1.4 数列的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学数列的应用，系统梳理单利（等差数列模型）、复利（等比数列模型）概念，构建零存整取、定期自动转存、分期付款三种实际应用模型，形成从概念理解到模型应用的学习支架。 采用梯度进阶式教学，通过基础训练、题型分类（如银行存款比较、分期付款计算），培养学生用数学眼光观察经济现象，用数学思维推理运算，用数学语言建立模型。课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

　§4　数列的应用 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握单利、复利的概念.　　2.了解零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用. 1.单利、复利 单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为利息=本金×利率×存期. 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和，则有S=P（1+nr） 复利 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是S=P（1+r）n 2.三种存款模型 （1）零存整取模型：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本金与利息和（以下简称本利和），这是整取.规定每次存入的钱不计复利.若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，那么到期整取时本利和为y=nx+x=x. （2）定期自动转存模型：储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和.若储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，那么储户所得本利和为Q=P（1+r）n. （3）分期付款模型：分期付款中，一般规定每次付款额相同，每期付款的时间间隔相同，每月利息按复利计算，各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和. |微|点|助|解| （1）单利和复利分别以等差数列和等比数列为数学模型. （2）零存整取、活期储蓄、定期储蓄（即整存整取）等都是计单利的储蓄模型. （3）定期自动转存是计复利的储蓄类型. （4）复利计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时第一期本金的数额是不同的. 基础落实训练 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）“零存整取”储蓄业务的数学模型是等差数列. （　　） （2）“定期自动转存”储蓄业务的数学模型是等比数列. （　　） （3）同一笔钱用单利计息和复利计息的收益是一样的. （　　） 答案：（1）√　（2）√　（3）× 2.现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是 （　　） A.10 000×1.0363　　　　 B.10 000×1.0364 C.10 000×1.0365 D.10 000×1.0366 解析：选C　由复利公式得S=10 000×（1+3.60%）5=10 000×1.0365. 3.阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，到期后自动转存，那么10年后共得本利和为　　　　万元.（精确到0.001）  解析：10年后的本利和S=5×（1+0.022 5）10≈6.246（万元）. 答案：6.246 题型（一）　银行存款模型 [例1]　比较下面两种储蓄方式，哪种方式更简便合算？ （1）将1 000元本金存入银行一年后（年利率为5.67%），再把本息自动转存两次，存满三年后，可得本利和多少元？ （2）将1 000元本金存入银行三年期定期整存整取种类（年利率为6.21%），三年后可得本利和多少元？ 解：（1）1 000元本金参加一年整存整取，到期可得本利和为1 000×（1+5.67%）=1 056.70（元）. 转存一次时，本金为1 056.70元， 所以到期本利和为1 056.70×（1+5.67%）≈1 116.61（元）. 再转存一次时，本金为1 116.61元， 所以到期本利和为1 116.61×（1+5.67%）≈1 179.92（元）. 即存一年，再转存两次，三年后本利和约为1 179.92元. （2）1 000元本金参加三年期整存整取，到期可得本利和为A=p（1+r·n），这里r表示利率，n是计息期限，p是本金， 即A=1 000×（1+6.21%×3）=1 000×1.186 3=1 186.30（元）. 所以利用第二种储蓄方式更简便合算. 　　|思|维|建|模| 　　储蓄方法一是复利问题，各年底本利和构成等比数列an=1 000（1+5.67%）n，这里求的是a3=1 000×1.056 73≈1 179.92元.储蓄方法二也可以看作是零存整取中的一次存款到期后的本利和.零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.其公式为：利息=本金×利率×存期，本利和=本金×（1+存期×利率）. 　　[针对训练] 1.某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为 （　　） （单位：万元，参考数据：1.029≈1.195，1.0210≈1.219，1.0211≈1.243） A.2.438 B.19.9 C.22.3 D.24.3 解析：选C　由题意，2023年存的2万元共存了 10年，本息和为2（1+0.02）10万元，2024年存的2万元共存了9年，本息和为2（1+0.02）9万元，…，2032年存的2万元共存了1年，本息和为2（1+0.02）万元，所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为2（1+0.02）10+2（1+0.02）9+…+2（1+0.02）=2×≈≈22.3万元. 2.某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是 0.165%，按单利计息，那么实际取出多少钱？ 解：实际取出的钱等于本金+利息. 到12月最后一天取款时， 第1个月存款利息为100×12×0.165%， 第2个月存款利息为100×11×0.165%， … 第11个月存款利息为100×2×0.165%， 第12个月存款利息为100×1×0.165%， 所以S12=100×12×0.165%+100×11×0.165%+…+100×2×0.165%+100×1×0.165% =100×0.165%×（1+2+3+…+12） =100×0.165%× =12.87. 所以实际取出100×12+12.87=1 212.87（元）. 题型（二）　分期付款模型 [例2]　王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）. （1）若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15 000元，最后一个还贷月应还6 500元，试计算王先生该笔贷款的总利息； （2）若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23 000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素，参考数据：1.003119≈1.428，1.003120≈1.433，1.003121≈1.437） 解：（1）由题可知，等额本金还贷方式中，每月的还贷额构成一个等差数列{an}，Sn表示数列{an}的前n项和， 则a1=15 000，a120=6 500， 故S120=×120=1 290 000. 故王先生该笔贷款的总利息为 1 290 000-1 000 000=290 000元. （2）设王先生每月还贷额为x元， 则有x+x（1+0.003）1+x（1+0.003）2+…+x（1+0.003）119=1 000 000×（1+0.003）120， 即=1 000 000×（1+0.003）120， 故x=≈9 928. 因为9 928<23 000×=11 500， 所以王先生该笔贷款能够获批. 　　|思|维|建|模| 　　分期付款中的有关计算方法既是重点，又是难点，突破难点的关键在于： （1）准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值.（注：最后一次付款没有利息） （2）明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和. （3）等额本息还款法是每期所付的金额相同，每期所付金额及产生的利息和成等比数列；等额本金还款法是每期所付金额为每期应还本金与所欠款额的利息，每期所付金额成等差数列. 　　[针对训练] 3.张老师购买安居工程集资房92 m2，单价为1 000元/平方米，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款（注①），每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付10次，10年后付清.如果按年利率7.5%，每年按复利计算（注②），那么每年付款多少元？（计算结果精确到元）（注③） 注：①分期付款：各期所付的款以及各期所付的款最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个条款现价最后一次付款时所生的利息之和. ②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息. ③参考数据：1.0759≈1.917，1.07510≈2.061，1.07511≈2.216. 解：设每年应付款x元， 第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元， 第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元， … 第九年付款及所生利息之和为x×1.075元， 第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92-（28 800+14 400）]×1.07510=48 800×1.07510（元）， 因此有x（1+1.075+1.0752+…+1.0759）=48 800×1.07510. 所以x=48 800×1.07510×≈48 800×2.061×0.071≈7 141（元）. 故每年需付款7 141元. 题型（三）　产值增长模型 [例3]　某工厂引进新设备，随着员工对新设备的了解及熟悉，该设备每天生产的零件数量比前一天增加20%.已知该设备第一天生产某种零件1 000件，且该设备每天最多可以生产该零件5 000件.记第一天该设备生产的零件数量为a1件，第n天生产的零件数量为an件. （1）求该设备第二天和第三天的总产量； （2）求至少需要几天，该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能？（参考数据：lg 2=0.30，lg 3=0.48） 解：（1）由题意得a1=1 000， an+1=an（1+20%）=1.2an，即=1.2， 所以数列{an}是以首项为1 000，公比为1.2的等比数列. 所以an=1 000×1.2n-1. 所以a2=1 000×1.2=1 200， a3=1 000×1.22=1 440， 故该设备第二天和第三天的总产量为1 200+1 440=2 640件. （2）设第k天可以达到该设备的最大产能， 由题意可得1 000×1.2k-1≥5 000， 两边取常用对数得3+（k-1）lg 1.2≥lg 5+3， 即k≥+1， 所以k≥+1=+1=+1=9.75. 因为k∈N+， 所以k的最小值是10，即至少需要10天， 该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能. 　　[针对训练] 4.某市近8年的生产总值第一年为1 000亿元，从第二年开始以10%的速度增长，那么这个城市近8年的生产总值一共是多少亿元（精确到0.01亿元）？ 解：∵某市近8年的生产总值第一年为1 000亿元，从第二年开始以10%的速度增长， ∴每年的生产总值构成一个以首项a1=1 000，公比为q=1+10%=1.1的等比数列. ∴这个城市近8年的生产总值一共是S8==10 000×（1.18-1）≈11 435.89（亿元）. 学科网（北京）股份有限公司 $