第2章 三角恒等变换-单元测试卷 2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第2章　三角恒等变换 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 140°cos 10°+cos 40°sin 350°=(　　) A. B.- C. D.- 2.函数y=sin 3x+cos 3x的最小正周期是(　　) A.6π B.2π C. D. 3.已知=5,则cos2α+sin 2α=(　　) A.- B.3 C.-3 D. 4.sin-cos的值等于(　　) A.- B. C.- D. 5.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为(　　) A. B.- C. D.- 6.已知sin 2α=,则cos2(α-)=(　　) A.- B. C.- D. 7.已知sin(α+2β)=,cos β=,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为(　　) A. B. C. D. 8.设sin 20°=m,cos 20°=n,化简=(　　) A. B.- C. D.- 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列四个等式中正确的是(　　) A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°= B. C.cos2-sin2 D.=4 10.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则(　　) A.sin θcos θ=- B.sin θ-cos θ= C.sin θ-cos θ= D.tan θ=- 11.已知α,β∈(0,π),sin,cos(β-)=,则sin(α-β)的可能取值为(　　) A.- B.- C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知cos α=,α∈(0,),则cos(+α)=　　　　　.  13.函数y=cos x+cos的最小值是　　　　　,最大值是　　　　　.  14.已知tan(α+β)=,tan=-2,则tan=　　　,tan(α+2β)=　　　　. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知0<α<<β<π,tan=-2,sin β=. (1)求的值; (2)求sin(α+2β)的值. 16.(15分)(1)求值:sin 50°(1+tan 10°); (2)已知tan θ=-,求1+sin θcos θ-cos 2θ 的值. 17.(15分)在△ABC中,sin Acos A=sin Bcos B,且A≠B. (1)求证:A+B=; (2)求sin A+sin B的取值范围; (3)若(sin Asin B)x=sin A+sin B,试确定实数x的取值范围. 18.(17分)如图,三个全等的矩形相接,且AB=a,AD=b. (1)若b=2a,求tan(α+β)的值; (2)已知α+β=γ,求的值. 19.(17分)已知向量a=(cos α,sin β+2sin α),b=(sin α,cos β-2cos α),且a∥b. (1)求cos(α+β)的值; (2)若α,β∈,且tan α=,求2α+β的值. 参考答案 1.A　依题意,原式=sin 40°cos 10°-cos 40°sin 10°=sin(40°-10°)=sin 30°=,故选A. 2.C　由y=sin 3x+cos 3x, 得y=sin 3x+cos 3x)=sin(3x+), 可知该函数的最小正周期T=,故选C. 3.D　因为=5,所以=5, 解得tan α=3,cos2α+sin 2α=,故选D. 4.A　sin-cossin()=-sin=-.故选A. 5.A　∵α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-,∴sin α=,sin(α+β)=, ∴cos(2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.故选A. 6.D　cos2,由于sin 2α=, 所以cos2.故选D. 7.D　因为sin(α+2β)=,cos β=,α,β为锐角,又cos 2β=2cos2β-1=-<0, 所以α+2β大于90°.由同角三角函数关系, 可得cos(α+2β)=-,sin β=, 所以sin(α+β)=sin[(α+2β)-β] =sin(α+2β)cos β-cos(α+2β)sin β =--×,故选D. 8.A　因为sin 20°=m,cos 20°=n, 所以.故选A. 9.AD　对A:tan 60°=tan(25°+35°)=, 故tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=,故正确; 对B:,故错误; 对C:cos2-sin2=cos,故错误; 对D:=4,故正确.故选AD. 10.ACD　因为sin θ+cos θ=, 所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=, 即sin θcos θ=-,所以A正确; 所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=, 因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0, 即sin θ-cos θ>0, 所以sin θ-cos θ=,所以B错误,C正确; 联立 解得sin θ=,cos θ=-. 所以tan θ=-.所以D正确. 11.CD　∵cos, ∴cos=cos=sin, ∵α,β∈(0,π), ∴α+∈,β+∈. 又sin,sin, ∴α+,β+, ∴cos=-,cos=±, ∴sin(α-β)=sin[(α+)-(β+)]=sin(α+)cos(β+)-cos(α+)sin(β+)=.故选CD. 12.　因为cos α=,α∈(0,), 所以sin α=, 所以cos(+α)=coscos α-sinsin α=. 13.-　(方法一)y=cos x+cos xcos-sin xsincos x-sin x=cos x-sin x)=cos. 当cos=-1时,ymin=-; 当cos=1时,ymax=. (方法二)y=cos+cos(x+)=cos(x+)cos+sin(x+)sin+cos(x+) =cos(x+)+sin(x+)=cos(x+)+sin(x+)]=cos(-x-)=cos(x+), 所以-≤y≤. 14.-8　　tan=tan[(α+β)-]==-8. tan=-2,tan β=-. tan(α+2β)=. 15.解(1)因为tan=-2, 所以tan α=3, 所以. (2)因为tan α=3,0<α<, 所以cos2α=, 所以cos α=. 因为<β<π,sin β=,所以β=, 所以sin(α+2β)=sin=-cos α=-. 16.解(1)sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°(1+)=sin 50°×=1; (2)∵tan θ=-, ∴1+sin θcos θ-cos 2θ=1+sin θcos θ-(1-2sin2θ)=. 17.(1)证明因为sin Acos A=sin Bcos B, 所以sin 2A=sin 2B, 解得2A=2B或2A+2B=π, 即A=B,或A+B=. 又A≠B,所以A+B=. (2)解由(1)可知A+B=, 故sin A+sin B=sin A+sin=sin A+cos A=sin. 由题可知0<A<,所以<A+, 所以1<sin, 故sin A+sin B的取值范围是(1,]. (3)解由题意可知sin Asin B≠0, 所以x=, 设sin A+cos A=t∈(1,], 则t2=1+2sin Acos A,故sin Acos A=,代入得x==2, 故实数x的取值范围为[2,+∞). 18.解(1)若b=2a,则tan α=,tan β=1, 所以tan(α+β)==5. (2)由题图可得,tan α=,tan β=,tan γ=, 因为α+β=γ, 所以tan(α+β)==tan γ, 即,化简得a2=b2,所以a=b, 所以的值为1. 19.解(1)因为a∥b, 所以cos α(cos β-2cos α)-sin α(sin β+2sin α)=0, 所以(cos αcos β-sin αsin β)=2(sin2α+cos2α)=2, 所以cos(α+β)=2,即cos(α+β)=. (2)因为α,β∈,所以0<α+β<π. 因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=, 所以tan(α+β)=.因为tan α=, 所以tan(2α+β)==1. 因为0<α+β<π,且cos(α+β)=>0, 所以0<α+β<. 因为0<α<,所以0<2α+β<π. 因为tan(2α+β)=1,所以2α+β=. 9 学科网（北京）股份有限公司 $