2.5 简单复合函数的求导法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦简单复合函数（形如f(ax＋b)）的求导法则，承接基本初等函数导数及四则运算法则，通过概念梳理、法则推导、例题解析构建学习支架，帮助学生从已知过渡到复合函数求导。 资料以情境引入引发思考，例题分层训练提升数学运算与抽象素养，结合切线、最短距离等实际问题培养数学建模能力。课中辅助教师清晰授课，课后通过不同难度练习帮助学生查漏补缺，巩固知识。

§5　简单复合函数的求导法则 课程标准 素养解读 1.能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 2．能利用复合函数的求导公式解决简单的实际问题. 1.在运用复合函数求导公式解题过程中提升数学抽象和数学运算的核心素养． 2．在解决实际问题的过程中培养数学建模的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 如何求函数y＝ln(2x－1)的导数？ 现有方法无法求出它的导数． (1)用定义不能求出极限； (2)不是基本初等函数，没有求导公式； (3)不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题． 这节课我们就来研究这类函数的求导问题。 [知识梳理] [知识点一]　复合函数的概念　 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成 　x的函数　，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的　复合函数　，记作　y＝f(φ(x))　，其中u为中间变量． 1.函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示]　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． [知识点二]　复合函数的求导法则　 y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．其中u＝φ(x) [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx.(　　) (2)函数y＝的导数是y′＝－.(　　) (3)f(x)＝ln(3x－1)，则f ′(x)＝.(　　) (4)f(x)＝x2cos 2x，则f ′(x)＝2xcos 2x＋2x2sin 2x.(　　) 答案：(1)√　 (2) √ (3)×　(4)× 2．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　) A．y＝un，u＝x2－1　　 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案：A 3．已知f(x)＝x3＋sin 3x，则其导函数f′(x)＝(　　) A．3x2＋3cos x B．x3＋3cos x C．x3＋3cos 3x D．3x2＋3cos 3x 解析：D　[f ′(x)＝3x2＋cos 3x·(3x)′＝3x2＋3cos 3x.] 4．函数y＝cos的导数为　________　. 解析：y′＝′＝－sin·(－3)＝3sin. 答案：3sin　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 复合函数的导数 [例1]　求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；(4) y＝sin (πx＋φ)． [解]　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数， ∴yx′＝yu′·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝ －6(2x－1)－4＝－. (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴yx′＝yu′·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝. (4) 函数y＝sin (πx＋φ)可以看成函数y＝sin u，u＝πx＋φ的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝(sin u)′·(π x＋φ)′＝cos u·π＝πcos(πx＋φ)． 1．解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数． (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤 [变式训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)； (3)y＝2sin；(4)y＝. 解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u， 所以y′x＝y′u·ux′＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10. (2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u， 所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝. (3)设y＝2sin u，u＝3x－， 则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos. (4)设y＝u－，u＝1－2x， 则y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(1－2x)′＝－u－×(－2)＝(1－2x)－ 复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2]　求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝x； (3)y＝xcossin. [解]　(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝， ∴y′＝＝＝. (2)y′＝(x)′＝x′＋x()′ ＝＋＝. (3)∵y＝xcossin ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x， ∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x·4＝－sin 4x－2xcos 4x. 1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的． 2．对于复合函数的求导，在熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． [变式训练] 2．求下列函数的导数． (1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sin x3； (3)y＝xln(1＋x)． 解：(1)∵y＝ ， ∴y′＝ ′＝ sin x. (2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. (3)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′＝ln(1＋x)＋. 复合函数导数法则的综合应用 [例3]　(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A.　　　　　　　 B．2 C．3 D．0 (2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝　________　. [思路点拨] (1)→ → (2)→ [解析]　(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2， 解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)． ∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. (2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2. [答案]　(1)A　(2)2 [母题探究] 1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值． [解]　由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝＝2，∴x0＝1，即切点P(1,0)， ∴＝2，解得m＝8或－12. 即实数m的值为8或－12. 2．(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积． [解]　由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0. 令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－.∴S△＝××1＝. 本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键． [变式训练] 3．(1)设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值． 解：由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0. (2)曲线y＝f(x)＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程． 解：设u＝sin x，则f′(x)＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cos xesin x，f′(0)＝1，切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0. 因为直线l与切线平行，所以可设直线l的方程为x－y＋c＝0. 两平行线间的距离d＝ ＝ ，解得c＝3或c＝－1. 故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0. [当堂达标] 1．函数y＝(2 023－8x)8的导数为(　　) A．y′＝8(2 023－8x)7　 B．y′＝－64x C．y′＝64(8x－2 023)7 D．y′＝64(2 023－8x)7 解析：C　[y′＝8(2 023－8x)7(2 023－8x)′＝－64(2 023－8x)7＝64(8x－2 023)7.] 2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 解析：B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝ 2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.] 3．函数y＝xln (2x＋5)的导数为(　　) A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋ C．2xln (2x＋5) D. 解析：B　[y′＝[xln (2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln (2x＋5)]′＝ln (2x＋5)＋x· ·(2x＋5)′＝ln (2x＋5)＋ .] 4．求下列函数的导数． (1)y＝ln (2x2＋x)；(2)y＝x· . 解：(1)设u＝2x2＋x，则yx′＝yu′ux′＝(ln u)′(2x2＋x)′＝(4x＋1)＝ . (2)y′＝x′ ＋x( )′. 先求t＝ 的导数．设u＝2x－1，则t＝u ， tx′＝tu′ux′＝u－(2x－1)′＝ × ×2＝ . ∴y′＝ ＋ ＝ . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．下列函数不是复合函数的是(　　) A. y＝－x3－＋1　　 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 解析：A　[A不是复合函数，B、C、D均是复合函数，其中B是由y＝cos u，u＝x＋复合而成；C是由y＝，u＝ln x复合而成；D是由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．] 2．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f′＝(　　) A．－2 B．2 C. D．－ 解析：A　[由题意，f′(x)＝2 cos 2x－2 sin 2x，所以f′＝2 cos π－2 sin π＝－2.] 3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：D　[令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－.∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3.] 4．函数y＝cos 2x＋sin 的导数为(　　) A．－2sin 2x＋ B．2sin 2x＋ C．－2sin 2x＋ D．2sin 2x－ 解析：A　[y′＝－sin 2x(2x)′＋cos ( )′＝－2sin 2x＋ × cos ＝－2sin 2x＋ .] 5．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x 解析：ACD　[对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2 xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5 x，故错误；对于D，y＝ x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误．] 6．若f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为　________　. 解析：因为f(x)＝(ax2－1)，所以f′(x)＝(ax2－1)－(ax2－1)′＝.又f′(1)＝2，所以＝2，所以a＝2. 答案：2 7．函数y＝ln 在x＝0处的导数为　________　. 解析：y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝. 答案： 8．已知函数f(x)＝ln . (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程． 解：(1)由题知：＞0，所以(1＋x)(1－x)＞0，解得－1＜x＜1. 所以函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)． (2)因为f′(x)＝＝，所以f′(0)＝＝2， 又因为f(0)＝ln ＝ln 1＝0， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x. [能力提升练] 9．(多选)以下函数求导正确的是(　　) A．若f(x)＝，则f′(x)＝ B．若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x C．若f(x)＝，则f′(x)＝ D．若f(x)＝cos，则f′(x)＝－sin 解析：AC　[对于A，f′(x)＝＝，故A正确，对于B，f′(x)＝e2x·2＝2e2x，故B错；对于C，f′(x)＝′＝·(2x－1)－·2＝(2x－1)－＝，所以C正确；对于D，f′(x)＝·2＝－2sin，故D错；故选：AC.] 10．设函数f(x)＝cos ( x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝　________　. 解析：f′(x)＝－ sin ( x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos ( x＋φ)－ sin ( x＋φ)＝2sin .若f(x)＋f′(x)为奇函数， 则f(0)＋f′(0)＝0，即2sin ＝0.∴φ＋ ＝kπ(k∈Z)． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝ . 答案： 11．已知函数f(x)＝f′sin x cos 2x(其中f′(x)为f(x)的导函数)，则f　________　. 解析：∵f′(x)＝f′ ＝f′(cos x cos 2x－2 sin x sin 2x)，∴f′＝f′＝ －f′，∴f′＝0，∴f(x)＝0， ∴f＝0. 答案：0 12．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′； (2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程． 解：(1)∵f(x)＝eπxsin πx， ∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx＝πeπx(sin πx＋cos πx)． ∴f ′＝πe＝πe (2)设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝0. 又y′＝，∴y′|x＝x0＝＝0. 解得x0＝0，此时y0＝1.即该点的坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0. [素养培优练] 13．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝2－P0，其中P0为该时刻放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　　) A．20天 B．30天 C．45天 D．60天 解析：D　[由P(t)＝P02－得P′(t)＝－·P02－ln 2，因为t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，即P′(15)＝－P0＝－，解得P0＝18，则P(t)＝18·2－，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P(t)＝4.5，所以18·2－＝4.5，即2－＝，所以－＝－2，解得t＝60.故选D.] 14．已知函数f(x)＝ln (ax＋1)＋ ，x≥0，其中a>0，若f′(1)＝0，则a＝　________　. 解析：f′(x)＝[ln (ax＋1)]′＋ ′＝＋ ， 所以f′(1)＝－ ＝0.所以a＝1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $