1.2.1 第2课时 等差数列的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝18，则a5＝(　　) A．7　　　　　　　 B．11 C．9 D．18 解析：C　[设等差数列的性质可知：a2＋a8＝2a5＝18，所以a5＝9.故选：C.] 2．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 解析：B　[由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.] 3．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　) A. B．± C．－ D．－ 解析：D　[由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.] 4．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：B　[因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.] 5．(多选)下面关于公差d>0的等差数列{an}的结论中，正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列 是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 解析：AD　[设等差数列的首项为a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)．∴数列{an}递增，A正确．nan＝dn2＋(a1－d)n，当n< 时，不递增，B错误.＝d＋，当a1－d>0时，不递增，C错误；[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，D正确．] 6．在等差数列{an}中，a1＋a9＝4，那么a2＋a3＋…＋a8等于　________　. 解析：因为数列{an}为等差数列，且a1＋a9＝4，根据等差数列的性质，可得a1＋a9＝2a5＝4，解答a5＝2，又由a2＋a3＋…＋a8＝7a5＝7×2＝14. 答案：14 7．已知等差数列{an}满足am－1＋am＋1－a－1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1＝　________　. 解析：因为数列{an}为等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am.所以am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1.所以a1＋a2m－1＝2am＝2. 答案：2 8．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a23的值． 解：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a8＋a13＝12，则3a8＝12，则a8＝4，又由a3a8a13＝28，则有a3a13＝(4－5d)(4＋5d)＝7，解可得：d＝±，当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝，当d＝－时，an＝a8＋(n－8)d＝. (2)由(1)的结论，当d＝时，an＝，此时a23＝＝13，当d＝－时，an＝，则a23＝＝－5，则a23＝13或－5. [能力提升练] 9．(多选)在等差数列{an}中，每相邻两项之间都插入k(k∈N＋)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 解析：ABD　[由题意得，插入k(k∈N＋)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4… 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1)，因为b9是数列{an}的项，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N＋，k∈N＋， 当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1， 故k的值可能为1,3,7，故选：ABD.] 10．数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，a1＝5，则使得数列 为等差数列的实数m的值为　________　. 解析：a1＝5，a2＝3×5＋32－1＝23，a3＝3×23＋33－1＝95， 依题意得 ， ， 成等差数列， ∴2· ＝ ＋ .∴m＝－ . 答案：－ 11．已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图像关于x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则a1＋a100等于　________　. 解析：由题意知函数y＝f(x－2)的图像关于x＝1对称，则函数f(x)的图像关于x＝－1对称，且在(－1，＋∞)上单调，因为f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，因为数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1＋a100＝a50＋a51＝－2. 答案：－2 12．在正项无穷等差数列{an}中，已知a5a7＝12.a2＋a10＝7. (1)求通项公式an. (2)设bn＝an＋t，且对一切n∈N＋，恒有b2n＝2bn，求t的值．对一切k，n∈N＋是否恒有bkn＝kbn？请说明理由． 解：(1)∵a2＋a10＝a5＋a7＝7，又∵a5a7＝12， ∴或当时，an＝－n＋，不恒为正，舍去． ∴∴an＝n＋. (2)bn＝an＋t＝n＋t＋，b2n＝n＋t＋， ∴n＋t＋＝n＋2t＋1. ∴t＝－，∴bn＝n.∵bkn＝kn＝kbn， ∴恒有bkn＝kbn. [素养培优练] 13．(多选)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋...＋a101＝0，则下列各式一定成立的有(　　) A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＝0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 解析：BD　[设等差数列{an}的公差为d，易知d＞0， ∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋...＋a101＝0， 且a1＋a101＝a2＋a100＝...＝a50＋a52＝2a51， ∴a1＋a2＋a3＋...＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋...＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0， ∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B，D正确，A错误． 又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，∴a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)， ＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d＞0，故C错误．故选：BD.] 14．(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　) A．0.75　　　　　　 B．0.8 C．0.85 D．0.9 解析：D　[设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，且＝0.725，所以＝0.725，故k3＝0.9.] 1 学科网（北京）股份有限公司 $