寒假巩固作业14预习检测卷（二次根式）2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级下册寒假巩固作业14预习检测卷（二次根式） 一、单选题（共30分） 1．（3分）下列各式属于二次根式的是（　　） A．1 B． C． D． 2．（3分）化简的结果是（    ）． A．4 B．2 C．8 D． 3．（3分）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（3分）若，则（    ） A． B．1 C． D． 6．（3分）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（3分）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 8．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 9．（3分）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 10．（3分）已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 二、填空题（共15分） 11．（3分）化简： ． 12．（3分）要使有意义，则x的取值范围是 ； 13．（3分）（1）10是______的算术平方根； （2）______；______. 14．（3分）已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 15．（3分）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 三、解答题（共75分） 16．（9分）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（9分）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（9分）计算： (1)； (2)． 19．（9分）计算： (1)； (2)． 20．（9分）阅读下列材料，完成文后任务： 清朝皇帝康熙的数学专著中，有一文《积求勾股法》中记载了三边长为3，4，5的整数倍的三角形，如果已知面积，求三边长的方法，把这种方法翻译成我们今天的数学语言是：如果三角形的三边长分别是3，4，5的整数倍，设它的面积为，则第一步：求，设等于；第二步：求，设等于；第三步：分别用3，4，5乘以得三边长分别为，，． 任务： (1)求当面积为96时，用康熙的“积求勾股法”求三角形的三边长． (2)你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由． 21．（10分）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 22．（10分）观察下列等式：．根据上述规律，解决下列问题： (1)填空：_____，______（n为正整数）； (2)计算：． 23．（10分）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册寒假巩固作业14预习检测卷（二次根式） 一、单选题（共30分） 1．（3分）下列各式属于二次根式的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义：形如，进行判断即可． 【详解】解：1，，，中属于二次根式的是； 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的判断．熟练掌握二次根式的定义，是解题的关键． 2．（3分）化简的结果是（    ）． A．4 B．2 C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，利用进行化简即可； 【详解】解：， 故选D 3．（3分）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟知同类二次根式的定义是解题的关键． 先把每个二次根式化为最简二次根式，然后根据被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式判断即可． 【详解】解：A、因为，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； B、因为，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、因为，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可得． 【详解】解：A. 不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；     B. 不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； C. 不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； D. 是最简二次根式，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 5．（3分）若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简与减法，对二次根式进行化简并利用二次根式的减法即可求出a． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 故选：C． 6．（3分）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 当即时， 原式=， 故选：C． 7．（3分）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 8．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式． 【详解】解：∵ ，， 情况一：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为 ； 情况二：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为． ∴ 周长为或， 故选：A． 9．（3分）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 10．（3分）已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，掌握将二次根式化为最简形式并合并同类二次根式，结合二次根式有意义的条件求解方程是解题的关键． 本题通过简化方程，将各项转化为的倍数，然后求解． 【详解】解：∵， ，， ∴原方程化为， ∴， 两边平方得， ∴ 故选：C． 二、填空题（共15分） 11．（3分）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．由即可化简． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（3分）要使有意义，则x的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（3分）（1）10是______的算术平方根； （2）______；______. 【答案】（1）100；（2）5， 【解析】略 14．（3分）已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 15．（3分）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，规律探究，根据规律确定，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ； ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16．（9分）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)28 (2)36 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 17．（9分）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则进行计算，即可作答． （2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再运算加法，即可作答． （3）运用完全平方公式进行展开，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．（9分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可； （2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 19．（9分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质，负整数指数幂和零指数幂进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（9分）阅读下列材料，完成文后任务： 清朝皇帝康熙的数学专著中，有一文《积求勾股法》中记载了三边长为3，4，5的整数倍的三角形，如果已知面积，求三边长的方法，把这种方法翻译成我们今天的数学语言是：如果三角形的三边长分别是3，4，5的整数倍，设它的面积为，则第一步：求，设等于；第二步：求，设等于；第三步：分别用3，4，5乘以得三边长分别为，，． 任务： (1)求当面积为96时，用康熙的“积求勾股法”求三角形的三边长． (2)你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由． 【答案】(1)，，； (2)能，理由见解析． 【分析】（1）将，代入，求出，然后乘以3、4、5，可求出三边长； （2）设直角三角形的三边上分别为、、，求出其面积即可证明结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴三边长分别为； 验证：∵3，4，5是勾股数， 设三角形的边长分别为， 故， ∵， ∴ 或（舍去）， 其边长分别为，，， 故康熙的“积求勾股法”正确； （2）解：能， 证明：三边为3､4､5的整数倍，设为倍， 则三边为，而三角形为直角三角形且为直角边． 其面积， ， 即：将面积除以6，然后开方，即可得到倍数． 【点睛】本题主要考查了直角三角形面积的应用，算式平方根的应用，掌握基本概念是求解的关键． 21．（10分）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据平方差公式和二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）先根据分式加减运算法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ． 22．（10分）观察下列等式：．根据上述规律，解决下列问题： (1)填空：_____，______（n为正整数）； (2)计算：． 【答案】(1)， (2)2025 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是掌握二次根式的分母有理化． （1）分子、分母同乘以即可求，分子、分母同乘以即可求； （2）分别将前面括号里的每项分母有理化，再相加，然后与后面括号的相乘即可． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：原式 ． 23．（10分）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $