 若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线的焦点和准线，再利用抛物线的定义求解． 【详解】 抛物线， 焦点为，准线为， 设点，由抛物线的定义可得， ， ，解得，故B正确． 故选：B． 5. 已知两个随机变量的4组成对数据为.由这4组数据可得关于的线性回归方程为，则（ ） A. 2.8 B. 3 C. 3.3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据回归直线必过样本中心点求解即可. 【详解】，， ∵，∴， ∴. 故选：B. 6. 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛掷一次掷出的点数为3的倍数的概率，再根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】抛掷一枚骰子，出现的点数可能为，其中点数为3的倍数的为， 所以抛掷一次质地均匀的骰子，掷出的点数为3的倍数的概率为， 所以抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率为. 故选：C. 7. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过赋值和求解. 【详解】由题，当时，， 即①， 当时，， 即② ①②得， 所以， 故选：D 8. 已知直线：与圆：交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线方程确定经过，进而可得圆心到直线的距离的最大值为，从而可得弦的最小值. 【详解】因为直线：，变形为， 令，解得，所以直线经过定点，且该点在圆内.如图： 过原点O作，所以. 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为上的一点，则（ ） A. 的虚轴长为 B. C. 的焦距为3 D. 的渐近线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程，结合虚轴、定义、焦距、渐近线的定义求解. 【详解】双曲线的标准方程为，则 则虚轴长为，A正确； ，B正确； 焦距为，C错误； 渐近线方程为，故D错误. 故选：AB 10. 已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（ ） A. B. 的对称轴在的对称轴的左边 C. D. 的最高点在的最高点的上方 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出和的值，再比较两条密度曲线的对称轴位置与最高点高度，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，且，根据正态分布的对称性， ，A正确； 对于B：的对称轴是，的对称轴是， 所以的对称轴在的右边，B错误； 对于C：因为，且， 又， 所以，解得，C正确； 对于D：因为正态分布密度曲线的最高点为， 所以的最高点为，的最高点为， 因为，所以的最高点在的最高点的上方，D正确； 故选：ACD. 11. 已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（ ） A. 若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B. 若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C. 若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D. 若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用组合数运算计算判断A，B，分类计算判定C，不平均分组分类结合排列和组合数计算判断D. 【详解】某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)， 对于A：若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有种选派方法，A选项正确； 对于B：若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有种选派方法，B选项正确； 对于C：从7名队员中任选4名，总方法数为种，不满足‘既要有队长，又要有女队员’的情况分为两类： ①没有队长：从5名非队长队员中选4人，有种方法； ②没有女队员：从4名男队员中选4人，有种方法，这两类情况没有交集，因此满足条件的方法数为种，C选项错误； 对于D：若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有种选派方法，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某厂有甲、乙两车间生产同一种产品，已知甲、乙车间的产量分别占全厂产量的70%，30%，并且甲、乙车间的次品率分别为2%，1%，现从该厂这批产品中任取一件，则取到次品的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】考虑到次品可能来源于两个车间，根据全概率公式即可求得答案. 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品是次品， 则 , , 故取到次品的概率为. 故答案为：. 13. 若展开式的二项式系数之和为64，则______，的常数项为_________. 【答案】 ①. 6 ②. 60 【解析】 【分析】先根据二项式系数之和求出，然后根据展开式的通项公式，令的次数为零即可得常数项. 【详解】因为展开式的二项式系数之和为， 由题意可知，解得. ∴的展开式通项为， 令，则，∴. 故答案为：；. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，上的点位于第二象限，上的点位于第四象限，，.将沿轴折起，使得二面角的大小为，此时，则的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出，作出折起后的图象，根据几何关系得到关于的齐次式，解方程即可求出答案. 【详解】因为，所以点的横坐标为， 代入椭圆方程得，解得， 所以点的纵坐标为，即， 同理， 取关于轴对称点为，关于轴对称点为， 如图： 将沿轴折起后，四边形变为下图所示： 因为，所以由题意可知， 作，垂足为， ，， 所以， 在中，，所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为， 中，由得， 将代入整理得， 等号两边同时除以得，， 解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某研究小组为探究给禾苗加化肥与禾苗生长情况的关系，将30株禾苗均分为两组：对照组（不加化肥）和实验组（加化肥）.在其他条件均相同的情况下，实验结束后测得这30株禾苗的高度（单位：cm）如下： 对照组 18.5 18.8 19.1 19.5 20.3 22.3 23 23.6 24 24.8 25.5 26.7 27.7 28.5 39.8 实验组 19.7 20.1 22.6 23.5 24.8 25 25.2 25.6 26 27.1 28.3 29.5 29.6 31.4 31.4 当实验结束时，若禾苗的高度不低于25cm，则判断该禾苗生长良好；若禾苗的高度低于25cm，则判断该禾苗生长较差，将这30株禾苗高度的数据进行整理，得到如下列联表： 分组 禾苗的生长情况 生长良好 生长较差 合计 对照组 15 实验组 15 合计 30 （1）请完成列联表； （2）判断是否有90%的把握认为给禾苗加化肥与该禾苗的生长情况有关. 附：，其中. 当时，没有充分的证据判断变量有关联，可以认为变量是没有关联的；当时，有90%的把握判断变量有关联. 【答案】（1）列联表见解析 （2）有90%的把握认为给禾苗加化肥与该禾苗的生长情况有关. 【解析】 【分析】（1）根据统计表格中的数据：分别求得对照组和实验组中生长较差和生长良好的株数，进而得出的列联表； （2）由的列联表中的数据，利用公式求得，集合附值，即可得到结论. 【小问1详解】 解：根据统计表格中的数据： 对照组15株中，生长较差的有10株，生长良好有5株； 实验组15株中，生长较差的有5株，生长良好有10株； 所以的列联表为： 分组 禾苗的生长情况 生长良好 生长较差 合计 对照组 5 10 15 实验组 10 5 15 合计 15 15 30 【小问2详解】 解：假设给禾苗加化肥与该禾苗的生长情况无关， 由的列联表中的数据，可得： 因为，所以有把握判断变量有关联，所以拒绝假设， 所以有90%的把握认为给禾苗加化肥与该禾苗的生长情况有关. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，是的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点建系，计算即可； （2）计算平面的法向量，根据计算距离. 【小问1详解】 以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，所以，则， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设平面的法向量为， 因为，所以， 令，则， 因为，所以点到平面的距离为. 17. 元旦假期，陕西各地举办丰富多彩、各具特色的活动，相关数据显示，西安入围全国十大热门目的地，西安本地热门景区前六名依次为秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆、西安城墙、大唐不夜城、华清宫、大唐芙蓉园，游客甲计划用六天时间参观这六个景区，每天参观一个景区. （1）求不同的参观顺序的方案数； （2）若甲第一天和第二天均不参观大唐不夜城和大唐芙蓉园，求不同的参观顺序的方案数； （3）若甲参观秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的顺序不相邻，求不同的参观顺序的方案数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全排列直接求解； （2）利用特殊元素优先安排的方法求解； （3）利用插空法求解. 【小问1详解】 六天时间参观这六个景区的不同的参观顺序的方案数为； 【小问2详解】 第一天和第二天不同的参观顺序的方案数为种； 后四天安排剩下的四个景区，共有种， 所以共有：种方案； 【小问3详解】 先排列除秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的另外四个景区， 有种方案，产生个空， 利用插空法：再安排秦始皇帝陵博物院和陕西历史博物馆， 所以共有种方案. 18. 某商场举行抽奖促销活动，顾客购物金额每满200元可抽奖一次（抽奖次数可以叠加），抽奖规则如下：每次抽奖从装有6个白球、3个黄球、1个红球的箱子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，摸出白球无奖励，摸出1个黄球可获得奖金20元，摸出1个红球可获得奖金40元.多次抽奖的奖金可以叠加. （1）求抽奖一次就获得奖金的概率； （2）若甲的购物金额为510元，且参与抽奖，求甲获得的奖金总额为40元的概率； （3）若乙的购物金额为605元，且参与抽奖，在乙每次抽奖都获得奖金的情况下，乙的奖金总额为元，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，期望为75. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件抽奖一次就获得奖金的概率是摸出1个黄球的概率与摸出1个红球的概率之和. （2）甲获得的奖金总额为40元的情况有：甲两次摸出一个黄球以及甲只有一次摸出1个红球，进而可得到结果. （3）在乙每次抽奖都获得奖金的情况下，乙的奖金总额为元，那么的可能取值为. 然后求出对应的概率，进而得到分布列和期望. 【小问1详解】 由题意可知，抽奖一次就获得奖金的概率为 . 【小问2详解】 因为甲的购物金额为510元，且参与抽奖，所以甲可以抽奖2次. 甲获得的奖金总额为40元的情况有：甲两次摸出一个黄球以及甲只有一次摸出1个红球. 所以甲获得的奖金总额为40元的概率为. 【小问3详解】 因为乙的购物金额为605元，且参与抽奖，所以乙可抽奖3次. 在乙每次抽奖都获得奖金情况下，乙的奖金总额为元，那么的可能取值为. 所以. . . . 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以. 19. 已知抛物线：的准线方程为. （1）求的方程. （2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线标准方程求解即可； （2）（ⅰ）直线与抛物线有两个交点，利用判别式求解即可；（ⅱ）表示，利用的取值范围求解即可；（ⅲ）利用设点和韦达定理，可求解的中点坐标的关系，即可证明. 小问1详解】 根据题意可知准线方程为，即的准线方程为， 所以，即， 所以， 则抛物线的方程为：； 【小问2详解】 （ⅰ）依题意得直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当时，代入， 得， 则且，解得且， 所以的取值范围是； （ⅱ）设，，根据（ⅰ），利用韦达定理可得： ，， 所以， 代入可得：； 若，即，则， 所以 ， 即的取值范围是； （ⅲ） 因为直线OB的方程为， 所以点的坐标为， 设线段AD的中点为，则，， 则 ， 所以点在直线上，故线段AD的中点在一条定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $