2.1.1-2.1.2 平均变化率 瞬时变化率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦函数的平均变化率与瞬时变化率核心知识点，先通过高台跳水情境引入，系统梳理平均变化率的定义（函数值改变量与自变量改变量之比）、作用（刻画区间内变化快慢），再过渡到瞬时变化率（平均变化率“逼近”的结果，刻画一点处变化快慢），形成从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化问题驱动学习，如高台跳水速度分析，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过定义推导、例题计算（如求函数在某区间平均变化率）提升数学运算素养，设置预习自测、变式训练及分层习题，课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，体现数学思维的逻辑性与应用价值。

§1　平均变化率与瞬时变化率 1．1　平均变化率 1．2　瞬时变化率 课程标准 素养解读 1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率． 2．知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量. 1.通过对变化率是描述函数变化快慢的量的学习，培养了学生直观想象和数学抽象的核心素养． 2．借助求简单函数的平均变化率的学习，养成了学生的数学运算的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8. 如何利用上述函数关系描述运动员从起跳到入水的过程中运动速度的快慢程度呢？这就是这节课我们要学习的变化率问题． [知识梳理] [知识点一]　平均变化率　 1．定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1, x2] 的平均变化率＝.通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量的　改变量　，记作　Δx　，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的　改变量　，记作　Δy　.这样，函数的平均变化率就可以表示为　函数值　的改变量与　自变量　的改变量之比，即＝. 2．作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的　快慢　. 　函数的平均变化率是固定不变的吗？ [提示]　不一定．当x0取定值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx取定值，x0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定． [知识点二]　瞬时变化率　 1．定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率为＝＝. 当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率． 2．作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx＝x2－x1，知Δx可以为0.(　　) (2)Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．(　　) (3) 瞬时速度刻画某物体在某时刻变化快慢的情况．(　　) (4)平均速度与瞬时速度可能相等．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√(4) √ 2．y＝2x＋1在(1,2)内的平均变化率为(　　) A．3　　　　　　 B．2 C．1 D．0 解析：B　 [＝＝＝2.] 3．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为(　　) A．6＋Δt B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 解析：A　[因为Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝6Δt＋(Δt)2，所以＝6＋Δt.] 4．函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率为　________　. 解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则＝＝3，∴当Δx趋于0时，趋于3. 答案：3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求函数的平均变化率 [例1]　求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－ 时该函数的平均变化率． 解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为 ＝ ＝ ＝ ＝4x0＋2Δx. 当x0＝2，Δx＝－ 时，平均变化率的值为4×2＋2×＝7. (1)①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； ②计算平均变化率： ＝ . (2)要注意Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0.若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0. [变式训练] 1．已知运动方程y＝f(x)＝2x2的图像上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为(　　) A．4　　　　　　　　 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx 解析：D　[＝＝4＋2Δx.故选D.] 平均变化率的实际应用 [例2]　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如下图所示，试比较两人的速度哪个快？ [解]　s1(t0)＝s2(t0)，s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)， 故<. 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，即在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快． 平均变化率的意义 (1)本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程相对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论． (2)平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢. [变式训练] 2．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则下列说法不正确的是(　　) A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 解析：ABD　[在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误．] 求瞬时变化率 [例3]　质点P的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)． (1)求质点P在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点P在t＝1时的瞬时速度． [解]　(1)质点P在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为 ＝ ＝－6－3Δt(m/s)． (2)由(1)知 ＝－6－3Δt，当Δt趋于0时， 趋于－6，所以质点P在t＝1时的瞬时速度为－6 m/s. 求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤 (1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)计算 ，并化简，直到当Δx→0或Δx趋于0时有意义为止； (3)将Δx→0或Δx趋于0代入化简后的 即得瞬时变化率. [变式训练] 3．求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率． 解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1) ＝7Δx＋3(Δx)2. ∴＝＝7＋3Δx. ∴当Δx趋于0时，＝7＋3Δx趋于7＋3×0＝7. ∴函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7. [当堂达标] 1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 解析：B　[平均变化率为＝－1.] 2．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是(　　) A．v0 B. C. D. 解析：C　[由平均变化率的概念知C正确．] 3．观察函数f(x)的图像如图所示，平均变化率＝表示(　　) A．直线AB的点斜式方程 B．直线AB的斜截式方程 C．直线AB的两点式方程 D．直线AB的斜率 解析：D　[＝＝＝tan ∠BAC＝kAB.] 4．已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，y0)处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为　________　. 解析：Δy＝ －(2x＋1)＝4x0Δx＋2(Δx)2， ＝4x0＋2Δx，当Δx趋于0时， 趋于4x0＝－8.∴x0＝－2.∴点M的坐标为(－2,9)． 答案：(－2,9) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为(　　) A．3Δt＋6　　　　　 B．－3Δt＋6 C．3Δt－6 D．－3Δt－6 解析：D　[＝＝－6－3Δt.] 2．函数y＝f(x)＝3x在x从1变到3时的平均变化率等于(　　) A．12 B．24 C．2 D．－12 解析：A　[Δy＝f(3)－f(1)＝33－31＝24，则＝＝12.故选：A.] 3．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．4 解析：B　[由已知得＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.] 4．函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率估计是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：B　[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则＝＝3，∴当Δx趋于0时，趋于3.故选B.] 5．(多选)甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．现有下列四种说法正确的有(　　) A．前四年该产品产量增长速度越来越快 B．前四年该产品产量增长速度越来越慢 C．第四年后该产品停止生产 D．第四年后该产品年产量保持不变． 解析：BD　[设产量与时间的关系为y＝f(x)，由题图可知f(3)－f(2)＜f(2)－f(1)，则前三年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确，由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确，故说法正确的有BD.] 6．路灯距离地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为　________　 m/s. 解析：如图，设S为路灯，人的高度AB，则AB＝1.6 m,84 m/min＝ m/s，t s时人的影子长AC＝h，由直角三角形相似得＝，h＝t m．则人影长度的变化速率为＝＝. 答案： 7．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为　________　. 解析：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2， ∴＝4a＋aΔt，当Δt趋于0时，趋于4a，即4a＝8，解得a＝2. 答案：2 8．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率，并说明哪一阶段体重的平均变化较快． 解：从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为 ＝ ＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为 ＝ ＝0.4(千克/月)．因为1>0.4，所以该婴儿在从出生到第3个月这段时间内体重的平均变化较快． [能力提升练] 9．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝ 中，平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① 解析：B　[当Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－ ＝－ .∴k3＞k2＞k1＞k4.∴平均变化率最大的是③.故选B.] 10．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是　________　. 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，，结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]． 答案：[x3，x4] 11．函数f(x)＝x2与g(x)＝ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的是　________　. 解析：在(1，＋∞)上取(a，a＋1)，＝＝2a＋1，＝＝ln，因为a≥1，所以2a＋1≥3，ln≤ln＝ln 2＜1，所以＞，所以函数g(x)＝ln x在区间(1，＋∞)上的增长速度慢于函数f(x)＝x2的增长速度，故增长较快的为f(x)＝x2. 答案：f(x)＝x2 12．求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为 ，哪一点附近的平均变化率最大？ 解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝ ＝2＋Δx，在x＝2附近的平均变化率为k2＝ ＝4＋Δx，在x＝3附近的平均变化率为k3＝ ＝6＋Δx.若Δx＝ ，则k1＝2＋ ＝ ，k2＝4＋ ＝ ，k3＝6＋ ＝ .由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大． [素养培优练] 13．(多选)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c＝f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度c随时间t变化的关系如图所示． 给出下列四个结论正确的是(　　) A. 在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C. 在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D. 在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同 解析：ACD　[A.在t1时刻，为两图像的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B.甲、乙两人在t2时刻的切线的斜率不相等，即两人的瞬时变化率不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；C.根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故C正确；D.在[t1，t2]时间段，甲的平均变化率是，在[t2，t3]时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故D正确．] 14．已知a＞1，函数f(x)＝ln x，则下面结论中正确的有　__________　.(填上所有正确结论的序号) ①函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是大于1； ②函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是小于1； ③函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而增大； ④函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而减小． 解析：＝＝ln(a＋1)－ln a＝ln ＝ln ，因为a＞1，所以ln＜ln(1＋1)＝ln 2＜1，所以①错误，②正确．又当a＞1时，1＋随着a的增大而减小，ln 随着1＋的减小而减小， 所以随着a的增大而减小，所以③错误，④正确． 答案：②④ 学科网（北京）股份有限公司 $