精品解析：湖南衡阳市第一中学2025-2026学年上学期高一期末考试数学试题

衡阳市一中2025年下学期高一期末考试数学试题 考试时间：120 分钟 总分：150 分 命题人：范晓农 雷天虎 审题人：何志刚 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合A则（ ） A. B. C. D. 2. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 3. 已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 已知函数，其中e是自然对数的底数，若，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 6. 函数（）的图象如图，下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于对称 D. 将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象 7. 已知函数的零点为，函数的最小值为，且，则函数的零点个数是（ ） A. 2或3 B. 3或4 C. 3 D. 4 8. 定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在上的值域为，则实数的值可能取（ ） A. 1 B. C. D. 2 11. 若函数满足对，都有，且为上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 当时，单调递增 C. 是周期为1的周期函数 D. 集合中的元素个数为13 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计19分. 12. ，，若，则的最小值为______． 13. 已知函数f(x)＝若f(2－a)＝1，则f(a)＝________． 14. 已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）当时，求; （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数（a，b，）有最小值，且的解集为． （1）求函数的解析式； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 17. 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每千件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式： （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的年利润最大？ 18. 已知函数，；用表示，中的较小者，记为. （1）求在区间的值域； （2）若，是关于x的方程的两个根，求a的值； （3）若，且方程有两个实根，求实数b的取值范围. 19. 已知幂函数满足. （1）求函数的解析式； （2）已知函数定义域内的满足，求证：； （3）设函数的定义域为 ，如果存在区间，使得在上的值域也为，试求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市一中2025年下学期高一期末考试数学试题 考试时间：120 分钟 总分：150 分 命题人：范晓农 雷天虎 审题人：何志刚 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合A则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出集合再根据集合的交运算即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：D 【点睛】本题主要考查了集合的交运算，需掌握集合交运算的概念，属于基础题. 2. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的平移法则逐项计算判断即可. 【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位长度得： 的图像，故A错误； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度得： 的图像，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度得： 的图像，故C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得： 的图像，故D正确. 故选：D. 3. 已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质及指数函数的单调性，结合充分条件，必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当，满足，但不成立， 当时，满足，但不成立，故A错误； 对于B，当时，，但，故B正确； 对于C，时，，但不成立， 时，，但不成立，故C错误； 对于D，因为指数函数在上单调递增，故，故D错误. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得. 【详解】， 故选：D. 5. 已知函数，其中e是自然对数的底数，若，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数的解析式，判断函数的奇偶性，再对函数求导，判断函数单调性，即可判断出结果. 【详解】根据题意，函数，有，则函数为奇函数， 又由，则函数在R上为减函数， ，，又由，则； 故选B． 【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟记函数奇偶性定义，另外导数的方法是判断函数单调性比较实用的一种方法，属于基础题型. 6. 函数（）的图象如图，下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于对称 D. 将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数图像求得函数，根据函数性质判断选项即可. 【详解】解：根据的图象，结合五点法作图可得， ∴，故. 故它的周期为，故A错误； 令，求得，故B错误； 令，求得，为最大值，故C正确； 将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，故D错误， 故选：C. 【点睛】求三角函数的解析式时，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 7. 已知函数的零点为，函数的最小值为，且，则函数的零点个数是（ ） A. 2或3 B. 3或4 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，函数的零点个数，等价于方程或的根的个数，等价于函数的图象与直线，的交点个数，结合图像即可得解. 【详解】如图所示， . 因为函数的零点为， 所以， 因为， 所以或， 因为函数的最小值为，且，画出直线，， 则直线与的图像可能有一个交点或无交点，此时有一个实数根或无实数根，即函数有1个或0个零点， 而直线与的图像必有两个交点，此时有2个实数根，即函数有2个零点， 综上可知：函数的零点有2或3个． 故选：A. 8. 定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，，然后利用函数的单调性即得. 【详解】∵时,， ∴当时,； 当时,， 即时,， ∵在上单调递增， ∴且， 解得， ∴实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数在上的值域为，则实数的值可能取（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】先将函数解析式化简整理，得到，根据给定区间，得到，由正弦函数的对称性，得到，求出范围，即可得出结果. 【详解】， 因为，所以， 又函数在上的值域为，， 所以由正弦函数的对称性，只需，则， 因此ABC都可能取得，D不可能取得. 故选：ABC. 11. 若函数满足对，都有，且为上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 当时，单调递增 C. 是周期为1的周期函数 D. 集合中的元素个数为13 【答案】BD 【解析】 【分析】根据及为上的奇函数可推出函数为周期函数，可判断选项C；结合周期性及赋值法判断选项A；根据单调性的判断方法判断选项B；结合图象交点判断选项D. 【详解】因为为上的奇函数，所以，即. 又，所以，即， 所以2是的一个周期， 因为当时，， 所以，，，故C错误. 在中，令，则，所以. 则，故A错误. 因为，，在单调递增， 所以在上单调递增. 又，在上单调递增， 所以当时，单调递增，故B正确. 在同一直角坐标系中作出与的大致图象，因为， 结合图象可知，与的图象有13个交点，所以集合有13个元素，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计19分. 12. ，，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用及基本不等式求和的最小值即可求解． 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立． 的最小值为． 故答案为：． 13. 已知函数f(x)＝若f(2－a)＝1，则f(a)＝________． 【答案】-2. 【解析】 【分析】对a分类讨论，结合对数和指数的运算求解. 【详解】若2－a<2，即a>0时，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1.解得a＝－，不合题意． 当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2⇒a＝－1， 所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2. 故答案为: -2. 【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 14. 已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】研究函数的单调性，确定的关系及范围． 【详解】 由题意函数在上递减，上递增，上递减，作出图像，如图． 设，则，不妨设， ，由，得，所以，所以. 故答案为：． 【点睛】本题考查方程根的分布与函数零点问题．解题方法是数形结合思想．作出函数图象，得出函数性质，看作是直线与函数的交点横坐标，性质易得． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）当时，求; （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）代入，求出集合，可得； （2）分，讨论求解的取值范围. 【详解】（1）∵， 当时，， 则, ∴; （2）, 当时，则，得; 当时，则时，得或，解得，不满足要求， 综上所述，. 【点睛】本题考查集合的基本运算，注意不要遗漏时，的情况，是基础题. 16. 已知函数（a，b，）有最小值，且的解集为． （1）求函数的解析式； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理列出方程组解出即可； （2）分离参数得，，利用基本不等式求出右边最值即可. 【小问1详解】 令，则为方程的两根，则， 则由题有，解得， . 【小问2详解】 由（1）得对，， 即，，， ， 令，，则， 当且仅当，即时等号成立， 故，则. 17. 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每千件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式： （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的年利润最大？ 【答案】（1） （2）100千件 【解析】 【分析】（1）分、两种情况分别求出； （2）利用二次函数及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由题可知当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 则时有最大值； 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 所以当时有最大值； 综上，年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大. 18. 已知函数，；用表示，中的较小者，记为. （1）求在区间的值域； （2）若，是关于x的方程的两个根，求a的值； （3）若，且方程有两个实根，求实数b的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据，得到，再利用正弦函数的性质求解. （2）由题意得到，再利用平方关系得到求解. （3）由最小函数得到，然后画出其图象，根据方程有两个实根，利用数形结合法求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 即的值域是. （2）因为，是关于x的方程的两个根， 所以，且， 所以， 即， 解得或（舍）. （3）由题意得：，其图象如图所示： 因为方程有两个实根， 由图象知：实数b的取值范围是. 【点睛】方法点睛：函数零点或方程根的个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用． 19. 已知幂函数满足. （1）求函数的解析式； （2）已知函数定义域内的满足，求证：； （3）设函数的定义域为 ，如果存在区间，使得在上的值域也为，试求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 又，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义求出或，再根据即可求出答案； （2）利用基本不等式得到，解不等式即可证明； （3）根据题意得到，将代入得到，令，，则，求二次函数的值域即可求出答案. 【小问1详解】 因为为幂函数， 所以，解得或， 因为，所以， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在上单调递减， 所以， 两式相减得：， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，则，所以， 将代入， 得，， 令，，则，，所以， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $