2.3 导数的计算-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学导数的计算核心知识点，从导数定义出发，系统梳理导函数概念及基本初等函数导数公式，通过知识梳理构建概念框架，结合例题与变式训练形成“定义-公式-应用”的完整学习支架。 该资料以情境引入激发探究兴趣，通过对比辨析（如f′(x₀)与f′(x)的区别）培养逻辑推理素养，结合切线方程求解、物理运动学问题（如速度加速度计算）提升数学运算能力。课中辅助教师高效授课，课后分层练习（基础、能力提升、素养培优）助力学生查漏补缺，强化知识应用。

§3　导数的计算 课程标准 素养解读 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. 通过运用基本初等函数导数公式解决简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的．在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的．由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数．本节我们就来研究这些问题． [知识梳理] [知识点一]　导函数的概念　 一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数f′(x)＝　 　，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数．有时也将导数记作y′. 1.f ′(x0)与f ′(x)有什么区别？ [提示]　 f′(x0)是一个确定的数，而f ′(x)是一个函数． [知识点二]　导数公式表　 函数 导函数 y＝c(c是常数) y′＝　0　 y＝xα(α是实数) y′＝　αxα－1　 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝　axln_a　，特别地(ex)′＝　ex　 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝　　，特别地(ln x)′＝　　 y＝sin x y′＝　cos_x　 y＝cos x y′＝　－sin_x　 y＝tan x y′＝　　 2.常数函数的导数为0，说明什么？ [提示]　说明常数函数y＝c图像上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数函数的导数是它本身．(　　) (2)指数函数的导数还是指数函数．(　　) (3)正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5 C．若y＝x－1，则y′＝－x－2 D．若y＝x ，则y′＝ x 答案：ABC 3．若f(x)＝cos ，则f′(x)＝(　　) A．－sin 　　　　 B．sin C．0 D．－cos 解析：C　[f(x)＝cos ＝ ，故f′(x)＝0.] 4．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标是　________　. 解析：(x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴，则切线斜率k＝0，即3x2＝0，得x＝0，∴y＝0，即切点为(0,0)． 答案：(0,0) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 用求导公式求函数的导数 [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝x－3；(2)y＝3x; (3)y＝log5x；(4)y＝cos；(5)y＝sin ；(6)y＝ln x；(7)y＝ex. [解]　(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3. (3)y′＝. (4)∵y＝sin x，∴y′＝cos x．(5)y′＝0.(6)y′＝. (7)y′＝ex. 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [变式训练] 1．(多选)下列结论错误的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B.′＝cos C．若y＝，则y′＝－ D.′＝ 解析：ABC　[因为(cos x)′＝－sin x，所以A错误；sin ＝，而′＝0，所以B错误；′＝(x－2)′＝－2x－3，所以C错误；′＝(－x－)′＝x－＝，所以D正确．] 利用导数公式求切线方程 [例2]　求曲线y＝ln x在点P(e,1)处的切线方程． [解]　因为y′＝，所以当x＝e时，y′＝，即切线斜率为，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. [母题变式] 1．求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线． [解]　因为点O(0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率k＝，又因为k＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，所以切线方程为x－ey＝0. 2．若方程ln x＝mx恰有一个根，求m的取值范围． 解：问题可以转化为函数y＝ln x与y＝mx的图像有且仅有一个公共点．由图像易知m≤0满足条件．另外就是y＝mx是y＝ln x的切线时满足条件．因为y＝mx图像过(0,0)，设切点为Q(a，b)，则切线斜率m＝，又因为m＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，m＝，即m的取值范围为(－∞，0]∪. 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． [变式训练] 2．在曲线y＝f(x)＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解：设切点坐标为P(x0，y0)，f′(x0)＝－2x＝tan 135°＝－1，即－2x＝－1，∴x0＝2.代入曲线方程得y0＝2－，∴点P的坐标为(2，2－)． 导数的简单应用 [例3]　(1)若质点的运动方程是s＝sin t，则质点在t＝ 时的速度为　________　；质点运动的加速度为　________　. [解析]　v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v ＝cos ＝ ，即质点在t＝ 时的速度为 . ∵v(t)＝cos t，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t，－sin ＝－ . [答案]　 　－ (2)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在两条曲线的一个公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． [解]　设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 要使两条切线互相垂直，必须满足cos x0(－sin x0)＝－1，即sin x0cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 导数的简单应用 (1)导数在物理中的应用：位移对时间t的导数就是速度，速度对时间t的导数即为加速度． (2)导数在函数中的应用：利用导数的几何意义，即切线的斜率建立切点的横坐标与切线斜率之间的关系解决问题． [变式训练] 3．(1)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝ ，则质点在t＝4时的速度为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：B　[∵s′＝t－，∴当t＝4时， s′＝ × ＝ .] (2)如图，已知曲线f(x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线g(x)＝(x≥0)相切于点P，且在点P处有相同的切线l，求点P的坐标及a的值． 解：设切点P(x0，y0)，由直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，得切线l的斜率为f′(x0)＝4x0. 由直线l与曲线y＝g(x)也相切于点P，得切线l的斜率为g′(x0)＝. 由f′(x0)＝g′(x0)，得4x0＝，解得x0＝. ∴y0＝＝，即点P的坐标为. 由点P在曲线y＝f(x)上，得2×()2＋a＝，解得a＝. ∴点P的坐标为，a的值为. [当堂达标] 1．已知f(x)＝cos x，f′(α)＝，α∈，则角α等于(　　) A.　　　　　　　　B. C. D. 解析：B　[由题意得f ′(x)＝－sin x，故sin α＝－.又α∈，故α＝.] 2．(多选)下列求导运算错误　的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．(3x)′＝3xlog3e C．(lg x)′＝ D．(x－2)′＝－2x－1 解析：ABD　[(cos x)′＝－sin x，故A不正确；(3x)′＝3x·ln 3，故B不正确；(lg x)′＝，故C正确；(x－2)′＝－2x－2－1＝－2x－3，故D不正确．] 3．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为　________　. 解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－. 答案：1或－ 4．求过曲线y＝sin x上点P 且与在这一点处的切线垂直的直线方程． 解：因为y＝sin x，所以y′＝cos x. 因为曲线在点P 处的切线斜率是cos ＝ ， 所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为－ . 所以所求的直线方程为y－ ＝－ ，即2x＋ y－ － ＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析：A　[因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x．所以f′＋f＝－sin ＋cos ＝0.] 2．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 解析：A　[f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.] 3．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 解析：C　[因为y＝ln x的导数y′＝，所以令＝，得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.] 4．(多选)下列求导过程正确的选项是(　　) A.′＝ B．()′＝ C．(xa)′＝axa－1 D．(logax)′＝ 解析：BC　[由′＝－，可知A错误；由()′＝，可知B正确；由(xa)′＝axa－1，可知C正确；由(logax)′＝，可知D错误；故选：BC.] 5．已知点P在曲线y＝2sin cos 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. ∪ 解析：D　[因为y＝2sin cos ＝sin x，所以y′＝cos x．设P(x0，y0)，由题意知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率k＝tan α＝cos x0.所以－1≤tan α≤1.因为0≤α＜π，所以α∈ ∪ .] 6．已知f(x)＝2x，则f′＝　____________　. 解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2xln 2，所以f′＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝e ln 2. 答案： e ln 2 7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是　________　. 解析：因为y′＝，所以切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，所以a＝4. 答案：4 8．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的取值． 解：因为f(x)＝cos x，g(x)＝x，所以f′(x)＝(cos x)′＝－sin x， g′(x)＝x′＝1.由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，所以sin x＝1. 所以x＝2kπ＋ ，k∈Z. 所以x的取值为 . [能力提升练] 9．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数的“新驻点”，若函数g(x)＝sin x(0＜x＜π)，h(x)＝ln x(x＞0)，φ(x)＝x2(x＞0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c 解析：B　[①若g(x)＝sin x，则g′(x)＝cos x，由sin x＝cos x，解得x＝，即a＝＜1.②若h(x)＝ln x，则h′(x)＝，由ln x＝，令r(x)＝ln x－，可知r(1)＜0，r(2)＞0，故1＜b＜2.③若φ(x)＝x2，则φ′(x)＝2x，由x2＝2x，x＞0，得x＝2，故c＝2.综上，c＞b＞a.] 10．记函数y＝f(2)(x)表示对函数y＝f(x)连续两次求导，即先对y＝f(x)求导得y＝f′(x)，再对y＝f′(x)求导得y＝f(2)(x)，下列函数中满足f(2)(x)＝f(x)的是(　　) A．f(x)＝x B．f(x)＝sin x C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln x 解析：C　[对于A，f′(x)＝1，f(2)(x)＝0≠f(x)；对于B，f′(x)＝cos x，f(2)(x)＝－sin x≠f(x)；对于C，f′(x)＝ex，f(2)(x)＝ex＝f(x)；对于D，f′(x)＝，f(2)(x)＝－≠f(x)，综上可知，只有C满足f(2)(x)＝f(x)，故选C.] 11．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　________　，　________　. 解析：因为y＝ln|x|， 当x＞0时y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝，所以y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)， 又切线过坐标原点，所以－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x； 当x＜0时y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由y′＝，所以y′|x＝x1＝，所以切线方程为y－ln(－x1)＝(x－x1)， 又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝(x＋e)，即y＝－x. 答案：y＝x；y＝－x 12．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程； (2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程． 解：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y＝－2. (2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)， 故其斜率可表示为＝， 又＝3x－3， 即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故所求直线的斜率为k＝3×＝－， ∴所示的直线方程为y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0. [素养培优练] 13．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　 ) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x 解析：AC　[若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x；则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图像(作图略)，可得两函数的图像有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.] 14．已知函数f(x)＝x2 023，则f ′＝　________　 解析：∵f(x)＝x2 023，∴f′(x)＝2 023x2 022， ∴f ′＝2 023×2 022＝2 023×＝1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $