1.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

第2课时　等差数列前n项和的应用 课程标准 素养解读 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 2．会求等差数列前n项和的最值. 1.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养． 2．在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和数学运算的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 等差数列前n项和的应用问题 [例1]　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ [解]　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500， 而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500＞480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． 与数列有关的实际问题的求解策略 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n. [变式训练] 1．“嫦娥”奔月，举国欢庆．据科学计算，运载“嫦娥”月球探测器的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与月球探测器分离，则这一过程大约需要的时间(单位min)是(　　) A. 12 min　　　　　　 B. 13 min C．14 min D．15 min 解析：D　[由题设条件知，火箭每分钟通过的路程是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，所以n min内通过的路程为Sn＝2n＋×2＝n2＋n＝n(n＋1)．解n(n＋1)＝240，得n＝15.] 等差数列前n项和的最值问题 [例2]　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． [解]　(1)由题意得解得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12. (2)方法一　Sn＝＝(3n2－21n)＝2－， ∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18. 方法二　设Sn最小，则即 解得3≤n≤4，又n∈N＋，当n＝3或4时，前n项和的最小值S3＝S4＝－18. [母体变式] 1．将本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值． [解]　S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0，故Sn有最大值，an＝a3＋(n－3)d＝28－n. 设Sn最大，则解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378. 2．在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n. [解]　方法一　因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x＝，所以当x＝0或x＝7时，图像与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N＋，所以S7＝0，所以n＝7. 方法二　因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7. 3．将本例变为：等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大． [解]　方法一　要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn＝an2＋bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大． 由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大． 方法二　由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图像关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大． 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 1．利用an： (1)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 2．利用Sn：由Sn＝n2＋n(d≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n的值． 3．利用二次函数的图像的对称性． [变式训练] 2．在等差数列{an}中a1＝25，S17＝S9，求其前n项和Sn的最大值． 解：　法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋d＝17×25＋d，解得d＝－2. ∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169. ∴当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：同法一，求出公差d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. ∵a1＝25＞0， 由得 又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169. 法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. ∵a1＞0，∴d＜0.∴a13＞0，a14＜0.∴当n＝13时，Sn有最大值169. 法四：设Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17， ∴二次函数对称轴为n＝＝13，且开口方向向下， ∴当n＝13时，Sn取得最大值169. 数列{|an|}的前n项和 [例3]　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2 (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′. [思路点拨]　(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项． (2)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解． [解]　(1)法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n. (2)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an＜0. 所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当n≥18时， Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ＝n2－33n＋544. 故Sn′＝ 求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题． [变式训练] 3．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n. 当n≤4时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋ d＝13n＋ ×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2× －(15n－2n2)＝56＋2n2－15n. ∴Tn＝. [当堂达标] 1．(多选)已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为(　　)． A．21 B．22 C．23 D．24 解析：CD　[由an≤0，即2n－48≤0，得n≤24.∴所有负项的和最小，即n＝23或24.] 2．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1 200元．他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元．这次募捐活动一共进行的天数为(　　) A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 解析：A　[设他们每天收到的捐款形成数列{an}，则由题可得{an}是首项为10，公差为10的等差数列，∴Sn＝10n＋×10＝1 200，解得n＝－16(舍去)或n＝15，所以这次募捐活动一共进行的天数为15天．故选：A.] 3．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是　________　. 解析：由|a5|＝|a9|且d＞0，得a5＜0，a9＞0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小． 答案：6或7 4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7，得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．为了参加学校的长跑比赛，某中学高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3 600米，最后三天共跑了10 800米，则这15天小李同学总共跑的路程为(　　) A．34 000米　　　　 B．36 000米 C．38 000米 D．40 000米 解析：B　[根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为an，则a1＋a2＋a3＝3a2＝3 600，故a2＝1 200，a13＋a14＋a15＝3a14＝10 800，故a14＝3 600，则Sn＝(a1＋a15)×15＝(a2＋a14)×15＝36 000.故选：B.] 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9＞a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：B　[由7a5＋5a9＝0，得＝－.又a9＞a5，所以d＞0，a1＜0.因为函数y＝x2＋x的图像的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.] 3．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为(　　) A．4尺 B．8.5尺 C．16.1尺 D．18.1尺 解析：C　[由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列{an}，公差为d，则有，即，解得：， 即冬至的日影长为16.1尺．] 4．(多选)首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当Sn取到最大值时，n的取值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：BC　[∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0.∴a6＝0.∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.故当n＝5或6时，Sn最大．] 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，则数列{an}(　　) A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 解析：C　[∵数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，令t＝n－1，t∈(0,1]，t是减函数， 则an＝t2－t＝2－， 由复合函数单调性知an先递减后递增． 故有最大项和最小项，选C.] 6．等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前n项和Sn的最大值为　________　. 解析：∵∴ ∴Sn的最大值为S5. 答案：S5 7．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则第5年的维修费是　________　万元，前10年维修费总和为　________　万元． 解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，所以a5＝4×5＋8＝28(万元)，S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元)． 答案：28　300 8．(2021·新高考Ⅱ卷，2)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求使Sn>an成立的n的最小值． 解：(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0， 设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3－d)＝－2d， 从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2， 数列的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6. (2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋ ×2＝n2－5n， 则不等式Sn>an，即n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0， 解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7. [能力提升练] 9．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＝3a5，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}单调递减 B．当n＝5，n＝6时，Sn同时达到最大值 C.＝ D．满足不等式Sn≥0的n的最大值为10 解析：ABC　[由题得a1＋2d＝3(a1＋4d)，∴a1＝－5d＞0，∴d＜0，所以数列{an}单调递减，所以选项A正确；由题意令an＝a1＋(n－1)d＝(n－6)d≥0，∴n≤6，所以a1，a2，…，a5＞0，a6＝0，a7，a8，…，an＜0，所以当n＝5，n＝6时Sn同时达到最大值，所以选项B正确； ＝＝＝，所以选项C正确；Sn＝na1＋＝－5nd＋≥0，∴n≤11，所以不等式Sn≥0的n的最大值为11.所以选项D错误．] 10．一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群(如图)．该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔．则该塔群最下面三阶的塔数之和为(　　) A．39 B．45 C．48 D．51 解析：D　[设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为{an}，依题意可知a5，a6，…，an成等差数列，且公差为2，a5＝5，则1＋3＋3＋5＋5(n－4)＋×2＝108，解得n＝12. 故最下面三阶的塔数之和为a10＋a11＋a12＝3a11＝3(5＋2×6)＝51.] 11．已知数列{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝1，Sn表示数列{an}的前n项和，若当且仅当n＝20时，Sn取到最大值，则a2＋a4＋a6的取值范围是　________　. 解析：由a1＋a3＋a5＝1，得3a3＝1，即a3＝，a2＋a4＋a6＝3a4＝3a3＋3d，当且仅当n＝20时，Sn取到最大值，则， 则，即，得到d∈， a2＋a4＋a6＝3a4＝3a3＋3d＝1＋3d， 由d∈，可得＜1＋3d＜.故答案为：， 答案： 12．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解：(1)由得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an＞0，得n＜，∴当n≤17，n∈N＋时，an＞0；当n≥18，n∈N＋时，an＜0，∴{an}的前17项和最大． (2)当n≤17，n∈N＋时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N＋时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2－ ＝n2－n＋884. ∴Sn＝ [素养培优练] 13．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：A1B1＝A0B0－B0B1，A2B2＝A1B1－B1B2，A3B3＝A2B2－B2B3，…，AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，其中Bn－1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N＋.根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0＝6，B0B1＝1.则这五层正六边形的周长总和为(　　) A．100 B．110 C．120 D．130 解析：C　[由已知得：AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，Bn－1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1＝1，因此数列 {AnBn}(n∈N＋，1≤n≤5)是以a1＝A0B0＝6为首项，公差为d＝－1的等差数列，设数列{AnBn}(n∈N＋，1≤n≤5)的前5项和为S5，因此有，S5＝5a1＋×5×4·d＝5×6－×5×4×1＝20，所以这五层正六边形的周长总和为6S5＝6×20＝120.故选C.] 14．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3 500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12 800元，第一年每台设备的维修保养费用为1 000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6 400元． (1)每台充电桩第几年开始获利？(参考数据： ≈5.7) (2)每台充电桩前几年的年平均利润最大(前n年的年平均利润＝)． 解：(1)每台充电桩第n年总利润为 6 400n－ －12 800， ∵6 400n－ －12 800＞0， 化简得－200(n2－28n＋64)＞0，即n2－28n＋64＜0. 解得14－2 ＜n＜14＋2 ， ∴2.6＜n＜25.4. ∵n∈N＋，∴3≤n≤25. ∴每台充电桩第3年开始获利． (2)每台充电桩前n年的年平均利润 ＝200 ≤200＝2 400，当且仅当n＝，即n＝8时取等号，∴每台充电桩前8年的年平均利润最大． 学科网（北京）股份有限公司 $