1.1.1 数列的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

§1　数列的概念及其函数特性 1．1　数列的概念 课程标准 素养解读 1.了解数列通项公式的概念． 2．能根据通项公式确定数列的某一项． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 1.通过数列基本概念的学习培养数学抽象的核心素养． 2．通过数列通项公式的概念培养逻辑推理的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长”，如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度值按日期排在一起，可组成一个数列. 那么什么叫数列呢？ [知识梳理] [知识点一]　数列的有关概念　 1．数列的有关概念 数列 按　一定次序　排列的一列数叫作数列 项 数列中的　每一个数　叫作这个数列的项 首项 数列的　第1项　常称为首项 通项 数列中的　第n项an　叫数列的通项 2．数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…； (2)字母表示：上面数列也可记为　{an}　. 3．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列　 1,2,3,4，…，n 无穷数列 项数无限的数列　 1,4,9，…，n2，… 1. (1)数列的项和它的项数是否相同？ (2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与集合{1,2,3,4,5}有什么区别？ [提示]　(1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性． [知识点二]　通项公式　 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成　an＝f(n)　，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数， 2.(1)若an＝2n－1，则a2＋a3的值是什么？ (2)数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ [提示]　(1)　因为an＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8. (2)相同之处是：数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．(　　) (2)数列的项不能相等．(　　) (3)数列可以用图形表示．(　　) (4)数列的通项公式不唯一．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列各项表示数列的是(　　) A．　△，　○，　☆，　□ B．2 020，　2 021，　2 022, 2 023 C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D. a＋b，　a－b，　ab，　λ a 解析：B　[数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合．] 3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的(　　) A．第9项　　　　　　 B．第10项 C．第11项 D．第12项 解析：C　[由n2＋1＝122，得n2＝121，所以n＝11.] 4．数列2,4,6,8，…的通项公式为　________　. 解析：由2＝2×1,4＝2×2,6＝2×3,8＝2×4，得该数列的通项公式为an＝2n. 答案：an＝2n 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数列的概念及分类 [例1]　(1)下列说法错误的是(　　) A．数列4, 7, 3, 4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1,2,3，…就是数列{n} D．数列中的项不能是三角形 (2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由． ①8,8,8,8； ②－3，－1, 1，x , 5,7，y,11； ③当n取1, 2, 3, 4，…时，(－1)n的值排成的一列数． [解析]　根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． [答案]　B 解：①能构成数列，且构成的是有穷数列． ②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的． ③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1,1，－1,1，…. 数列及其分类的判定方法 1．判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数． 2．判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列． [变式训练] 1．(1)(多选)下面四个结论正确的是(　　) A．数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数 C．数列{2n＋1}的第6项是13 D．数列的项数是无限的 解析：BC　[对A，因为数列的项是有顺序的，所以两个数列是不同的数列，A错误；对B，由数列和函数的关系可知B正确；对C，由数列的表示可知C正确；对D，因为数列的项数可以是有限的也可以是无限的，所以D错误．] (2)下列各题哪些是数列？若是数列，则哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ ①{1,3,5,7,9}；②4,3,2,1,0； ③1,2,3,4，…；④2,2,2,2,2. 解：①是集合，不是数列；②③④是数列；②④是有穷数列，③是无穷数列． 由数列的前几项写通项公式 [例2]　写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项为下列各数． (1)1，2，3，4，…； (2)11,102,1 003,10 004，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)，2，，8，…. [思路点拨]　①求数列的通项公式时，应考虑将个别项或各项进行适当的变形．②数列的通项公式不唯一． [解]　(1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4，…，恰好是序号n；分数部分分别为，，，，…，与序号n的关系是，所以这个数列的一个通项公式是an＝n＋＝(n∈N＋)． (2)这个数列可以改写为10＋1,100＋2,1 000＋3,10 000＋4，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n＋n(n∈N＋)． (3)这个数列可以改写为10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n－1(n∈N＋)． (4)将每一项都统一写成分母为2的分数，即，，，，，…，所以它的一个通项公式是an＝(n∈N＋)． 由数列的前几项求通项公式的思路 (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系． (2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式． (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整． (5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系． [变式训练] 2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1,11,111,1 111，…. 解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N＋)． (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)． (3)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N＋)． 数列通项公式的应用 [例3]　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项？ [思路点拨]　(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可； (2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断． [解]　(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项． [母题探究] 若本例中的条件不变， (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ [解]　(1)因为an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32. (2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，所以20是该数列的第10项． 1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值． 2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项． 3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件． [变式训练] 3．数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)． (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 解：(1)若0是{an}中的第n项，则＝0， 因为(n∈N＋)，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项． 若1是{an}中的第n项，则＝1， 所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0. 因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，则＝， 解得m＝10. 所以数列{an}中存在连续且相等的两项，即第10项与第11项． [当堂达标] 1．下列有关数列的说法正确的是(　　) ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 解析：D　[①错误，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；②错误，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的顺序不同，表示不同的数列；③正确．] 2．已知数列－1，，－，…，(－1)n·，…，则它的第6项的值为(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：D　[ 由题设，数列的通项公式为(－1)n·，∴当n＝6时，该项为(－1)6×＝.] 3．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝　______　，＝　________　. 解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n, ＝＝. 答案：3－4n　 4．已知数列{n(n＋2)}． (1)写出这个数列的第8项和第20项； (2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解：(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝82＋2×8＝80，a20＝202＋2×20＝440. (2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17或n＝－19(舍去)． 所以323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．下列说法中，正确的是(　　) A．数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8} B．数列3,0，－1，－3与数列－3，－1,0,3是相同的数列 C．数列的第k项为1＋ D．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n} 解析：C　[在A中，{2,4,6,8}表示集合，所以A不正确；在B中，数列中的各项是有顺序的，所以B不正确；在C中，第k项为＝1＋，所以C正确；在D中，数列应记为{2n－2}，所以D不正确．] 2．数列3,5,7,9，…的一个通项公式是(　　) A．an＝2n＋1　　　 B．an＝2n＋1 C．an＝2n＋1 D．an＝2n＋1－1 解析：A　[因为a1＝2×1＋1，a2＝2×2＋1，a3＝2×3＋1，a4＝2×4＋1，……，所以an＝2n＋1, 故选A.] 3. ，，，，…的第9项是(　　 ) A. B. C. D．以上均不对 解析：B　[由题意可知an＝，故第9项为.] 4．在1,2,3，…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列{an}，则a50＝(　　 ) A．289　 B．295　　C．301　　D．307 解析：B　[由题意可知an－1即是2的倍数，又是3的倍数，即an－1是6的倍数，则an－1＝6(n－1)，(n∈N＋)，所以an＝6n－5，所以a50＝50×6－5＝295，故选：B.] 5．(多选)已知数列{an}前三项分别为－1,0,1，下列各式中，能作为数列{an}的通项公式的有(　　) A．an＝n－2 B．an＝ C．an＝(n－2)5 D．an＝(n－2)＋(n－1)(n－2)(n－3) 解析：ACD　[取n＝1，n＝2，n＝3分别代入验证可知A，C，D正确，B不正确．] 6．下图中的一系列图案称为谢尔宾斯基地毯．在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{an}的前4项，则数列{an}的第5项为　________　. 解析：分析题图可知a1＝1，a2＝8＋1，a3＝82＋8＋1，a4＝83＋82＋8＋1，所以a5＝84＋83＋82＋8＋1＝4 681. 答案：4 681 7．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第　________　项． 解析：令＝－3，即－＝－3，∴n＝9. 答案：9 8．已知数列2，，…的通项公式为an＝，求a4，a5. 解：将a1＝2，a2＝代入通项公式得 解得所以an＝.所以a4＝＝，a5＝＝. [能力提升练] 9．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列 B．数列1,3,5,7与数列1,3,5,7，...是同一数列 C．1,1,1，...能构成一个数列 D．数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，...存在通项公式 解析：CD　[对于A，两数列中的数排列次序不相同，所以两数列不是同一数列，故A错误；对于B，数列1,3,5,7是有穷数列，而数列1,3,5,7，...是无穷数列，所以两数列不是同一数列，故B错误；对于C，由数列的定义，可知1,1,1，...能构成一个常数列，故C正确；对于D，该数列的一个通项公式为an＝，所以数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，...存在通项公式，故D正确．故选：CD.] 10．已知正项数列{an} 中，＋＋…＋＝(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝(　　) A．n　　　 B．n2　　　 C. 　　　 D. 解析：B　[∵＋＋…＋＝， ∴＋＋…＋＝(n≥2)， 两式相减得＝－＝n， ∴an＝n2，(n≥2)． 又当n＝1时，＝＝1， ∴an＝n2.n∈N＋.故选B.] 11．在数列 ， ， ， ，…中，有序数对(a，b)的值可以是　________　. 解析：从上面的规律可以看出分母呈现以下特点：3＝22－1,8＝32－1,24＝52－1，即a＋b＝42－1＝15.又被开方数5,10,17，a－b后一项比前一项分别多5,7,9，故a－b＝17＋9＝26.所以解得 答案： 12．已知无穷数列 ， ， ， ，…. (1)求出这个数列的一个通项公式； (2)该数列在区间 内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 解：(1)因为数列的分子依次为4,9,16,25，…可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1.所以这个数列的一个通项公式为an＝ . (2)当 ≤an≤ 时，可得 ≤ ≤ . 由 ≥ ，解得(n＋1)2≥9，可得n≥2. 由 ≤ ，解得(n＋1)2≤36，可得n≤5. 所以2≤n≤5.综上，该数列在区间 内有项，并且有4项． [素养培优练] 13．天干地支年纪法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为　__________　. 解析：由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个为一个循环的循环数列，从2020年到2049年一共有30年，且2020年为庚子年，则30÷10＝3,2049年的天干为已，30÷12＝2余6,2049年的地支为巳，故2049年为已巳年． 答案：已巳 14．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是　________　. 解析：由题意及图形可知，不妨构造数列{an}表示第n行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点．故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和．即a1＝0，a2＝1，且n≥3时，an＝an－1＋an－2，故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为： 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144. 答案：144 学科网（北京）股份有限公司 $