精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第一学期高一期末考试数学试卷

乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第一学期高一期末考试数学试卷 （请将答案写在答题纸上） 命题人：王永亮 审题人：靳艳军 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的．） 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知且，则的最大值为（ ） A. 2 B. 5 C. D. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知均为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，的零点分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的按个数计分，多迭或错选不得分.） 9. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 11. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数的值域为 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则__________. 13. 已知，，则__________． 14. 如图，现有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形.先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大.则符合要求的矩形的面积为___________，五边形的面积为___________. 四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共77分） 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 16. （1）已知.求的值. （2）化简. 17. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域. （3）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位得到的图象，求不等式的解集 18. 已知函数，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. （1）求函数解析式； （2）当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值： （3）已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）求的值，并写出在上的单调递增区间； （2）若函数在上共有4个零点，且分别为，求实数的取值范围及的值； （3）设，对，总，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第一学期高一期末考试数学试卷 （请将答案写在答题纸上） 命题人：王永亮 审题人：靳艳军 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的．） 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】因为命题， 所以是. 故选：C 2. 一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解. 【详解】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 4. 已知且，则的最大值为（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得，则，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值为. 故选：D 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，将与特殊值0，1比较大小，即可得到的大小关系． 【详解】因为， 所以． 故选：B． 6. 已知均为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用倍角公式得出进而得出的范围，，再计算的范围，进而得出，最后利用两角和差的余弦公式计算即可. 【详解】因，则， 因为为锐角，则， 又，则，所以， 又为锐角，，则， 因，所以，所以， 所以 ， 故选：B. 7. 已知函数，，的零点分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，则， 令，则， 令，则， 在同一直角坐标系中作出函数的图象， 则函数与函数的交点的横坐标分别为， 由图可知，. 故选：B. 8. 已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得， 依题意， 解得（*）. 又又，则， 故由（*）得，时，即①. 由，得， 因对任意，都有，则， 解得， 因为，故时，即②. 综合①，②，可得的取值范围为. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的按个数计分，多迭或错选不得分.） 9. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AC，利用不等式的性质分析判断，对于B，利用指数函数的性质分析，对于D，利用对数函数的性质分析判断. 【详解】对于A，因为，所以由不等的性质可得，所以A正确， 对于B，因为在上递减，且，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以，得，所以C错误， 对于D，因为在上递增，，所以，所以D正确， 故选：AD 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据五点作图法可得，进而可得，再正、余弦函数性质可判断BC，再由诱导公式可判断D. 【详解】由五点作图法可得，解得，故A正确； 再由，得，. 对B： ， 因余弦函数为偶函数，所以为偶函数，故B错误； 对C：由，，而正弦函数在单调递增， 故在上单调递增，所以C正确； 对D： ，所以D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 函数的值域为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇函数的定义结合对数的运算性质可求出的值，可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断B选项；求出真数的取值范围，结合对数函数的基本性质可求出函数的值域，可判断C选项；利用对数函数的单调性结合分式不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知函数为奇函数，所以， 即，即，所以， 即，解得， 当时，真数为，函数无意义， 当时，经检验，函数为奇函数，符合题意， 故，A对； 对于B选项，对于函数，令， 由，即，解得，故函数的定义域为， 因为内层函数在上为增函数， 外层函数为增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，B错； 对于C选项，因为，所以，故， 所以，故函数的值域为，C对； 对于D选项，由可得， 所以，故 所以，解得，D对. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及二倍角的余弦公式可得. 【详解】因为角以Ox为始边，终边与单位圆交于点，根据三角函数的定义可得 ，再由二倍角公式. 故答案为：. 13. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：将两式平方相加即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】 两式两边平方相加得，． ［方法二］： 利用方程思想直接解出 ，两式两边平方相加得，则． 又或，所以． ［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式 由，可得，则或． 若，代入得，即． 若，代入得，与题设矛盾． 综上所述，． ［方法四］：平方关系＋诱导公式 由，得． 又，，即，则．从而． ［方法五］：和差化积公式的应用 由已知得 ，则或． 若，则，即． 当k为偶数时，，由，得，又，所以． 当k为奇数时，，得，这与已知矛盾． 若，则．则，得，这与已知矛盾． 综上所述，． 【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解； 方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出； 方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出； 方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同； 方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦． 14. 如图，现有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形.先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大.则符合要求的矩形的面积为___________，五边形的面积为___________. 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】设得到，利用先求矩形面积的最大值，接着设得到，再利用梯形面积公式结合换元法即可分析计算求解所求五边形的面积. 【详解】 设，则， 当，即时，. 此时. 在此前提下，过点作垂足为S， 设. 在中，有，则， . 令，则， 此时，则， 所以当即时，的最大值为. 所以符合要求的五边形面积为. 故答案为：2； 四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共77分） 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】(1)利用集合的补集和并集运算即可求解； (2)把充分关系转化为集合的子集关系，从而可确定参数范围. 【小问1详解】 当时，， 则或， 即或或， 故或； 【小问2详解】 因为是的充分条件，所以， 即， 可得：，解得， 故的取值范围. 16. （1）已知.求的值. （2）化简. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先经过变角可得，再由诱导公式及商数基本关系式可得； （2）先进行切化弦，再由辅助角公式，二倍角公式及诱导公式可得. 【详解】（1）因为，所以. 所以. （2）原式 17. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求的值域. （3）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位得到的图象，求不等式的解集 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)运用二倍角公式和辅助角公式对原式化简整理，结合正弦函数的单调增区间求解； (2)通过的范围得到的范围，再求值域； (3)先求出的解析式，再解不等式，即可求得结果. 【小问1详解】 ， ， 令， 解得， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，则， 所以， 即，故的值域为. 【小问3详解】 由题意可知， 令， 则 解得， 所以不等式解集为 18. 已知函数，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. （1）求函数解析式； （2）当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值： （3）已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性分类讨论进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）利用换元法，结合对数函数的单调性、一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【小问1详解】 当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 由题意可得：， 此时区间为； 当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； 【小问2详解】 令，因为，所以， 所以， 所以，， 所以当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值； 【小问3详解】 令，因为，所以对应的， 且，原方程转化为： 设，需要这个二次函数在上有两个不同的实根， 需要满足， 解得或 所以实数的取值范围为 19. 已知函数. （1）求的值，并写出在上的单调递增区间； （2）若函数在上共有4个零点，且分别为，求实数的取值范围及的值； （3）设，对，总，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）；单调递增区间和； （2）；； （3）。 【解析】 【分析】（1）先根据大小化简函数，进而再计算函数值，再根据化简后的函数讨论函数的单调性； （2）将函数有4个零点转化为与有4个交点可得所求实数的取值范围，再根据函数图象的对称性可得，进而可求函数值； （3）直接将问题等价转化为，再分别求出两函数的最小值再解不等式可得. 【小问1详解】 因为 ， 当时，； 当时，. 因为，所以. 当，在上单调递减； 当，在上单调递增； 当，在上单调递减； 当，在上单调递增； 所以在上的单调递增区间为和 【小问2详解】 因为函数在上共有4个零点，所以与有4个交点， 如图：,所以，即. 函数在上有两条对称轴和， 设，则，， 即，所以 而，所以，即 【小问3详解】 因为对，总，使得，等价于 ， 先求在上的最小值，当，， 所以，在上单调递增， 所以. 令，则即变为函数 ， 这是一个开口向下的二次函数的一部分，所以函数的最小值区间的左端点或者右端点取得最小值， 所以或 要使得成立，，， 解得或. 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $