精品解析：内蒙古鄂尔多斯市乌审旗,杭锦旗,鄂托克旗,鄂托克前旗2025-2026学年第一学期西四旗期末考试高二数学

2025～2026学年第一学期西四旗期末考试 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（ ） A. 1 B. 3 C. D. 2. 两平行直线，之间的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知圆，圆，则这两圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列，则210架无人机可以同时排出的图形组数是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 11. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列，设，若数列的前项和为，则的值可能是（ ） A. 148 B. 150 C. 152 D. 154 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为________________． 13. 已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为_______________． 14. 已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足：． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 16. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值. 17. 在平面四边形中，，，（如图1），将沿着翻折到的位置（如图2），且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，其中． （1）求数列的通项公式； （2）令，记数列前项和为． （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 19. 如图，为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）若曲线与轴的交点，（在的左边），过点且斜率不为0，直线与交于点，判断点是否在定直线上，若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期西四旗期末考试 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合通项公式，利用列方程求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得． 故选：B. 2. 两平行直线，之间的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】由题意可知可以化为， 所以两平行直线，之间的距离. 故选：B. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 解得： 故选：B. 4. 已知圆，圆，则这两圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距， 所以两圆相外切， 所以这两圆的公切线的条数为3条. 故选：C. 5. 已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点，其中，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最小值，求出对应的值，即可得出点的坐标. 【详解】不妨设点，其中， 则点到直线的距离为， 故当时，取最小值，此时点的坐标为. 故选：C. 6. 在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成的角的三角函数值. 【详解】因为为的中点，所以. 如图：以为原点，OC，OB，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则， 因为为线段SB的一点，且，所以， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则. 故选：B 7. 某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排列，则210架无人机可以同时排出的图形组数是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】记第组中无人机的架数为，可知数列是首项为1，公差为3的等差数列，结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】记第组中无人机的架数为， 由图形可得， 可知数列是首项为1，公差为3的等差数列， 则数列的前项和， 令，得，解得（舍）或， 所以210架无人机可以同时排出的图形组数是12． 故选：C 8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围. 【详解】由题意知，，关于原点对称， 不妨设点为第一象限内一点，则，， 又，，所以，， 记，因为为锐角三角形， 所以，，， 即，，， 解得，所以. 故选:D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，且，则的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】AD 【解析】 【分析】先应用点在抛物线上得出，再应用焦半径公式计算求解即可. 【详解】由点在抛物线上，可得点的横坐标， 因为，由抛物线的定义，得， 解得或． 故选:AD. 10. 在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项通过空间向量的加减法，将向量按向量减法法则变形为，利用向量与基底的关系得到表达式；对于B选项根据空间向量的线性运算，通过选取路径，结合三等分点的向量表示，得出结果；对于C选项，展开向量平方并代入已知模长与夹角的内积公式，综合运用空间向量数量积的运算法则；对于D选项，通过计算其数量积是否为零来实现，再次利用已知夹角与向量内积的性质. 【详解】对于A选项，在平行六面体中，，故A正确； 对于B选项，因为点是上靠近的三等分点，所以， 又，所以，故B正确； 对于C选项，因为，， ， 所以，所以，故C错误； 对于D选项，，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列，设，若数列的前项和为，则的值可能是（ ） A. 148 B. 150 C. 152 D. 154 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据，可得，再分析各项的特征，进而可得出的各项，进而可得出答案. 【详解】所以， 所以， 观察的各项：， 从第2项起奇偶性分别为：奇偶奇，奇偶奇，奇偶奇，， 且为奇（偶）数时，也是奇（偶）数， 所以的各项依次为:， 所以数列的前150项和为， 因为， 所以的值可以是148，150，152. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：分析各项的特征，得出的各项，是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为________________． 【答案】## 【解析】 【分析】由方程求出，利用离心率公式即可求解. 【详解】由题意，得，所以，离心率． 故答案为： 13. 已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列片段和的性质得出，化简得出，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】由题意知、、成等比数列，所以， 即， 所以， 故当时，取得最小值． 故答案为：. 14. 已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足：． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 证明：由，得，即， 又，所以， 所以，即数列是首项为3，公比为3的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明； （2）结合(1)求出数列的通项公式，利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），得，即， 所以． 16. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，列出方程求得，求得圆； （2）根据题意求得，当时，得到，取得最小值，进而得出面积的最小值. 【小问1详解】 由题意，圆心在直线上，可设， 因为圆过点，且过点， 可得，整理得， 所以，即，且半径 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆，圆心，半径， 则四边形的面积， 设，因为， 所以当时，， 此时四边形的面积最小，最小值为； 17. 在平面四边形中，，，（如图1），将沿着翻折到的位置（如图2），且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，连接，与交于点， 因为在平面四边形中，， 所以垂直平分线段是的中点，所以，即， 因为，所以. 因为，所以， 所以. 翻折后，因为，所以， 又平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，与交于点，通过等腰三角形的三线合一证明，再根据勾股定理证明，根据线面垂直的性质定理即可得证平面，最后根据面面垂直的性质进行证明即可. （2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求解平面及平面的法向量，最后根据面与面的夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为两两垂直，故以点为坐标原点， 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设为平面的一个法向量，则， 令，得，所以. ，设为平面的一个法向量， 则，令，得，所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，其中． （1）求数列的通项公式； （2）令，记数列前项和为． （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解公差、比即可得解； （2）（i）根据错位相减法求和即可（ii）代入后分离参数，转化为恒成立，根据数列单调性求最值即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得， 由， 得由，解得 所以，． 【小问2详解】 （i）由（1）知, 所以①， 所以②， ①-②得： ， 所以． （ii）由题意，对任意的，均有恒成立， 所以，即恒成立． 设， 所以， 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为， 所以． 故的取值范围是． 19. 如图，为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）若曲线与轴的交点，（在的左边），过点且斜率不为0，直线与交于点，判断点是否在定直线上，若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用坐标代换法求出曲线的方程. （2）（i）由（1）的结论，利用点差法求出直线的方程；（ii）设出直线的方程，与曲线的方程联立，结合韦达定理求出点的横坐标即可. 【小问1详解】 设，由轴且，得， 由为圆上一动点，得，则， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知曲线的方程为，而，则点在曲线内， 设，则，， 两式相减，得，即， 由为线段的中点，得，，则， 所以的方程为，即. （ii）由（1）得，设直线的方程为，， 由消去得，， 则，，， 直线的方程为，直线的方程为， 因此， 解得，即点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $