精品解析：山西阳泉市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试卷

阳泉市2025~2026学年度 第一学期期末教学质量监测试题 高一数学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的减函数，且，，，，，则的零点可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知一个扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的周长为（ ） A. 32 B. C. 30 D. 5. 已知角的始边为轴的非负半轴，角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，那么的值可以是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上单调递增 11. 定义在上的连续奇函数，满足且在上单调递减，，则（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的周期为4 C. D. 设和的图象所有交点横坐标之和为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知命题：，，则命题的否定为______. 13. 若不等式的解集为，则______． 14. 函数是增函数，则实数的取值范围为________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 16. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）讨论函数的奇偶性； （2）判断函数在的单调性并用定义证明. 18. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值. （3）求函数在上的最值并求相应的的值. 19. 已知函数 （1）当时，求有意义时x的取值范围； （2）若在时都有意义，求实数a的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳泉市2025~2026学年度 第一学期期末教学质量监测试题 高一数学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】根据交集含义得. 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得且， 故函数的定义域为 3. 已知是定义在上的减函数，且，，，，，则的零点可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性结合得到答案. 【详解】是定义在上的减函数，且， 所以的零点必在区间内，所以的零点可能为2. 故选：C 4. 已知一个扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的周长为（ ） A. 32 B. C. 30 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由即可得解. 【详解】由题意设圆心角、半径以及弧长分别用表示，则弧长，扇形的周长为. 故选：D. 5. 已知角的始边为轴的非负半轴，角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出角的正余弦值和正切值，再对各选项运用诱导公式化简计算即可判断. 【详解】依题意，角的终边与单位圆的交点为， 由三角函数的定义得，，则. 对于A，由上可知显然错误；对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 6. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的平移伸缩变换即得结果. 【详解】由余弦函数的图象的平移伸缩变换规律可知： 将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象， 再向右平移个单位，可得函数的图象. 故选：A. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数奇偶性，结合函数值正负即可判断. 【详解】由，得， 所以是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B选项； 当时，，得，故排除A选项； 又，排除D选项， 故选：C. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集. 【详解】令，由题意知在上为减函数， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 又在上为减函数，， 所以在上为减函数， ①当时，，即， 所以，所以，解得； ②当时，，即， 所以，所以，解得.所以或. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，那么的值可以是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 故选：CD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】. A：，所以的最小正周期为，故A正确； B：令，得， 当时，， 所以为函数的一条对称轴，故B正确； C：令，得， 当时，， 所以为函数的一个对称中心，故C错误； D：令，得， 当时，，即的单调递增区间为， 而为的真子集，故D正确. 故选：ABD 11. 定义在上的连续奇函数，满足且在上单调递减，，则（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的周期为4 C. D. 设和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：将变形为即可判断；B：根据的大小关系可作出判断；C：根据B中计算出的周期化简，结合的奇偶性可判断结果；D：先分析的图象的对称性，然后作出在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 又因为是R上的奇函数，所以，所以， 所以，所以的一个周期为， 又因为，所以，所以的周期不可能为，故B错误； 对于C：因为的一个周期为，所以， 因为是R上的奇函数，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以的图象关于对称， 又因为，所以， 所以的图象也关于对称， 作出在同一平面直角坐标系中的图象如下图所示： 由图象可知：有两个交点，且交点关于对称， 所以的图象所有交点横坐标之和为，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知命题：，，则命题的否定为______. 【答案】 【解析】 【分析】改变量词，否定结论即得. 【详解】因特称命题的否定是全称命题，故命题：，的否定为. 故答案为： 13. 若不等式的解集为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集可构造方程组求得，由此可得结果. 【详解】的解集为，，解得：， . 故答案为：3. 14. 函数是增函数，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】因为函数在上为增函数， 所以. 所以实数的取值范围为：. 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算律和对数的运算性质计算；（2）将正余弦的齐次式化成正切代入计算即得. 【详解】（1） ； （2）∵， ∴. 16. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求解不等式得集合，利用集合的交并补运算即可求得； （2）根据推得，依题意列出不等式求解即得. 【小问1详解】 ∵， 当时，，则或 ∴或； 【小问2详解】 ∵，则， 显然，则， 解得，， 因此，的取值范围是. 17. 已知函数. （1）讨论函数的奇偶性； （2）判断函数在的单调性并用定义证明. 【答案】（1）奇函数 （2） 在上单调递增，证明如下： 在上任取，，且， ∵，∴，，∴， ∴，即， 故在上是增函数. 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断即可； （2）利用函数的单调性判断方法推理计算即得. 【小问1详解】 ∵，∴的定义域为 ∵，都有 且 ∴为奇函数. 【小问2详解】 略 18. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值. （3）求函数在上的最值并求相应的的值. 【答案】（1），递增区间为 （2）或或 （3）最大值为，此时；最小值为0，此时. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合图象，依次确定函数式中的，即得函数的解析式，再根据正弦函数的单调递增区间计算即得该函数的递增区间； （2）利用正弦函数的性质求解三角方程即得； （3）先利用三角恒等变换化简得，再根据给定区间，结合正弦函数的图象的单调性。对称性计算即得. 【小问1详解】 由图可得， 函数的最小正周期为，则， ∴， 由，可得， ∵，∴，解得，∴. 由，，可得，， ∴的递增区间为 【小问2详解】 由可得 ∴或， ∴或， ∵∴或或. 【小问3详解】 ∵，∴ 函数在上单调递增，在上单调递减， 故当，即时，函数取得最小值，值为， 此时，函数取得最大值，值为； 当，即时，函数取得最大值，值为1. 此时，函数取得最小值，值为0. 综上所述，函数的最大值为，此时. 函数的最小值为0，此时. 19. 已知函数 （1）当时，求有意义时x的取值范围； （2）若在时都有意义，求实数a的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）真数部分大于0，求解不等式即可；（2）由题意可转化为在时恒成立，分离a，可转化为求最值的问题；（3）方程有且仅有一个解，可转化为有且仅有一个解，讨论二次函数的图像与坐标轴的交点个数即可求解. 【小问1详解】 要使有意义，则， ∵ 即 解得 所以，x的取值范围为. 【小问2详解】 在时都有意义，即在时恒成立， 即在时恒成立， 即在时恒成立，只需即可 令， 令， ∵， ， 当且仅当，，且，即时等号成立， ∴ ∴，即最大值为1， ∴. 【小问3详解】 由已知，有且仅有一个解， 即有且仅有一个解， 即有且仅有一个解， 且，由（2）知， 显然，则有且仅有一个解， 令，则只有一个解，且， 当时，方程化为，解得满足； 当，即时，， 此时只有一个解，符合题意， 当，即时，，解得， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $