1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．以下数列中，是等比数列的有(　　) ①数列1,2,6,18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋. A．1个　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：A　[①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a＝0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列．故选：A.] 2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：D　[因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.] 3．光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，…，F 64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍．若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的(　　) A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 解析：C　[由题可得单位时间内的进光量形成公比为的等比数列{an}，则 F 4对应单位时间内的进光量为a5，F 1.4对应单位时间内的进光量为a2，从 F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的＝8倍．故选：C.] 4．设等比数列的前三项依次为 ， ， ，则它的第四项是(　　) A．1 B. C. D. 解析：A　[∵a1＝ ，a2＝ ，∴q＝ .∴a4＝a1q3＝ × ＝1.] 5．(多选)下列选项中，不是　{an}成等比数列的充要条件是(　　) A．an＋1＝an·q(q为常数) B．an＝a1qn－1(q为常数) C．a＝an·an＋2≠0 D．an＋1＝ 解析：ABD　[对于A，an＋1＝an·q，当q＝0，an＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B，an＝a1qn－1，当q＝0，a1＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C，根据等比数列定义＝可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D.an＋1＝，当an＝0，an＋1＝0，an＋2＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误．] 6．若数列{an}为等差数列，数列2an为　__________　数列；若数列{an}为等比数列，且an>0，则数列{lg an}为　________　数列． 解析：①若数列{an}为等差数列，设公差为d，则＝2an＋1＋an＝2d. ∴数列{2an}是首项是2a1，公比是2d的等比数列． ②若数列{an}为等比数列，设公比为q，则lg an＋1－lg an＝lg ＝lg q. ∴{lg an}为首项是lg a1、公差是lg q的等差数列． 答案：等比　等差 7．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　________　. 解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石． ∴＋28＋28q＝98.∴q＝2或q＝ .又0<q<1，∴q＝ . 答案： 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0， 又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2， ∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列． ∴通项公式an＝－1×2n－1＝－2n－1. [能力提升练] 9．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于(　　) A．607.5 B．608 C．607 D．159 解析：C　[∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1＝5×3n－1，∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.] 10．(多选)已知数列{an}，下列选项不正确的是(　　) A．若a＝4n，n∈N＋，则{an}为等比数列 B．若anan＋2＝a，n∈N＋，则{an}为等比数列 C．若aman＝2m＋n，m，n∈N＋，则{an}为等比数列 D．若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N＋，则{an}为等比数列 解析：ABD　[对于A选项，由a＝4n知|an|＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B，D选项，满足条件的数列中可以存在零项，同样，数列{an}不一定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得＝2(n∈N＋)，故数列{an}是等比数列．故选ABD.] 11．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝　　________　. 解析：由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”，则－＝0，可得＝，所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”，则＝，所以＝2，即正项数列{bn}是公比为2的等比数列，因为b1＋b2＋b3＝1，因此b6＋b7＋b8＝25(b1＋b2＋b3)＝32. 答案：32 12．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝. (1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式； (2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 解：(1)证明　∵2an＝3an＋1，∴＝. 又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1＜0， ∴数列{an}是以为公比的等比数列． ∴an＝a1·qn－1＝a1·n－1，∴a2＝a1·2－1＝a1，a5＝a1·5－1＝a1，又∵a2·a5＝a1·a1＝，∴a＝.又∵a1＜0，∴a1＝－. ∴an＝×n－1＝－n－2(n∈N＋)． (2)令an＝－n－2＝－，则n－2＝4，n＝6∈N＋， ∴－是这个等比数列中的项，且是第6项． [素养培优练] 13．(多选)在数列{an}中，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是(　　) A．k不可能为0 B．“等差比数列”中的项不可能为0 C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列” 解析：BCD　[∵当k＝0时，根据“等差比数列”的定义，有＝0，即有an＋2－an＋1＝0，这与分母不为0矛盾，∴k≠0，故选项A正确；∵当an＝n－1时，＝＝1为常数，∴数列{an}为“等差比数列”，且a1＝0，故选项B错误；又当数列{an}为非零常数列时，数列{an}既是等差数列又是等比数列，但an＋1－an＝0，此时数列{an}不是“等差比数列”，故选项C、D错误，故选BCD.] 14．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里． (1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系； (2)判断是否为等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(lg 2＝0.301 0) 解：(1)由题意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋， 所以an＝an－1＋. (2)由(1)得an＝an－1＋，∴an－＝， 所以是等比数列． (3)由(2)有an－＝，又a1＝，所以a1－＝－， ∴an－＝－n－1，即an＝－n－1＋； an＝－n－1＋＞，即n－1＜，两边取常用对数得： (n－1)lg＜lg，所以(n－1)＞＝＝＝＝＝≈4.1，∴n＞5.1.∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%. 1 学科网（北京）股份有限公司 $