第19章二次根式（寒假衔接自测试卷）2025-2026学年人教版数学八年级下学期单元复习试卷（培优卷）

2025-2026学年八年级数学下学期第19章单元自测试卷 （寒假衔接•培优卷） 人教版 考试范围：第19章二次根式；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）已知是正整数，则自然数n的最小值为（   ） A．12 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的化简，理解“被开方数是平方数，那么二次根式的值为整数”是解题的关键． 因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数n为3． 【详解】解：∵，且是整数； ∴是整数，即是完全平方数； ∴n的最小正整数值为3． 故选：D． 2．（3分）化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A 3．（3分）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 根据焦耳定律公式求解电流，需将已知量代入公式，通过代数运算求出电流的值． 【详解】解：已知焦耳定律公式，其中，，，将这些值代入公式求解电流： ． 故选：C． 4．（3分）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的乘除法法则，逐一验证每个等式的正确性． 【详解】解：对于①： ∵ ，∴ ①正确； 对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确； 对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确； 对于④：∵ = ，∴ ④错误； 因此，做错的是④． 故选：D． 5．（3分）对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算和，再求乘积即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（3分）若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，不合题意； B．与不是同类二次根式，不合题意； C．与不是同类二次根式，不合题意； D．，与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 7．（3分）估计的值应在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的混合运算，先根据二次根式的运算法则化简式子，再利用无理数的估算即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在2到3之间． 故选：B． 8．（3分）计算：（   ） A． B． C．2026 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式与幂的运算，解题关键是通过拆分指数，结合平方差公式简化高次幂的计算． 利用同底数幂的运算法则，将指数拆分后结合平方差公式简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 9．（3分）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式．直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 可设，，其中和都是正整数， 则， 又，∴， ∴只有满足条件的一组数，，， 此时，， 故只存在一组解，选项①正确； ②由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足条件的正整数对有和， 当时，，； 当时，，； 故存在两组解．故选项②正确； ③由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足的正整数对只有，， 但这不满足的条件， 故不存在满足条件的a，b，故该选项③正确； 故选：C． 10．（3分）已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，对任意正整数，满足，．下列结论中正确的个数是（    ） ①满足条件的单项式有3个； ②若，则当最大时，与是同类二根式； ③若，则满足条件的整式有19个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的定义，同类二次根式的判定；当，，则，故①正确；结论②在时n最大为5，此时，，两者为同类二次根式，正确；结论③中与条件矛盾，无解，故错误．因此仅结论①和②正确． 【详解】解：结论①：当，，，则， ∴存在满足条件的单项式有3个，即；故①正确． 结论②：∵，当最大时，则相邻差取最小值2． 由，，得，． 当时，，，，，，． ∴，，两者均为的倍数，为同类二次根式．∴正确． 结论③：∵，但 ∴，矛盾，无解．∴错误． 故选：C． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 提取根号下的完全平方因子进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（3分）要使代数式有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】代数式有意义需满足根号内被开方数非负且分母不为零，分别解不等式后结合取值范围． 本题考查了代数式有意义的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足两个条件： 第一，根号下的被开方数是非负数即，解得 ； 第二，分母不为零即，解得； 故且； 故答案为：且． 13．（3分）若正实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，灵活应用完全平方公式是解题的关键．结合已知利用完全平方公式进行变形求得，进而得到的值，然后再次利用完全平方公式进行变形，求得，即可得解． 【详解】解：，， ， ， 为正实数， ， ． 故答案为：． 14．（3分）已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的概念，解题关键是明确“只有同类二次根式才能合并”，从而确定被开方数相等，建立方程求解． 先将化为最简二次根式，根据同类二次根式才能合并，可知与​的最简形式是同类二次根式，进而建立等式求解． 【详解】解：． ∵最简二次根式能与另一个二次根式合并得到， ∴​是的同类二次根式，且是最简二次根式，因此有： ． 故答案为：． 15．（3分）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的非负性，二次根式的性质，非负数的性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键． 将方程整理成完全平方形式，利用非负数的性质求出和的值，然后代入，进行求值即可． 【详解】解：由 ， 移项得 ， 即 ． ， ， ， ， 解得 ，． 则 ． 故答案为：． 16．（3分）已知实数x，y满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系． 设，，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值． 【详解】解：设 ，， ∴，， ∴① ∵② ∴由①②得：，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合化简，核心是利用二次根式的运算法则、，并结合分式约分、分母有理化完成化简． 【详解】（1）解：由有意义，得到，， ； （2）解：由，，有意义，得到， ． 18．（6分）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ． 19．（8分） 在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值． 小刚是这样解的：   第一步   第二步   第三步 … 小刚在第____________步出现错误．请你写出正确的解题过程． 【答案】一；过程见解析 【分析】先确定的符号，再利用二次根式的性质结合的关系得出它们的符号，进而化简求出答案． 【详解】解：小刚同学未讨论的符号直接进行化简， ∴第一步是错误的 故答案为：一． 正确过程如下： ，， 可得，， ． 把，代入， 得， 的值为3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 20．（8分）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 21．（10分）阅读材料：由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别： ①对于正实数，如实数，在整数之间，则整数部分为9，小数部分为； ②对于负实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为 ． 根据材料解决下面的问题： (1)已知的整数部分为，小数部分为，分别求的值； (2)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)设是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】此题考查的是二次根式的混合运算，求一个数的整数部分和小数部分，掌握一个数算术平方根的取值范围的求法是解决此题的关键． （1）先求出的取值范围，然后根据题意即可求出 a 和 b 的值； （2）先求出的取值范围，然后根据不等式的基本性质即可求出的取值范围，从而求出的值，代入求值即可； （3）分别求出k的取值范围和的取值范围，根据题意即可求出m和n的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， ． ． ． （3）解：． ． ， ． ． ． 22．（10分）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 23．（12分）如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 【答案】(1) (2) (3)甲的侧面积更小，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得，根据甲，乙两个盒子侧面积可推出，结合即可求解； （3）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴． ∴， ∴甲盒子的侧面积为：， 故答案为： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵甲，乙两个盒子侧面积和为， ∴， 又， ∴． ∴． （3）解：甲的侧面积为：，乙的侧面积为：． ∴ ∵（） ∴ 又 ∴ ∴，即 ∴当时，甲的侧面积更小， 24．（12分）【阅读发现】 小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考： 两个公式： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，那么这个三角形的面积； 【尝试应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积． （2）已知一个三角形的三边长分别为，，，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用，，表示） 【发现关联】 思考关联：请你由秦九韶公式推导到海伦公式：，． 【答案】【尝试应用】（1）；见解析；（2）；【发现关联】见解析 【分析】尝试应用：（1）代入；过点作，设，则，在和中，应用勾股定理，可求出，，代入面积公式即可求解， （2）过点作，设，，则，根据勾股定理得到，，联立得：，解得：，由面积公式得到：，代入即可求解， 发现关联：将应用平方差公式进行展开，即可求解， 本题考查了，勾股定理，平方差公式的运用，二次根式的应用，解题的关键是：熟练掌握勾股定理，平方差公式进行运算． 【详解】解：尝试应用（1） ， 过点作， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴这个三角形的面积为：， （2）过点作， 设，，则， 则：，， ∴，解得：， ∴ ； 发现关联： ；其中． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第19章单元自测试卷 （寒假衔接•培优卷） 人教版 考试范围：第19章二次根式；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）已知是正整数，则自然数n的最小值为（   ） A．12 B．6 C．4 D．3 2．（3分）化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 3．（3分）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 4．（3分）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（3分）对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（3分）若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．（3分）估计的值应在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 8．（3分）计算：（   ） A． B． C．2026 D．2025 9．（3分）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 10．（3分）已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，对任意正整数，满足，．下列结论中正确的个数是（    ） ①满足条件的单项式有3个； ②若，则当最大时，与是同类二根式； ③若，则满足条件的整式有19个． A．0 B．1 C．2 D．3 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）化简 ． 12．（3分）要使代数式有意义，那么的取值范围是 ． 13．（3分）若正实数满足，则 ． 14．（3分）已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 15．（3分）已知，则的值为 ． 16．（3分）已知实数x，y满足，则 ． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）化简下列各式： (1) (2) 18．（6分）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 19．（8分） 在学完“二次根式的乘除”后，老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值． 小刚是这样解的：   第一步   第二步   第三步 … 小刚在第____________步出现错误．请你写出正确的解题过程． 20．（8分）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 21．（10分）阅读材料：由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别： ①对于正实数，如实数，在整数之间，则整数部分为9，小数部分为； ②对于负实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为 ． 根据材料解决下面的问题： (1)已知的整数部分为，小数部分为，分别求的值； (2)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)设是的小数部分，是的小数部分，求的值． 22．（10分）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 23．（12分）如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． (1)若，则甲盒子的侧面积为________； (2)若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； (3)甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 24．（12分）【阅读发现】 小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦――秦九韶公式．他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考： 两个公式： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为，，，那么这个三角形的面积； 【尝试应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______；请用学过的知识来解这个三角形的面积． （2）已知一个三角形的三边长分别为，，，试求出这个三角形面积的一般表达形式．（用，，表示） 【发现关联】 思考关联：请你由秦九韶公式推导到海伦公式：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $