2.3 导数的计算-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析：A　[因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x．所以f′＋f＝－sin ＋cos ＝0.] 2．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 解析：A　[f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.] 3．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 解析：C　[因为y＝ln x的导数y′＝，所以令＝，得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.] 4．(多选)下列求导过程正确的选项是(　　) A.′＝ B．()′＝ C．(xa)′＝axa－1 D．(logax)′＝ 解析：BC　[由′＝－，可知A错误；由()′＝，可知B正确；由(xa)′＝axa－1，可知C正确；由(logax)′＝，可知D错误；故选：BC.] 5．已知点P在曲线y＝2sin cos 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. ∪ 解析：D　[因为y＝2sin cos ＝sin x，所以y′＝cos x．设P(x0，y0)，由题意知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率k＝tan α＝cos x0.所以－1≤tan α≤1.因为0≤α＜π，所以α∈ ∪ .] 6．已知f(x)＝2x，则f′＝　____________　. 解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2xln 2，所以f′＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝e ln 2. 答案： e ln 2 7．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是　________　. 解析：因为y′＝，所以切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，所以a＝4. 答案：4 8．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的取值． 解：因为f(x)＝cos x，g(x)＝x，所以f′(x)＝(cos x)′＝－sin x， g′(x)＝x′＝1.由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，所以sin x＝1. 所以x＝2kπ＋ ，k∈Z. 所以x的取值为 . [能力提升练] 9．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数的“新驻点”，若函数g(x)＝sin x(0＜x＜π)，h(x)＝ln x(x＞0)，φ(x)＝x2(x＞0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c 解析：B　[①若g(x)＝sin x，则g′(x)＝cos x，由sin x＝cos x，解得x＝，即a＝＜1.②若h(x)＝ln x，则h′(x)＝，由ln x＝，令r(x)＝ln x－，可知r(1)＜0，r(2)＞0，故1＜b＜2.③若φ(x)＝x2，则φ′(x)＝2x，由x2＝2x，x＞0，得x＝2，故c＝2.综上，c＞b＞a.] 10．记函数y＝f(2)(x)表示对函数y＝f(x)连续两次求导，即先对y＝f(x)求导得y＝f′(x)，再对y＝f′(x)求导得y＝f(2)(x)，下列函数中满足f(2)(x)＝f(x)的是(　　) A．f(x)＝x B．f(x)＝sin x C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln x 解析：C　[对于A，f′(x)＝1，f(2)(x)＝0≠f(x)；对于B，f′(x)＝cos x，f(2)(x)＝－sin x≠f(x)；对于C，f′(x)＝ex，f(2)(x)＝ex＝f(x)；对于D，f′(x)＝，f(2)(x)＝－≠f(x)，综上可知，只有C满足f(2)(x)＝f(x)，故选C.] 11．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　________　，　________　. 解析：因为y＝ln|x|， 当x＞0时y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝，所以y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)， 又切线过坐标原点，所以－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x； 当x＜0时y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由y′＝，所以y′|x＝x1＝，所以切线方程为y－ln(－x1)＝(x－x1)， 又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝(x＋e)，即y＝－x. 答案：y＝x；y＝－x 12．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程； (2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程． 解：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y＝－2. (2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)， 故其斜率可表示为＝， 又＝3x－3， 即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故所求直线的斜率为k＝3×＝－， ∴所示的直线方程为y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0. [素养培优练] 13．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　 ) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x 解析：AC　[若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x；则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图像(作图略)，可得两函数的图像有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.] 14．已知函数f(x)＝x2 023，则f ′＝　________　 解析：∵f(x)＝x2 023，∴f′(x)＝2 023x2 022， ∴f ′＝2 023×2 022＝2 023×＝1. 答案：1 4 学科网（北京）股份有限公司 $