1.4 数列在日常经济生活中的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

§4　数列在日常经济生活中的应用 课程标准 素养解读 1.掌握单利、复利的概念． 2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用． 3．掌握数列在日常经济生活中的应用. 1.通过数列在日常生活中的应用提升数学建模的核心素养． 2．通过数列在经济生活中的应用提升数学运算的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 同学们，请先欣赏一则幽默故事：一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇．美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款．而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足． 我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦，对我们已不再陌生；贷款购物，分期付款已深入我们生活．但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？ [知识梳理] [知识点一]　三种常见的应用模型　 1．零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部　本利和　，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)． 2．定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的　本利和　. 3．分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清． [知识点二]　常用公式　 1．单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝　P(1＋nr)　. 2．复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝　P(1＋r)n　. 3．产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝　N(1＋r)x　. 　数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？ [提示]　单利和复利两种方法． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息．(　　) (2)定期自动转存模型是等差数列．(　　) (3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价．(　　) 解析：(1)不正确，本息指本金与利息的和；(2)不正确，定期自动转存的模型不是等差数列；(3)不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计． 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了20层瓦片，共铺了瓦片(　　) A．420块　　　　　　　 B．630块 C．610块 D．620块 解析：C　[由题意每层所铺瓦片数构成一个以1为公差、以21为首项的等差数列，求前20项的和，所以共铺了S20＝20×21＋ ×1＝610块瓦片．] 3．现存入银行10 000元定期存款，存期1年，年利率是1.5%，那么按照复利，5年后本利和是(　　) A．10 000×1.0153元 B．10 000×1.0154元 C．10 000×1.0155元 D．10 000×1.0156元 解析：C　[由复利公式得S＝10 000×(1＋1.5%)5＝10 000×1.0155.] 4．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷了60层，若把各层都视为一个同心圆，π取3.14，则这个卷筒纸的长度约为　________　m(精确到个位)． 解析：∵纸的厚度相同，∴各层同心圆直径成等差数列． ∴l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·＝480π＝1 507.2(cm)≈15(m)． 答案：15 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 等差数列模型 [例1]　用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？ [解]　购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次构成数列{an}， 故a1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， … an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0.01＝121－n(万元)(1≤n≤20，n∈N＋)． 因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列． 故a10＝121－10＝111(万元)， a20＝121－20＝101(万元)． 20次分期付款的总和为 S20＝＝＝2 210(万元)． 实际要付300＋2 210＝2 510(万元)． 即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元． (1)按单利计算公式 单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期． (2)按单利分期付款问题的三个关键问题 ①规定多少时间内付清全部款额． ②在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同． ③规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式． [变式训练] 1．某人从1月起每月1日存入100元，到第2年1月1日取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计算，那么实际取出多少元？ 解：实际取出的钱等于本金＋利息． 到第2年1月1日取款时， 第1个月存款利息：100×12×0.165%， 第2个月存款利息：100×11×0.165%， … 第11个月存款利息：100×2×0.165%， 第12个月存款利息：100×1×0.165%， 所以S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2×0.165%＋100×1×0.165%＝100×0.165%×(1＋2＋3＋…＋12) ＝100×0.165%× ＝12.87. 所以实际取出100×12＋12.87＝1 212.87(元)． 等比数列模型 [例2]　张叔叔打算以一年定期的方式存款，计划从2020年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2030年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？ [思路点拨]　每年年初存入的a元的本利和组成等比数列，将问题变为求等比数列前n项和问题． [解]　设从2020年年初到2030年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)， 则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)． 故数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)是首项a1＝a(1＋p)10、公比q＝ 的等比数列，2030年年初张叔叔取出的钱数为 S10＝＝[(1＋p)11－(1＋p)](元)． (1)复利问题的计算方法 复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n. (2)解决等比数列应用题的关键 ①认真审题抓特点，仔细观察找规律． ②等比数列的特点是增加或减少的百分数相同． ③分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查． [变式训练] 2．银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q，按单利计算利息．银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于　________　. 解析：设储户开始存入的款数为a，由题意得，a(1＋3q)＞a(1＋r)3， ∴q＞[(1＋r)3－1] 答案：(1)8×1.0255　(2)[(1＋r)3－1] 实际应用问题 [例3]　某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元．两种方案，使用期限都是10年，到期一次性归还本息，若银行贷款的年利率为10%，按复利计息，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到千元，1.110≈2.594,1.310≈13.786) [解]　甲方案，10年获利中，每年获利构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.62(万元)， 贷款本息总数为10(1＋10%)10＝10×1.110≈25.94(万元)， 甲方案净获利42.62－25.94≈16.7(万元)． 乙方案，10年获利中，每年获利构成等差数列，首项为1，公差为，前10项和为 T10＝1＋＋＋…＋＝＝32.5(万元)， 贷款本息总数为 1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×≈17.53(万元)， 乙方案净获利32.5－17.53≈15.0(万元)．比较两种方案可得甲方案获利较多． [母题变式] 1．(变条件)在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润，丁方案：一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案的年利率均为2%，按复利计息．试比较两种方案，哪种方案净获利更多？(参考数据：1.259≈7.45,1.2510≈9.3,1.029≈1.20,1.0210 ≈1.22) [解]　丙方案，由题意知每年的利润an成等比数列，a1＝4，公比q＝1＋25%＝1.25，n＝10，收入S丙＝＝＝132.8(万元)， 净获利W丙＝132.8－40(1＋2%)10＝132.8－48.8＝84(万元)． 丁方案，由题意，每年的利润bn成等差数列，b1＝3，公差为1.5，n＝10， 收入S丁＝10×3＋×10×9×1.5＝30＋67.5＝97.5(万元)， 净获利W丁＝97.5－20(1＋2%)10＝97.5－24.4＝73.1(万元)． 所以丙方案净获利更多． 将实际问题转化为数列问题时应注意 (1)分清是等差数列还是等比数列． (2)分清是求an，还是求Sn，特别要准确确定项数n. (3)递推关系的发现是数列建模的重要方式． [变式训练] 3．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则a的最小值为　________　. 解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，混合动力型公交车的数量组成首项为300，公差为a的等差数列，则5年后的数量和为＋300×5＋a，所以＋300×5＋a≥5 000，即10a≥1 812，解得a≥181.2，因为5年内更换公交车的总和不小于5 000，所以a的最小值为182. 答案：182 [当堂达标] 1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒钟　　　　　　 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 解析：B　[依题意，得1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴≥100，∴2n≥101，∴n≥7，则细菌将病毒全部杀死至少需要7秒钟．] 2．某钢厂的年产值由2002年的40万吨，增加到2012年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2022年的年产值将接近(　　) A．60万吨 B．61万吨 C．63万吨 D．64万吨 解析：C　[设年增长率为x，则2012年为：40(1＋x)10＝50，则(1＋x)10＝.2022年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2＝40××＝62.5≈63(万吨)．] 3．某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m以外的公路，沿公路一侧每隔50 m埋一根电线杆，又知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输卡车运行　________　m. A．11 700 m B．14 600 m C．14 500 m D．14 000 m 解析：由近往远运送，第一次运两根，以后每次运三根，这种运法最佳，由近往远运送，每次来回行走的米数构成一个等差数列，记为{an}，则a1＝1 100，d＝300，n＝7，所以S7＝7×1 100＋ ×300＝14 000. 答案：14 000. 4. 1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，最后关闭的这个水龙头放水的时间是多少？ 解：设共有n个水龙头，每个水龙头开放时间依次为x1，x2，…，xn， 由已知x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…＝xn－xn－1，数列{xn}是等差数列，每个水龙头1 min放水，所以＝1，即Sn＝24n，即＝24n，所以(x1＋xn)＝24，x1＋xn＝48.又因为xn＝5x1，所以6x1＝48，x1＝8，xn＝5x1＝40. 故最后关闭的这个水龙头放水的时间是40 min. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．某工厂2021年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2028年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为(　　) A．2－1　　　　　　　 B．2－1 C. 3－1 D．3－1 解析：B　[设2021年年底总产值为a，年平均增长率为x，则a(1＋x)7＝4a，得x＝2－1.] 2．现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是(　　) A．8×1.0253万元 B．8×1.0254万元 C．8×1.0255万元 D．8×1.0256万元 解析：C　[定期自动转存属于复利问题，5年末的本利和是8×(1＋2.50%)5＝8×1.0255万元．] 3．某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一月，共付12次，若按月利率0.5%，每月复利一次，则a，b满足(　　) A．b＝ B．b＝ C．b＝ D. <b< 解析：D　[∵b·(1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)＝a(1＋0.005)12，∴12b<a(1＋0.005)12.∴b< .又显然12b>a即b> .] 4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1 200尺，则需要几天时间才能打穿(结果取整数)(　　) A．12 B．11 C．10 D．9 解析：B　[大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成等比数列{an}，{bn}，a1＝b1＝1，数列 的公比为q1＝2，数列{bn}的公比为q2＝ ，设需要n天能打穿墙，则(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝ ＋＝2n＋1－ ，n＝10时，2n＋1－ ＝1 025－ ≈1 025<1 200，n＝11时，2n＋1－ ＝2 049－ ≈2 049>1 200，因此需要11天才能打穿．] 5．已知甲、乙两车间的月产值在2022年1月份相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2022年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2022年4月份月产值的大小，则(　　) A．甲大于乙 B．甲等于乙 C．甲小于乙 D．大小不确定 解析：A　[设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在2022年1月份同为m， 则由题意得m＋6a＝m·(1＋x)6，① 4月份甲的产值为m＋3a,4月份乙的产值为m·(1＋x)3，由①知，(1＋x)6＝1＋ ，即4月份乙的产值为m ＝ . 因为(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2>0， 所以m＋3a> ，即4月份甲的产值大于乙的产值．] 6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2021年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为　________　吨，2026年的垃圾量为　________　吨． 解析：2021年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2021年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2026年是从2021年起再过5年，所以2026年的垃圾量是a(1＋b)5吨． 答案：a(1＋b)　a(1＋b)5 7．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金　________　万元． 解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列{an}，则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2，a2＝ a1－1，依次类推，an＋1＝ an－1，∴an＋1＋2＝ (an＋2)．∴{an＋2}是一个等比数列，公比为 ，首项为a1＋2.∴an＋2＝(a1＋2)· n－1 . ∴an＝(a1＋2)·－2.∴第6名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)× 6－2＝0.∴a1＝126，即全部资金为126万元． 答案：126 8．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2022年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2022年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2022年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数) 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a·0.9n－1. (2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)． ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80， 即a≤，∴a≤12.3.故2022年最多出口12.3吨． [能力提升练] 9．(多选题)计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象．当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态．该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是(　　) A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 解析：ABC　[设第n＋1分钟之内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2，由an＋1＝2(Sn＋1)可得an＝2(Sn－1＋1)，两式相减得：an＋1－an＝2an， 所以an＋1＝3an，所以每分钟内新感染的病毒构成以a1＝2为首项，3为公比的等比数列， 所以an＝2×3n－1，在第3分钟内，该计算机新感染了a3＝2×33－1＝18个文件，故选项A正确；经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋＝35＝243个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋＝310＞×105， 所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；故选：ABC] 10．用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，买这件家电实际付款　________　元． 解析：购买时付了150元，欠款1 000元．每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{an}，则a1＝50＋1 000×0.01＝60，a2＝50＋(1 000－50)×0.01＝60－0.5，a3＝50＋(1 000－50×2)×0.01＝60－0.5×2，类推，得an＝60－0.5(n－1)(1≤n≤20)． 所以付款数{an}组成等差数列，公差d＝－0.5，全部贷款付清后，付款总数为 150＋S20＝150＋20a1＋ × ＝150＋20×60－ ＝1 255. 答案：1 255 11．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平．某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元．则引进该生产线后总盈利的最大值为　________　. 解析：设引进设备n年后总盈利为f(n)万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为an万元， 则由题意，知{an}为等差数列，其中首项a1＝24，公差d＝8，前n年成本之和为万元， 故f(n)＝100n－[24n＋4n(n－1)＋196]＝－4n2＋80n－196＝－4(n－10)2＋204，n∈N＋， 所以当n＝10时，f(n)max＝204，即总盈利的最大值为204万元． 答案：204 12．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天支付4元，第二天支付8元，第三天支付12元，以此类推；第三种，第一天支付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加一倍)．他选择哪种方案领取报酬更合算？ 解：设该学生能工作n天，每天领的工资为an元，所有的工资为Sn元，则第一种方案：an(1)＝38，Sn(1)＝38n； 第二种方案：an(2)＝4n，Sn(2)＝4(1＋2＋…＋n)＝2n2＋2n； 第三种方案：an(3)＝0.4×2n－1，Sn(3)＝ ＝0.4(2n－1)． 令Sn(1)≥Sn(2)，即38n≥2n2＋2n，解得0≤n≤18. 令Sn(1)≥Sn(3)，即38n≥0.4(2n－1)． 利用计算器求得小于或等于9天时，第一种方案领取报酬高， 所以当n<10时，选择第一种方案领取报酬． 因为当n≥10时，Sn(1)≤Sn(3)，Sn(2)≤Sn(3)， 所以当n≥10时，选择第三种方案领取报酬． [素养培优练] 13．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加 . (1)求n年内旅游业的总收入； (2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元． 解：(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，则a1＝400，an＋1＝ an＝ an，所以 ＝ ， 所以数列{an}是公比为 的等比数列， 所以Sn＝ ＝ ＝1 600 ，即n年内旅游业总收入为1 600 万元． (2)由(1)知Sn＝1 600 ， 令Sn>8 000，即1 600 >8 000， 所以 n >6，所以lg n >lg 6， 所以n> ≈8.029 6.所以大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元． 14．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．记从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}． (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式； (2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨)．(参考数据1.054≈1.215,1.055≈1.276,1.056≈1.340) 解：(1)由题意，从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}， ∴{an}是以20(1＋5%)为首项，1＋5%为公比的等比数列；{bn}是以6＋1.5＝7.5为首项，1.5为公差的等差数列，∴an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n. (2)设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn， ∴Sn＝(a1－b1)＋…＋(an－bn)＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn) ＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－[7.5＋9＋…＋(6＋1.5 n)] ＝－(7.5＋6＋1.5n)＝420×1.05n－n2－n－420， 当n＝5时，Sn≈63.5. ∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨． 学科网（北京）股份有限公司 $