第19章二次根式（寒假衔接自测试卷）2025-2026学年人教版数学八年级下学期单元复习试卷（基础卷）

2025-2026学年八年级数学下学期第19章单元自测试卷 （寒假衔接•基础卷） 人教版 考试范围：第19章二次根式；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 2．（3分）要使二次根式有意义，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（3分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（3分）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的t值为（   ） A． B． C．6 D．41 5．（3分）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 6．（3分）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B．（） C． D． 7．（3分）的解在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 8．（3分）化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 9．（3分）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（3分）对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）请写一个二次根式 ，使它与是同类二次根式． 12．（3分）若二次根式的值为0，则的值为 ． 13．（3分）已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是 ． 14．（3分）已知，，那么 ． 15．（3分）已知，，则代数式的值为 ． 16．（3分）下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算： (1)． (2)． (3) 18．（6分）小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 19．（8分）喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 20．（8分）设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． (1)若，，求b； (2)若，，求a． 21．（10分）已知，求的值． 22．（10分）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_______． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 23．（12分）我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． (1)已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积． (2)如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 24．（12分）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第19章单元自测试卷 （寒假衔接•基础卷） 人教版 考试范围：第19章二次根式；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、不含根号，不是二次根式，不符合题意； B、是三次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、无意义，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 2．（3分）要使二次根式有意义，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解此不等式即可确定的取值范围． 【详解】解：要使二次根式有意义， ∴， ∴． 故选：D． 3．（3分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有根号内的数相同时才能直接合并系数．对此一一计算即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式加减时，需被开方数相同才能合并， 选项A：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项D：，正确． 故选D． 4．（3分）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的t值为（   ） A． B． C．6 D．41 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，根据程序图列出算式是关键，根据程序图把代入计算，即可求解． 【详解】解：把代入计算： 第一次：， 第二次：， 则最后输出的t值为， 故选：B． 5．（3分）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 6．（3分）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B．（） C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，化为最简二次根式，利用二次根式的性质化简等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用二次根式的性质，分别将四个式子能化简的逐一化简，再作出判断． 【详解】解：， 故A不符合； （）， 故B不符合； 为最简二次根式， 故C符合； ， 故D不符合， 故选：C． 7．（3分）的解在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法，估算无理数的大小，熟练掌握估算方法是解题的关键． 先解方程，然后通过比较平方数估计所求解的范围. 【详解】解：∵ ， ∴，即， ∵ ， ，且 ， ∴， 因此在到之间. 故选：B． 8．（3分）化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， 故选：B． 9．（3分）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出，，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：C 10．（3分）对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）请写一个二次根式 ，使它与是同类二次根式． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则它们是同类二次根式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，是最简二次根式，被开方数为2， 因此只需写出一个被开方数为2的最简二次根式，例如； 故答案为：（答案不唯一） 12．（3分）若二次根式的值为0，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的值为时，被开方数必须为的条件是解题的关键． 根据二次根式的性质，当二次根式的值为时，被开方数必须为． 【详解】解：∵二次根式 的值为， ∴被开方数 ， 解得 故答案为：． 13．（3分）已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先将化简，得到，再根据同类二次根式的定义，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， 即最简二次根式与是同类二次根式， 故， 解得． 故答案为：． 14．（3分）已知，，那么 ． 【答案】0.0133 【分析】本题考查了算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键． 通过比较与的值，发现是的十分之一，根据平方根的性质，可推导出是的百分之一． 【详解】解：由已知，且， ∵， ∴， ∵， ∴， 因此． 故答案为：． 15．（3分）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的计算，掌握配方法构造完全平方是解题的关键． 将代数式中的二次三项式分别配成完全平方形式，然后代入数值计算． 【详解】解：由完全平方公式，得 ，． 代入 ，，得 ，． 所以 ，． 因此原式 ． 故答案为：4． 16．（3分）下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【答案】② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵，∴，故①说法错误； ②，要使为正整数，则需为整数，即为完全平方数，最小整数（此时，），故②说法正确； ③，被开方数含分母，不是最简二次根式，故③说法错误． 故答案为：②． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的计算，熟练掌握实数的计算法则是解题的关键. （1）先进行去括号，然后合并同类项即可求解； （2）首先去括号，然后合并同类项即可求解； （3）先计算平方，然后去括号合并同类项即可求解. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 18．（6分）小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 【答案】(1)不对，见解析 (2)且 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据二次根式的被开方数的非负性可得他的化简不对，利用二次根式的性质化简即可得； （2）根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0即可得． 【详解】（1）解：因为二次根式的被开方数不能小于0，所以他的化简不对． 正确的化简过程如下： ． （2）解：因为二次根式的被开方数不能小于0、分式的分母不能等于0， 所以成立的条件是且． 19．（8分）喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 【答案】42次 【分析】本题考查了二次根式的应用，先理解题意，再代入数值到，求出，再结合一分钟，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，取， 则， ∵一分钟， ∴， 即该座钟在一分钟内大约发出次嘀嗒声． 20．（8分）设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． (1)若，，求b； (2)若，，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据长方形的面积除以一条边等于另一条边，求出b即可； （2）根据长方形的面积除以一条边等于另一条边，求出a即可． 【详解】（1）解：根据题意得：b ； （2）解：根据题意得：a ． 21．（10分）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 先根据二次根式的运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 把，代入，得 原式 ． 22．（10分）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形，图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_______． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，二次根式的运算，负整数指数幂． （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可； （3）根据得到，，代入，进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，取格点、、、，再顺次连接， ∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边长为， 则正方形即为所作． （3）解：∵， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴． 23．（12分）我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． (1)已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积． (2)如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 【答案】(1)①，，3；②的面积为 (2)的面积为 【分析】本题主要考查平方，绝对值，算术平方根的非负性，秦九韶公式与海伦公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①根据平方，绝对值，算术平方根的非负性得到答案即可； ②选择海伦公式进行计算即可； （2）根据题目给出的公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，3； ②； （2）解： ； 24．（12分）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $