2.6.2 函数的极值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则给出的下列命题中正确的是(　　) A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的最小值点 C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零 D．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增 解析：AD　[结合y＝f′(x)的图像，可知，对A，由于x＝－3的两侧导数符号不同，故－3是极值点；对B，由于－1两侧导数符号相同，因而不是极值点；对C，x＝0处的导数大于零，故在x＝0处的切线斜率大于零；对D，当x∈(－3，－1)时导数大于零，因而为递增区间．综上可知AD正确．] 2．下列结论中，正确的是(　　) A．导数为零的点一定是极值点 B．如果f(x)在x0处连续且在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值 C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值 D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值 解析：B　[根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．] 3．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是(　　) A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 解析：D　[∵y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．] 4．若函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是(　　) A．m＜　　　　　 B．0＜m＜ C．m＞ D．0＜m＜1 解析：B　[由y＝ex－2mx，得y′＝ex－2m.因为函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，所以ex－2m＝0有小于零的实根，即m＝ex有小于零的实根，∵x＜0，∴0＜ex＜，∴0＜m＜.] 5．(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述不正确的是(　　) A．f(a)＞f(e)＞f(d) B．函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，d]上递减 C．函数f(x)的极值点为c，e D．函数f(x)的极大值为f(b) 解析：ABD　[由题图可知，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，c)上递增，在(c，e)上递减，在(e，＋∞)上递增，对A，f(d)＞f(e)，故A错误；对B，函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，c]上递增，在[c，d]上递减，故B错误；对C，函数f(x)的极值点为c，e，故C正确；对D，函数f(x)的极大值为f(c)，故D错误．] 6．若函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，则a＝　________　. 解析：由题意，函数f(x)＝－x3＋ax2－4，可得f′(x)＝－3x2＋2ax，因为x＝2是函数f(x)的极值点，可得f′(2)＝0，所以－3×4＋2a×2＝0，解得a＝3. 答案：3 7．f(x)＝sin x＋6cos x＋2x＋ cos 2x在x＝x0处取得极值，则cos 2x0＝　________　. 解析：由已知f′(x)＝cos x－6sin x＋2－ sin 2x， ∵函数f(x)在x＝x0处取得极值， ∴f ′(x0)＝cos x0－6sin x0＋2－ sin 2x0＝0， ∴cos x0－6sin x0＋2－3sin x0cos x0＝0， 即(1－3sin x0)(2＋cos x0)＝0， ∵|cos x0|≤1，∴2＋cos x0≠0，∴1－3sin x0＝0，即sin x0＝ ， ∴cos 2x0＝1－2sin2x0＝1－2× 2 ＝ . 答案： 8．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值. (1)求a，b的值； (2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值． 解：(1)因为f(x)＝ax2＋bln x，所以f′(x)＝2ax＋.又函数f(x)在x＝1处有极值. 故即解得 (2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定义域为(0，＋∞)．且f′(x)＝x－＝. 令f′(x)＝0，则x＝－1(舍去)或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，且函数在定义域上只有极小值f(1)＝，而无极大值． [能力提升练] 9．已知函数f(x)＝x2－2(－1)k ln x(k∈N＋)存在极值，则k的取值集合是(　　) A．{2,4,6,8，…} B．{0,2,4,6,8，…} C．{1,3,5,7，…} D．N＋ 解析：A　[f′(x)＝2x－，x∈(0，＋∞)， 令f′(x)＝0，得x2＝(－1)k，(*) 要使f(x)存在极值，则方程(*)在(0，＋∞)上有解． ∴(－1)k>0.又k∈N＋，∴k＝2,4,6,8，….∴k的取值集合是{2,4,6,8，…}．] 10．(多选)已知函数f(x)＝ex－ln x－2，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)有且仅有一个极值点 B．f(x)有零点 C．若f(x)的极小值点为x0，则0＜f(x0)＜ D．若f(x)的极小值点为x0，则＜f(x0)＜1 解析：AC　[由题意得，f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ex－，设h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝ex＋＞0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h＝e－2＝－2＜0，h(1)＝e1－1＞0，h(x0) 存在唯一零点，设为x0，当0＜x＜x0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞x0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴f(x)有唯一极小值点x0，故选项A正确．令f′(x0)＝ex0－＝0，得ex0＝，两边同时取对数可得x0＝ln ＝－ln x0. ∴f(x0)＝ex0－ln x0－2＝＋x0－2≥2－2＝0(当且仅当x0＝1时等号成立)，又＜x0＜1，∴f(x0)＞0，即[f(x)]min＞0，∴f(x)无零点，故选项B错误．由f(x0)＝＋x0－2，＜x0＜1，可设g(x)＝＋x－2，则g′(x)＝－＋1. 当＜x＜1时，g′(x)＜0，∴g(x)在上单调递减．∴g(1)＜g(x)＜g，即0＜f(x0)＜，故选项C正确，选项D错误．故选：AC.] 11．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2 解析：D　[因为f(x)＝a(x－a)2(x－b)，所以f′(x)＝a(x－a)(3x－a－2b)， 因为x＝a为f(x)的极大值点，所以，或，即，或.] 12．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点． (1)试确定常数a和b的值； (2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解：(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x， ∴f′(x)＝＋2bx＋1. 由极值点的必要条件可知： f′(1)＝f′(2)＝0， ∴解方程组得，a＝－ ， Zb＝－ . (2)由(1)可知f(x)＝－ln x－x2＋x， 且函数f(x)＝－ln x－x2＋x的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝－x－1－x＋1＝－. 当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点． [素养培优练] 13．设函数f(x)＝x3－4x＋a,0＜a＜2，若f(x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则(　　) A．x1＞－1 B．x2＞0 C．x2＜0 D．x3＞2 解析：B　[由f′(x)＝3x2－4＝0，得x＝± ；由f′(x)＝3x2－4＜0，得－ ＜x＜ ；由f′(x)＝3x2－4＞0，得x＜－ 或x＞ .所以f(x)在 上单调递减，在 ， 上单调递增． 所以f(x)的极大值点为x＝－ ，极小值点为x＝ ，函数y＝f(x)的图像如图所示． 故x1＜－ ＜－1，x2＞0.因为f ＜0，f(2)＝a＞0，所以x3＜2. ] 14．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)由已知，f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，且f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1. 所以a＝ ，b＝0，c＝－ . (2)由(1)知f(x)＝ x3－ x， 所以f ′(x)＝ x2－ ＝ (x－1)(x＋1)． 当x<－1或x>1时，f ′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0.所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． 所以当x＝－1时，函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值，且极小值为f(1)＝－1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $