精品解析：新疆伊犁哈萨克自治州2025-2026学年第一学期 九年级数学期末试卷

2025-2026学年第一学期期末测试卷 九年级《数学》 分值：100分 考试时间：100分钟 考生须知： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分． 2．请将答案正确填写在答题卡上，写在试题卷上无效． 3．答题前，请在答题卡规定位置填写姓名、班级、考号等信息． 一、选择题（共9小题，每小题3分，共27分） 1. 下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，、、点都在上，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 3. 成语是中华文化精髓的重要载体，其背后蕴含着丰富的历史典故与哲学智慧．通过学习、运用成语，并探究其蕴含的语言文化现象，是传承中华优秀传统文化的重要方式．下列成语所描述的事件中，不属于必然事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 日出东方 C. 异口同声 D. 冬去春来 4. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，有最大值1 C. 当时，随的增大而增大 D. 对称轴为直线 6. 如图，在三角形ABC中，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形 的位置，使得点C、A、在一条直线上，那么旋转角等于（　 ） A. 125° B. 145° C. 70° D. 55° 7. 参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ） A. 6家 B. 8家 C. 10家 D. 12家 8. 徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③﹣a+c＜0；④若(﹣5，y1)、(，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有(　　)个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 10. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，,则⊙O的半径为 ___________． 11. 抛物线的顶点坐标是_______________． 12. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 13. 如图，E为菱形的对角线上一点，以E为圆心的圆弧恰好经过点A，B，C．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 14. 若一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________ 15. 某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是_____．（精确到） 三、解答题（共7小题，共55分，解答题应写出文字说明，演绎步骤．） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出将绕原点O顺时针旋转后得到的． （2）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 18. 在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． （1）求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． （2）如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 19. 中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了____________名学生； （2）补全条形统计图； （3）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率． 20. 中国空间站的建造和运营，是我国载人航天工程的重要里程碑，也是我国太空探索的新起点．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出______个模型； （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使销售“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 21. 如图，为的直径，是半圆的三等分点，过点作延长线的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若图阴影部分面积为，求的半径． 22. 如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）求点，，，的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标； （3）试判断点、点、点这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明；若不在同一个圆上，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末测试卷 九年级《数学》 分值：100分 考试时间：100分钟 考生须知： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分． 2．请将答案正确填写在答题卡上，写在试题卷上无效． 3．答题前，请在答题卡规定位置填写姓名、班级、考号等信息． 一、选择题（共9小题，每小题3分，共27分） 1. 下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、C是轴对称图形，但不是中心对称图形，因为A、C转180°不能和原来的图形重合； D是中心对称图形但不是轴对称图形； B既是中心对称图形也是轴对称图形． 故选：B 2. 如图，、、点都在上，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理：在同圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3. 成语是中华文化精髓的重要载体，其背后蕴含着丰富的历史典故与哲学智慧．通过学习、运用成语，并探究其蕴含的语言文化现象，是传承中华优秀传统文化的重要方式．下列成语所描述的事件中，不属于必然事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 日出东方 C. 异口同声 D. 冬去春来 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：水涨船高、日出东方、冬去春来都是必然事件； 异口同声是随机事件，故选项C不符合题意； 故选：C． 4. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：B． 5. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，有最大值1 C. 当时，随的增大而增大 D. 对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、最值及增减性． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向下，故A正确； ∴ 对称轴为直线，顶点为， ∴ 当时，有最大值1，故B正确； ∵ ，对称轴， ∴ 当时，随的增大而增大，故C正确； 对称轴为，不是，故D错误． ∴ 不正确的是D， 故选：D． 6. 如图，在三角形ABC中，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形 的位置，使得点C、A、在一条直线上，那么旋转角等于（　 ） A. 125° B. 145° C. 70° D. 55° 【答案】A 【解析】 【分析】已知∠BAC的度数，再根据旋转变换的性质求出∠BAC=70°，得到∠CAC的度数即可． 【详解】∵根据题意 由旋转的性质可知,∠BAC=∠BAC=55°， ∴∠BAC=70°， ∴∠CAC=125°， 故选A. 【点睛】此题考查旋转的性质，难度不大 7. 参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ） A. 6家 B. 8家 C. 10家 D. 12家 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解合同总数的计算方法是解题关键，注意舍去不符合题意的解. 公司数量为n，每两家公司签订一份合同，合同总数为，据此列方程求解． 【详解】解：设参加交易会的公司共有n家， 由题意得，， 整理得，， 解得或（舍去）， 故参加交易会的公司共有10家， 故选：C． 8. 徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键； 根据扇形面积公式结合阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该阴影部分的面积； 故选：C． 9. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③﹣a+c＜0；④若(﹣5，y1)、(，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有(　　)个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝﹣1时，y＜0，则得到a﹣2a+c＜0，则可对③进行判断；通过点(﹣5，y1)和点(，y2)离对称轴的远近对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①正确； ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝2a， ∴a﹣2a+c＜0，即﹣a+c＜0，所以③正确； ∵点(﹣5，y1)离对称轴要比点(，y2)离对称轴要远， ∴y1＞y2，所以④正确． 故答案为D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，灵活运用二次函数解析式和图像是解答本题的关键．. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 10. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，,则⊙O的半径为 ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】作直径CD，连接BD，根据圆周角定理和推论得到∠CBD=90°，∠D=∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解． 【详解】解：作直径CD，连接BD， ∵CD为直径， ∴∠CBD=90°， ∵∠D=∠A=30°， ∴CD=2BC=2×3=6， ∴⊙O的半径为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 11. 抛物线的顶点坐标是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：，且a，h，k是常数，它的对称轴是，顶点坐标是． 【详解】是顶点式， 故抛物线的顶点坐标是． 故答案为（1，-7） 【点睛】本题主要是对一般形式中对称轴，顶点坐标的考查． 12. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，关键是熟练应用规律解决问题； 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均互为相反数即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，E为菱形的对角线上一点，以E为圆心的圆弧恰好经过点A，B，C．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，扇形面积的计算．连接，设与相交于点，根据求解即可． 【详解】解：连接，设与相交于点，如图所示． 在菱形中，， ． ． 恰好经过点，， ． ．则 ． ． ． ． 14. 若一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________ 【答案】m<且m≠0 【解析】 【分析】由一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，可得△=b2-4ac＞0且m≠0，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：∵一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根， ∴△=b2-4ac=42-4×m×5=16-20m＞0， 解得：m＜， ∵m≠0， ∴m的取值范围为：m＜ 且m≠0． 故答案为m＜ 且m≠0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 15. 某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是_____．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是根据每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：由击中靶心频率都在上下波动， 所以该射手击中靶心的概率的估计值是， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共55分，解答题应写出文字说明，演绎步骤．） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2） 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴或 【小问2详解】 解：， ∴，即， ∴， ∴或， ∴或． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出将绕原点O顺时针旋转后得到的． （2）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； ． 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）要使的周长最小，则最小，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． （1）求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． （2）如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 【答案】（1） （2）能达到17万人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）求出8月份接待游客的总人数，则可得出答案． 【小问1详解】 解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得，（舍去）； 答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：8月份接待游客人数为（万人） ∵， ∴8月份该馆接待游客总量能达到17万人． 19. 中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了____________名学生； （2）补全条形统计图； （3）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率． 【答案】（1）200 （2）名， 补全条形统计图如图： （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答． （2）利用频数之和等于样本容量，计算补图即可． （3）画树状图，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得(人)， 故答案为：200． 【小问2详解】 解：参加C项活动的人数为：（名）， 【小问3详解】 解：画树状图如图： 由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中他们参加同一项活动的情况数有4种， 所以他们参加同一项活动的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，画树状图，熟练掌握统计图的意义，画树状图，正确计算样本容量是解题的关键． 20. 中国空间站的建造和运营，是我国载人航天工程的重要里程碑，也是我国太空探索的新起点．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出______个模型； （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使销售“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）28 （2）每个模型应降价10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个，列式计算即可； （2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得： （个）， 若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型 故答案为：28． 【小问2详解】 设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 每个模型盈利不少于25元， ． 答：每个模型应降价10元． 21. 如图，为的直径，是半圆的三等分点，过点作延长线的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若图阴影部分面积为，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 是半圆的三等分点， ，， ， ． 又， ， 是的切线． （2）2 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，扇形面积； （1）根据点为半圆的三等分点，则，得出，再根据可得为的切线； （2）根据题意可得是等边三角形，，，可得，根据图阴影部分面积为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 是等边三角形， ， ， ， ，（舍） 的半径为2 22. 如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）求点，，，的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标； （3）试判断点、点、点这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明；若不在同一个圆上，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点坐标为，点的坐标为 （2） （3） 点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是，理由： ∵点的坐标为，点的坐标为，顶点的坐标为， ∴，，， ∵，∴， ∴是直角三角形，并且是直角三角形的斜边， ∴点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是． 【解析】 【分析】（1）令，可得点，的坐标，令，可得点的坐标，将抛物线化为顶点式，可得点的坐标； （2）点A、点B关于对称轴对称，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可； （3）求出线段的长，利用勾股定理的逆定理即可判断的形状即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 令，则， ∴点的坐标为. ∵， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为：， ∴其对称轴为直线， 连接，过作轴交于点，连接，如图所示， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 由抛物线的对称性质可知， ∴的最小值， ∴点即为所求作的点， 当时，， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称求最短路线问题、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是要注意数形结合的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $