1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

3．2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 课程标准 素养解读 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 1.在推导等比数列前n项和公式的过程中达成逻辑推理、数学抽象的核心素养． 2．在运用等比数列前n项和公式的过程中提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016——2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． [知识梳理] [知识点一]　等比数列的前n项和公式　 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ q≠1且q≠0 Sn＝ 1.类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn? [提示]　可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数． [知识点二]　错位相减法　 对首项为a1，公比为q(q≠0)的等比数列{an}， 设Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①， 则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②， ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn. 当q≠1时，Sn＝ . 又因为an＝a1qn－1，所以上式还可以写成Sn＝ . 当q＝1时，Sn＝na1. 2.等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？ [提示]　根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，再由合比定理， 则得＝q，即＝q，进而可求Sn. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公式Sn＝来求．(　　) (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列．(　　) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4　　　　　　　 B．－4 C．2 D．－2 解析：A　[由S5＝＝44，得a1＝4.] 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 解析：B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2， ∴S7＝ ＝ ＝381，解得a1＝3.所以塔的顶层共有灯3盏．] 4．已知数列{an}为等比数列，且前n项和为Sn，S3＝3，S6＝27，则公比q＝　________　. 解析：q3＝＝＝8，所以q＝2. 答案：2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用等比数列前n项和公式计算基本量 [例1]　在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. [解]　(1)由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. (2)法一：由题意知解得从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或又Sn＝＝126，所以q为2或. 1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． [变式训练] 1．在等比数列{an}中． (1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q； (2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 解：(1)由Sn＝，得11＝，∴q＝－2， 又由an＝a1qn－1，得16＝(－2)n－1，∴n＝5. (2)若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，∴q≠1， ∴S4＝＝1，S8＝＝17， 两式相除得＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝或a1＝－， ∴an＝×2n－1或an＝－×(－2)n－1. 等比数列前n项和的性质 [例2]　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A．28　　　　　 B．32 C．21 D．28或－21 [解析]　∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，∴S4＝28. 答案：A (2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝　________　 [解析]　设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3，即S1＝3S2. 又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24，即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24. [答案]　24 1．等比数列前n项和的性质 (1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…均不为0)． (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N＋)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)⇔数列{an}为等比数列． 2．结合等比数列前n项和的性质解题 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和性质是基础． (2)运用方程思想、整体化思想是解题的关键． [变式训练] 2．(1)已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于(　　) A．－3 B．－ C．3 D. 解析：A　[∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q＝q(a1＋a3＋a5＋a7)，∴＝＝－3.] (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　) A．2 B. C. D．3 解析：B　[由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.] (3)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式． 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝. 又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×n－1. 等比数列前n项和公式的实际应用 [例3]　某商场2022年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从2022年起，大约几年可使总销售量达到30 000台？(lg 1.6≈0.2，lg 1.1≈0.04) [思路点拨]　将问题转化为首项为5 000、公比为1.1的等比数列前n项和问题． [解]　根据题意，每年比上一年销售量增加10%，所以，从2022年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5 000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000. 由等比数列前n项和公式得＝30 000， 整理得1.1n＝1.6，两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6， 所以n＝≈＝5(年)．故大约5年可使总销售量达到30 000台． 解答数列应用题的步骤 对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含的数量关系，考察是否可通过建立数列模型来解决，是否可以转化为等比数列的问题，基本思路理清晰后再着手解题．要注意： (1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型． (2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释． (3)实际问题解答完成后一定要有结论. [变式训练] 3．衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数R0.它指的是，在自然情况下(没有外力介入，同时所有人都没有免疫)，一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：R0＝1＋确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间(单位：天)．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为(　　) A．30　　　　　　　 B．62 C．64 D．126 解析：D　[由题意得：R0＝1＋25%×4＝2，所以经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为： 2＋22＋23＋24＋25＋26＝ ＝126.] [当堂达标] 1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　) A. B. C. D. 解析：C　[当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝.] 2．(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，a4,2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝31，则(　　) A．an＝n－5 B．an＝2n＋1 C．Sn＝32－ D．Sn＝2n＋4－16 解析：AC　[由a3，a4,2a5成等差数列，得3a4＝a3＋2a5.设{an}的公比为q，则2q2－3q＋1＝0，解得q＝或q＝1(舍去)， 所以S5＝＝31，解得a1＝16.所以数列{an}的通项公式为an＝16×n－1＝n－5，Sn＝＝32－，故选AC.] 3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于　________　. 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N＋，所以n≥6. 答案：6 4．设等比数列{an}前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an，Sn. 解：设等比数列{an}的公比为q，由题意得 解得或 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1， Sn＝ ＝3(2n－1)； 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1， Sn＝ ＝3n－1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知数列{an}满足an＋1＝3an(n∈N＋)，且a1＝2，则a1＋a2＋a3＋…＋an＝(　　) A．3n－1　　　　　 B．3n C．3n－1－1 D．3n－1 解析：A　[由an＋1＝3an(n∈N＋)，可得数列{an}为等比数列，所以a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝3n－1，故选A.] 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2，S6－S3＝4，则S9－S6＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 解析：A　[(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，∴S9－S6＝8.] 3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　) A．11 B．5 C．－8 D．－11 解析：D　[由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，∵a1≠0，q≠0，∴q＝－2，则＝＝－11.] 4．(2022·全国乙卷·(理8))已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：D　[设等比数列{an}的公比为q，q≠0， 若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾， 所以q≠1， 则，解得， 所以a6＝a1q5＝3.] 5．(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是(　　) A．此人第六天只走了5里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 C．此人第二天走的路程比全程的 还多1.5里 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 解析：BCD　[根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路， 则{an}是首项为a1，公比为q＝ 的等比数列． 所以S6＝ ＝＝378，解得a1＝192. 选项A：a6＝a1q5＝192× 5 ＝6，故A错误， 选项B：由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186， 又192－186＝6，故B正确．选项C：a2＝a1q＝192× ＝96， 而 S6＝94.5,96－94.5＝1.5，故C正确． 选项D：a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192× ＝336， 则后3天走的路程为378－336＝42，而且336÷42＝8，D正确．] 6．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么S10＝　________　. 解析：根据等比数列性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33. 答案：33 7．把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去，则 (1)图③中共挖掉了　________　个正方形； (2)第n个图形共挖掉了　________　个正方形，这些正方形的面积和是　________　. 解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝.(1)故图③中共挖掉了＝73个正方形；(2)第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×2＋8×4＋82×6＋…＋8n－1×2n＝＝1－n. 答案：(1)73　(2)　1－n 8．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和． 解：设数列{an}的公比为q(q≠0)． 由已知可得 即 解②得q＝3或q＝1. 由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去． 故公比q＝3，首项a1＝1. 所以数列{an}的前n项和Sn＝ ＝ ＝ . [能力提升练] 9．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　) A．10　　　　　　　 B．9 C．8 D．7 解析：C　[设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天织布的尺数为(2n－1)，由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值为8.] 10．(多选)已知等比数列{an}公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是(　　) A．{an}为单调递增数列 B.＝9 C．S3，S6，S9成等比数列 D．Sn＝2an－a1 解析：BD　[由a6＝8a3，可得q3a3＝8a3，则q＝2，当首项a1＜0时，可得{an}为单调递减数列，故A错误；由＝＝9，故B正确；假设S3，S6，S9成等比数列，可得S＝S9×S3，即(1－26)2＝(1－23)(1－29)不成立，显然S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；由{an}公比为q的等比数列，可得Sn＝＝＝2an－a1，∴Sn＝2an－a1，故D正确；故选：BD.] 11．以a1为首项、以q为公比的等比数列{an}满足a1＝，q＝－，设数列{an}的前n项和为Sn，若t≤Sn≤3t恒成立，则实数t的取值范围是　________　. 解析：由题意得Sn＝＝1－n，可得S2≤Sn≤S1，所以≤Sn≤，所以，即≤t≤. 答案： 12．已知{an}是首项为a、公比为q的等比数列，Sn为它的前n项和． (1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值； (2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列． 解：(1)由已知，得an＝aqn－1，因此S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)． 当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.解得q＝ . (2)证明：若q＝1，则{an}的各项均为a.此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列． 若q≠1，则由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，即＋＝，整理得qm＋ql＝2qn. 因此am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k，所以am＋k，an＋k，al＋k成等差数列． [素养培优练] 13．如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是(　　 ) … A.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为 B．前七个矩形块中所填写的数字之和等于 C．矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列 D．按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是 解析；B　[设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{an}，则可得{an}是首项为，公比为的等比数列，∴an＝×n－1＝， 所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为a8＝＝，故A错误； 前七个矩形块中所填写的数字之和等于＝，故B正确； 矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故C错误； 按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是，故D错误．] 14．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，数列{an}的前n项和为Sn，则log(Sn＋2)的最大值为　________　. 解析：由题意得an＋1－an＝2n，则an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，an－2－an－3＝2n－3，…，a2－a1＝2，将以上各式相加，得，an－a1＝2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋2＝＝2n－2，∴an＝2n，a1也适合，Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2，Sn＋2＝2n＋1≥4. 则log(Sn＋2)的最大值为log4＝－2. 答案：－2 学科网（北京）股份有限公司 $