1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知数列{an}满足an＋1＝3an(n∈N＋)，且a1＝2，则a1＋a2＋a3＋…＋an＝(　　) A．3n－1　　　　　 B．3n C．3n－1－1 D．3n－1 解析：A　[由an＋1＝3an(n∈N＋)，可得数列{an}为等比数列，所以a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝3n－1，故选A.] 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2，S6－S3＝4，则S9－S6＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 解析：A　[(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，∴S9－S6＝8.] 3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　) A．11 B．5 C．－8 D．－11 解析：D　[由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，∵a1≠0，q≠0，∴q＝－2，则＝＝－11.] 4．(2022·全国乙卷·(理8))已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：D　[设等比数列{an}的公比为q，q≠0， 若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾， 所以q≠1， 则，解得， 所以a6＝a1q5＝3.] 5．(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是(　　) A．此人第六天只走了5里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 C．此人第二天走的路程比全程的 还多1.5里 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 解析：BCD　[根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路， 则{an}是首项为a1，公比为q＝ 的等比数列． 所以S6＝ ＝＝378，解得a1＝192. 选项A：a6＝a1q5＝192× 5 ＝6，故A错误， 选项B：由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186， 又192－186＝6，故B正确．选项C：a2＝a1q＝192× ＝96， 而 S6＝94.5,96－94.5＝1.5，故C正确． 选项D：a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192× ＝336， 则后3天走的路程为378－336＝42，而且336÷42＝8，D正确．] 6．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么S10＝　________　. 解析：根据等比数列性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33. 答案：33 7．把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去，则 (1)图③中共挖掉了　________　个正方形； (2)第n个图形共挖掉了　________　个正方形，这些正方形的面积和是　________　. 解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝.(1)故图③中共挖掉了＝73个正方形；(2)第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×2＋8×4＋82×6＋…＋8n－1×2n＝＝1－n. 答案：(1)73　(2)　1－n 8．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和． 解：设数列{an}的公比为q(q≠0)． 由已知可得 即 解②得q＝3或q＝1. 由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去． 故公比q＝3，首项a1＝1. 所以数列{an}的前n项和Sn＝ ＝ ＝ . [能力提升练] 9．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　) A．10　　　　　　　 B．9 C．8 D．7 解析：C　[设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天织布的尺数为(2n－1)，由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值为8.] 10．(多选)已知等比数列{an}公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是(　　) A．{an}为单调递增数列 B.＝9 C．S3，S6，S9成等比数列 D．Sn＝2an－a1 解析：BD　[由a6＝8a3，可得q3a3＝8a3，则q＝2，当首项a1＜0时，可得{an}为单调递减数列，故A错误；由＝＝9，故B正确；假设S3，S6，S9成等比数列，可得S＝S9×S3，即(1－26)2＝(1－23)(1－29)不成立，显然S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；由{an}公比为q的等比数列，可得Sn＝＝＝2an－a1，∴Sn＝2an－a1，故D正确；故选：BD.] 11．以a1为首项、以q为公比的等比数列{an}满足a1＝，q＝－，设数列{an}的前n项和为Sn，若t≤Sn≤3t恒成立，则实数t的取值范围是　________　. 解析：由题意得Sn＝＝1－n，可得S2≤Sn≤S1，所以≤Sn≤，所以，即≤t≤. 答案： 12．已知{an}是首项为a、公比为q的等比数列，Sn为它的前n项和． (1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值； (2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列． 解：(1)由已知，得an＝aqn－1，因此S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)． 当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.解得q＝ . (2)证明：若q＝1，则{an}的各项均为a.此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列． 若q≠1，则由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，即＋＝，整理得qm＋ql＝2qn. 因此am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k，所以am＋k，an＋k，al＋k成等差数列． [素养培优练] 13．如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是(　　 ) … A.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为 B．前七个矩形块中所填写的数字之和等于 C．矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列 D．按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是 解析；B　[设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{an}，则可得{an}是首项为，公比为的等比数列，∴an＝×n－1＝， 所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为a8＝＝，故A错误； 前七个矩形块中所填写的数字之和等于＝，故B正确； 矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故C错误； 按照这个规律继续下去，第n－1个矩形块中所填数字是，故D错误．] 14．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，数列{an}的前n项和为Sn，则log(Sn＋2)的最大值为　________　. 解析：由题意得an＋1－an＝2n，则an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，an－2－an－3＝2n－3，…，a2－a1＝2，将以上各式相加，得，an－a1＝2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋2＝＝2n－2，∴an＝2n，a1也适合，Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2，Sn＋2＝2n＋1≥4. 则log(Sn＋2)的最大值为log4＝－2. 答案：－2 1 学科网（北京）股份有限公司 $