1.3.1 第2课时 等比数列的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知等比数列{an}中，a2＝－4，a5＝，则公比q＝(　　) A．－2　　　　　　　 B．－ C. D．2 解析：B　[∵a5＝a2q3，即＝－4q3，解得q＝－.故选B.] 2．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　) A．8　　 B．9　　　C．10　　　D．11 解析：C　[由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴1＋m＝5＋6，∴m＝10.] 3．在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7·b8＝3，则log3b1＋log3b2＋…＋log3b14等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：C　[log3b1＋log3b2＋…＋log3b14＝log3(b1b2…b14)＝log3(b7b8)7＝7log33＝7.] 4．(多选)设{an}是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确命题的有(　　) A.是公比为的等比数列 B．{a2n}是公比为4的等比数列 C．{2an}是公比为4的等比数列 D．{anan＋1}是公比为2的等比数列 解析：AB　[由于数列{an}是公比为2的等比数列，则对任意的n∈N＋，an≠0，且公比为q＝＝2.对于A，＝＝＝，即数列是公比为的等比数列，正确；对于B，＝q2＝4，即数列{a2n}是公比为4的等比数列，正确；对于C，＝q＝2，即数列{2an}是公比为2的等比数列，错误；对于D，＝＝q2＝4，即数列{anan＋1}是公比为4的等比数列，错误．故选：AB.] 5．在等比数列{an}中，“a1＞a2＞a3”是“数列{an}递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[当a1＞a2＞a3时，设公比为q，由a1＞a1q＞a1q2得 若a1>0，则1＞q＞q2，即0＜q＜1，此时，显然数列{an}是递减数列， 若a1<0，则1＜q＜q2，即q＞1，此时，数列{an}也是递减数列， 反之，当数列{an}是递减数列时，显然a1＞a2＞a3. 故“a1＞a2＞a3”是“等比数列{an}递减”的充要条件．故选：C.] 6．在各项均为正数的等比数列{an}中，a6＝3，则a4＋a8＝(　　) A．有最小值6　　　　 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3 解析：A　[设等比数列{an}的公比为q(q＞0)．因为a6＝3，所以a4＝＝，a8＝a6q2＝3q2.所以a4＋a8＝＋3q2≥2＝6.当且仅当q＝1时上式等号成立．] 7．设x，y，z是实数，9x,12y,15z成等比数列，且 ， ， 成等差数列，则 ＋ 的值是　________　. 解析：由题意可得所以y＝. 所以2 ＝135xz.化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝ . 答案： 8．已知{an}为等比数列． (1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25， ∵an＞0，∴a3＋a5＞0.∴a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95. ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. [能力提升练] 9．等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则使a1a2…an最大的n为(　　) A. B．3 C．3或4 D．4 解析：C　[由题意，设等比数列{an}的公比为q，则a2＋a4＝(a1＋a3)q，∴q＝， 代入a1＋a3＝10，可得a1＋＝10，∴a1＝8，故an＝a1qn－1＝8×n－1＝24－n， 则a1a2…an＝23×22×…×24－n＝23＋2＋…＋(4－n)＝2＝2， 由于y＝2t为增函数，t＝为开口向下的二次函数，对称轴为n＝3.5， 又n∈N＋，故当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值．故选：C.] 10．(多选)已知等比数列{an}的公比为q(q≠－1)，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N＋)，则以下结论中错误的是(　　) A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为q2m D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm 解析：ABD　[bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm－1)，由q≠－1易知bn≠0，＝＝qm，故数列{bn}为等比数列，公比为qm，A，B均错误；cn＝a·q1＋2＋…＋(m－1)，＝＝m ＝(qm)m＝qm2，故数列{cn}为等比数列，公比为qm2，D错误．] 11．已知数列{an}中，a1＝2，an＋m＝an·am(n，m∈N＋)，若ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＝480，则k＝　________　 . A．3 B．4 C．5 D．6 解析：B　[因为数列{an}中，a1＝2，an＋m＝an·am(n，m∈N＋)，所以取m＝1，则an＋1＝an·a1＝2an，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n，又ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＝480，即2k＋1＋2k＋2＋2k＋3＋2k＋4＝480，即30×2k＝480，解得k＝4.] 12．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数． 解：(1)设数列{an}的公差为d，所以，，即可解得b1＝a1＝，所以原命题得证． (2)由(1)知，b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k－1＝2m，即m＝2k－2∈[1,500]，解得2≤k≤10，所以满足等式的解k＝2,3,4，…，10，故集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9. [素养培优练] 13．已知数列{an}，{bn}均为等比数列，则下列结论中一定正确的有(　　) A．数列{anbn}是等比数列 B．数列{an＋bn}是等比数列 C．数列是等差数列 D．数列{lg(ab)}是等差数列 解析：ACD　[设数列{an}的公比为q1，数列{bn}的公比为q2，所以an＝a1q，bn＝b1q. 对于A，anbn＝a1b1qq＝a1b1(q1q2)n－1，从而数列{anbn}的公比为q1q2，故A正确．对于B，an＋bn＝a1q＋b1q，q1与q2不一定相等，所以数列{an＋bn}不是等比数列，故B错误．对于C，lg＝lg＝lg＋(n－1)lg，从而数列的公差为lg.故C正确． 对于D，lg(ab)＝2lg|anbn|＝2 lg|a1b1|＋2(n－1)lg|q1q2|，从而数列{lg(ab)}的公差为2 lg|q1q2|，D正确．] 14．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an(n∈N＋)．设bn＝，(n∈N＋)，且数列是递增数列，则实数λ的取值范围是　________　. 解析：由an＋1＝an(n∈N＋)可得，数列{an}是首项和公比均为的等比数列，所以an＝，则bn＝＝(n－2λ)2n，又因为{bn}是递增数列，所以bn＋1－bn＝(n＋1－2λ)2n＋1－(2－2λ)2n＝(n＋2－2λ)2n＞0恒成立， 即n＋2－2λ＞0恒成立，所以2λ＜(n＋2)min＝3，所以λ＜. 答案：λ＜ 1 学科网（北京）股份有限公司 $