精品解析：河北秦皇岛市卢龙县2025一2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷

2025－2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 一、精心选一选，慧眼识金！（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各数的平方根只有一个的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 式子有意义，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若，且，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于分式的判断，正确的是（ ） A. 当时，的值为0； B. 当时，有意义； C. 无论为何值，的值不可能是正整数 D. 无论为何值，总有意义 8. 如图，用边长为3两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 在计算时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（　　） 嘉嘉：＝＝＝1 琪琪：＝＝＝＝1 A. 嘉嘉正确 B. 琪琪正确 C. 都正确 D. 都不正确 10. 如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 11. 关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 12. 如图，，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，则的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 二、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心！每小题3分，共12分） 13. 实数与互为相反数，则的值为______． 14. 如图，在中，垂直的平分线于点，若的面积为，则的面积为______（用含的代数式表示）． 15. 如图，在中，点D在边上，且，连接，分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．点G在射线上，若，则与的数量关系为__________． 16. 如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是______． 三、解答题（耐心计算，认真推理，表露你萌动的智慧！共72分） 17 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 先化简，再求值： 为的立方根． 19. 数学课上老师提出问题：比较与的大小． “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较； “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系比较． 根据上面两个小组的思路，解决下列问题： （1）填空：______，______； （2）①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小． 20. 某小区为了促进全民健身活动开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个排球场．已知排球场的面积为，其中长和宽的比为，且排球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个排球场？ 21. 如图，已知，，垂足分别C，D，与交于点O，． （1）写出与的数量关系，并说明理由； （2）若E是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 22. A种糖的单价为18元/千克，B种糖的单价为30元/千克，商店将10千克A种糖和30千克B种糖混合而成什锦糖． （1）求该什锦糖的单价； （2）商店要使该什锦糖的单价降低1元，请通过计算确定需加入A，B两种糖中的哪一种糖？且需要加入多少千克． 23. 如图1，已知等边三角形的边长为，点，分别从点，同时出发，沿边，向和点运动，且它们的运动速度都是．直线，交于点． （1）求证：． （2）当点，分别在边，上运动时（不与点，重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． （3）连接，当点，运动_____时，是直角三角形．（直接写出结果即可） （4）如图2，若点，在分别到达点，后继续以原速在线段，的延长线上运动，直线，仍交于点，当是直角三角形时，直接写出点的运动时间_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 一、精心选一选，慧眼识金！（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可． 【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列各数的平方根只有一个的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根．根据“0的平方根是0，正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根”解答即可． 【详解】解：根据题意得，0的平方根是0，正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根； 故选：B． 3. 式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则 的取值范围是：． 故选：B． 4. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 5. 如图，若，且，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，利用求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 6. 不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要将分子分母的系数都化为正数，只需分子分母同乘10再约分可. 【详解】，故选A. 【点睛】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，掌握性质是关键. 7. 下列关于分式的判断，正确的是（ ） A. 当时，的值为0； B. 当时，有意义； C. 无论为何值，的值不可能是正整数 D. 无论为何值，总有意义 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式值为零的条件，理解这两个条件是关键；根据分式有意义的条件及分式值为零的条件去判断即可． 【详解】解：A、当时，分式无意义，故判断错误； B、当时，有意义，故判断错误； C、当时，的值是正整数3，故判断错误； D、由于，则无论为何值，总有意义，故判断正确； 故选：D． 8. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是4， 即大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 9. 在计算时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（　　） 嘉嘉：＝＝＝1 琪琪：＝＝＝＝1 A. 嘉嘉正确 B. 琪琪正确 C. 都正确 D. 都不正确 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的混合运算，结合题意逐步检验即可得到答案． 【详解】解： =2 ∴嘉嘉第一步出错；琪琪第三步出错；两个人计算都不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算是解决问题的关键． 10. 如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为7，且， ， 点表示的数是1，且点在点左侧， 点表示的数为：． 故选：C． 11. 关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0，解分式方程，得到含m的解，根据“该分式方程的解是负数”，得到两个不等式，解之，即可得到m的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵该分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， ∴，且， 解得：，且， 故选：C． 12. 如图，，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，则的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、含的直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过点作于，根据角平分线的性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 的面积为：， 故选：． 二、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心！每小题3分，共12分） 13. 实数与互为相反数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是立方根、平方根、相反数，掌握立方根的定义、相反数的定义、算术平方根的定义是解题关键．根据立方根的定义、相反数的定义、算术平方根的定义即可求出结论． 【详解】解：， 实数与互为相反数， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，垂直的平分线于点，若的面积为，则的面积为______（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键．延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在中，点D在边上，且，连接，分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．点G在射线上，若，则与的数量关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再证明，得到，得到，即可得出结论． 详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过作与， 于，于，连接，利用角平分线的性质和三角形的面积可得，根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可求出，进而得到的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作与， 于，于，连接， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， ∵，的面积， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 三、解答题（耐心计算，认真推理，表露你萌动的智慧！共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先进行二次根式的乘法计算，再计算加减； （2）分别计算负整数指数幂，绝对值，立方根，零指数幂，再计算加减； （3）分别进行二次根式的乘除计算，再计算加减． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 18. 先化简，再求值： 为的立方根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，立方根的概念理解，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先计算括号内分式的减法，然后将除法化为乘法计算，再求出的立方根，最后代入求值即可． 【详解】原式 为的立方根 ， 原式． 19. 数学课上老师提出问题：比较与的大小． “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较； “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系比较． 根据上面两个小组的思路，解决下列问题： （1）填空：______，______； （2）①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小． 【答案】（1）；5 （2）①为直角三角形；理由见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． （1）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，求出，的值即可； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据三角形三边关系进行判断即可． 小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴， ∴为直角三角形； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ∴． 20. 某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个排球场．已知排球场的面积为，其中长和宽的比为，且排球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个排球场？ 【答案】能，计算见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够根据题意求出排球场的长和宽．先设排球场的宽为m，则长为m，列出方程求得排球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建排球场了． 【详解】解：设排球场的宽为m，则长为m， 根据题意，得， ， 正数， ， ， ， ，， ． 能按规定在这块空地上建一个排球场． 21. 如图，已知，，垂足分别为C，D，与交于点O，． （1）写出与的数量关系，并说明理由； （2）若E是的中点，连接，求证：线段所在直线是边的垂直平分线． 【答案】（1），理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明，即可得出结论； （2）由（1）得，得到，根据等角对等边可得，结合是的中点，再利用线段垂直平分线的判定，即可得证． 【小问1详解】 解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 证明：由（1）得，， ， ， 点在边的垂直平分线上， 又是的中点， ， 在边的垂直平分线上， 线段所在直线是边的垂直平分线． 22. A种糖的单价为18元/千克，B种糖的单价为30元/千克，商店将10千克A种糖和30千克B种糖混合而成什锦糖． （1）求该什锦糖的单价； （2）商店要使该什锦糖的单价降低1元，请通过计算确定需加入A，B两种糖中的哪一种糖？且需要加入多少千克． 【答案】（1）27元/千克 （2）加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）根据总费用除以总质量进行计算即可； （2）根据“什锦糖的价格降低1元”列方程求解； 【小问1详解】 解：（元/千克）， 答：10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克； 【小问2详解】 若加A种糖x千克，则有： ， 解得：， 经检验：是这个方程的解； 若加B种y千克，则有： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，不合题意，舍去； 答：加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元； 23. 如图1，已知等边三角形的边长为，点，分别从点，同时出发，沿边，向和点运动，且它们的运动速度都是．直线，交于点． （1）求证：． （2）当点，分别在边，上运动时（不与点，重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． （3）连接，当点，运动_____时，是直角三角形．（直接写出结果即可） （4）如图2，若点，在分别到达点，后继续以原速在线段，的延长线上运动，直线，仍交于点，当是直角三角形时，直接写出点的运动时间_____． 【答案】（1）见解析 （2）的度数不变， （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质等． （1）利用等边三角形性质，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，进而推导； （3）设点，运动时，是直角三角形，根据题意，得，，利用直角三角形分类讨论：①当时，，则，，即；②当时，，，即；求解关于的方程即可解答； （4）设点运动的时间是，则，先证明，根据全等三角形的性质得到，分类讨论的直角顶点：或即可解答． 【小问1详解】 解：证明：是等边三角形， ，， 根据题意得，， ； 【小问2详解】 的度数不变，理由如下： ， ， ； 【小问3详解】 设点，运动时，是直角三角形， 根据题意，得，， ， 当是直角三角形时，分两种情况： ①当时，， ，即， 解得； ②当时，， ，即， 解得； 综上所述，当点，运动或时，是直角三角形； 【小问4详解】 设点运动的时间是，则， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 当是直角三角形时，分两种情况： ①当时， ， ，不符合题意； ②当时，， ， ， ，即， 解得， 当是直角三角形时，点的运动时间为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $