精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2026届高三一模数学试题

乌鲁木齐地区2026年高三年级第一次质量监测 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分为问卷（4页）和答题卡（2页），答案务必书写在答题卡的指定位置上. 2.答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 复数 等于 A. i-1 B. 1-i C. 1+i D. -1-i 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，D两点，若，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的极大值点是 C. 在处的切线为 D. 图象的对称中心是 10. 两个具有相关关系的变量，的一组数据为，，，，其经验回归方程为，记，，相关系数为；若将数据调整为，，，，其经验回归方程为，记，相关系数为，则（ ） 附：， A. B. C. D. 11. 双曲线左右焦点为，，为坐标原点，过点作斜率为的直线交双曲线左支于，两点，点在轴上方，且，则（ ） A. B. 的离心率为2 C. 的面积为 D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则_______． 13. 已知，则的取值范围为______ 14. 已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，正四棱台的上底面四个顶点均在圆锥的侧面上，下底面四个顶点均在圆锥的底面圆周上，若正四棱台的上、下底面面积比为，则该正四棱台的体积为______ 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求的通项公式； （2）数列的各项依次是数列的第，，，项，这些下标构成等比数列，求数列的前项和. 16. 椭圆的一个顶点是，为坐标原点，离心率为. （1）求椭圆方程； （2）是椭圆上轴上方一点，是右焦点，的斜率为，求四边形的面积. 17. 如图，在三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点. （1）若点 在线段 上，且 ，求证：平面 ； （2）若 ，，，求平面 与平面 的夹角. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，求曲线的对称轴； （3）求的最大值和最小值. 19. 某人开车从地到地，依次路过编号为，，，的个路口，每个路口等可能地遇到红灯或绿灯且相互独立，记奇数号路口遇到红灯的次数为，偶数号路口遇到红灯的次数为，记事件“”为，的概率为. （1）求，； （2）当. （i）设，求； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐地区2026年高三年级第一次质量监测 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分为问卷（4页）和答题卡（2页），答案务必书写在答题卡的指定位置上. 2.答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念运算. 【详解】由题意可知，. 故选：C 2. 复数 等于 A. i-1 B. 1-i C. 1+i D. -1-i 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用复数的除法化简复数即得解. 【详解】由题得. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及在上的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数的定义域为，不具有奇偶性，B不是； 对于C，函数的定义域为R，是偶函数，在上单调递增，C是； 对于D，函数是R上的奇函数，不是偶函数，D不是. 故选：C 4. 若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A、C、D，作差判断B. 【详解】因为，所以，因为，所以，A错误； ，因为，所以，则，，B错误； 因为，所以，C错误； 因为且，所以，则，即，所以，D正确. 故选：D 5. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积运算律即可计算. 【详解】. 故选：B. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得，再利用正弦定理可得，根据正弦和角公式得，再利用面积公式求解即可． 【详解】，，， ， ， ， ． 故选：D． 7. 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，D两点，若，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设易得圆的半径、，结合的面积即可求参数， 【详解】由题意，，，且， ∴圆的半径，即，而， 由抛物线的定义知：到的距离， ∴，即，解得， 故选：A 8. 已知函数，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，即为，利用函数和的图像求解不等式；当时，即为，利用函数和函数的图象求解不等式，两类结果取并集即为所求. 【详解】当时，，即为， 画出函数和在上的图象如图所示， 当时，，所以的解为； 当时，不满足； 当时，，即为， 画出函数和函数的图象如图所示， 当时，，所以的解为. 综上，的解为. 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的极大值点是 C. 在处的切线为 D. 图象的对称中心是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，求导代入即可判断，对于B，根据导数研究函数的单调性，判断极值点即可；对于C，根据导数的几何意义求出切线方程；对于D，根据函数的对称性进行判断. 【详解】， 对于A，，故A错误； 对于B，令，则，解得或， 所以当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点是，故B正确； 对于C，，， 所以在处的切线为，即，故C正确； 对于D， ， 所以图象的对称中心是，故D正确； 故选：BCD 10. 两个具有相关关系的变量，的一组数据为，，，，其经验回归方程为，记，，相关系数为；若将数据调整为，，，，其经验回归方程为，记，相关系数为，则（ ） 附：， A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再结合最小二乘法、经验回归方程、相关系数计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 11. 双曲线左右焦点为，，为坐标原点，过点作斜率为的直线交双曲线左支于，两点，点在轴上方，且，则（ ） A. B. 的离心率为2 C. 的面积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义及余弦定理可得判断AB；结合三角形面积公式及余弦定理求解判断CD. 【详解】设双曲线焦点，由 及双曲线定义得， 在中，由，得，由余弦定理得 ，解得， 对于A，，A正确； 对于B，的离心率，B正确； 对于C，在等腰与中，， 解得，而， ，C错误； 对于D，在中，，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得； 【详解】解：因为，所以； 故答案为： 13. 已知，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式换为，结合对勾函数求解即可. 【详解】因为， 所以令，则，所以，由的图象可知， 所以，，所以. 故答案为：. 14. 已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，正四棱台的上底面四个顶点均在圆锥的侧面上，下底面四个顶点均在圆锥的底面圆周上，若正四棱台的上、下底面面积比为，则该正四棱台的体积为______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆锥及内接正四棱台的结构特征，作出过棱台对角面的截面，求出棱台的上下底面边长及高，再利用台体的体积公式计算得解. 【详解】依题意，圆锥的内接正四棱台的下底面正方形是圆的内接正方形， 上底面正方形的四个顶点在侧面上，该正四棱台的对角面所在平面截圆锥得其轴截面正， ，由正四棱台的上、下底面面积比为，得， 则，令圆锥的轴交正四棱台上底面于，则，而， 则正四棱台的高，该正四棱台的体积为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求的通项公式； （2）数列的各项依次是数列的第，，，项，这些下标构成等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而得到通项公式； （2）根据数列的构成特点，确定其通项公式，再计算前项和. 【小问1详解】 因为是等差数列，由已知，，得， 所以，所以，所以； 【小问2详解】 由题意可知：，所以. 16. 椭圆的一个顶点是，为坐标原点，离心率为. （1）求椭圆方程； （2）是椭圆上轴上方一点，是右焦点，的斜率为，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标和离心率公式，结合椭圆中、、的关系求解椭圆方程； （2）先求出右焦点坐标，再根据的斜率设出直线的方程，联立椭圆方程求出点的坐标，最后利用四边形面积公式计算面积. 【小问1详解】 由题知，，解得：，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 因为，所以：，联立， 得，解得或， 因为点在轴上方，所以，解得，故不合题意，应舍去，所以， 所以四边形的面积. 17. 如图，在三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点. （1）若点 在线段 上，且 ，求证：平面 ； （2）若 ，，，求平面 与平面 的夹角. 【答案】（1） 在三棱柱 中，取的中点，连接，由为的中点， 得，而，则，又为的中点，则， 而平面，平面，于是平面，平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证. （2）由给定条件证得两两垂直，进而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，而，则， 由，得，即， 故可以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 则， 设平面的一个法向量，则， 令，得， 而平面的一个法向量，因此， 所以平面与平面的夹角为. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，求曲线的对称轴； （3）求的最大值和最小值. 【答案】（1）增区间是，减区间是 （2） （3）当时，； 当，且为奇数时，. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将其化简，再根据正弦函数的单调性求解单调区间； （2）设出的对称轴，根据对称的性质，求出对称轴，再证明； （3）分，和，结合导数求解. 【小问1详解】 当时，， 令，解得. 令，解得. 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 当时，. 不妨设时，的对称轴方程为，由对称轴定义得， 令，得， 化简得，即，所以， 下面证明当时，恒成立， 因为 ， 所以的对称轴方程为. 【小问3详解】 当时，时，； 时，. 当时，，， 因为，且为奇数，单调递增，考虑一个周期，令， 当变化时，的变化如下表， 0 0 0 + 0 1 减 增 1 减 （接上表） 0 + 0 0 + 0 增 减 增 1 综上，当时，； 当，且为奇数时，. 19. 某人开车从地到地，依次路过编号为，，，的个路口，每个路口等可能地遇到红灯或绿灯且相互独立，记奇数号路口遇到红灯的次数为，偶数号路口遇到红灯的次数为，记事件“”为，的概率为. （1）求，； （2）当. （i）设，求； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】（1）； （2）（i）； （ii），证明如下： 设随机变量是比少的个数,可取， ， 而， 所以， 所以， 所以， 设，则， 所以， 即． 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用乘法公式计算概率即可； （2）（i）易知，再根据公式计算； （ii）设随机变量是比少的个数,可取，结合范德蒙恒等式得到，进而得到，设，再计算即可． 【小问1详解】 时，，则第1个路口遇到绿灯，第2个路口遇到红灯， ， 时，，则第1个路口遇到绿灯，第2个路口遇到红灯，第3个路口遇到绿灯， ； 【小问2详解】 （i）根据题意，， ； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $